2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，全集，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义与运算可得，结合交集的定义与运算即可求解.
【详解】∵，
∴，
∴.
故选：B.
2．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合与集合的关系即可求解.
【详解】 ,
故选：A
3．设命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为“，”.
故选：D.
4．已知不等式的解集为，则a、b的值等于（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】由题意可得和2为方程的两根，且，进而结合韦达定理求解即可.
【详解】由题意，和2为方程的两根，且，
则，解得.
故选：C.
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分别求出两个命题，得到递推关系，最后得到充分性和必要性即可.
【详解】由，解得，由，解得，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C
6．设，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式即得.
【详解】由，，，得，
所以a的取值范围是.
故选：D
7．若，则的最小值为（ ）
A．-2B．0C．1D．
【答案】B
【分析】变形后由基本不等式求出最值.
【详解】因为，所以，
当且仅当,即时，等号成立.
故选：B
8．同时满足①；②若，则的非空集合有（ ）
A．3个B．5个C．8个D．10个
【答案】A
【分析】依题意可得与同时在集合中，与同时在集合中，即可列出符合题意的集合.
【详解】当时，当时，则集合可能为、、.
故选：A
二、多选题
9．由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（ ）
A．2B．1C．-2D．0
【答案】CD
【分析】利用集合的互异性即可判断实数a的范围条件，根据选项筛选即可.
【详解】由题意得,解得a≠2且a≠±1，则符合要求的只有CD.
故选：CD.
10．已知，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】AD
【分析】举反例即可判断BC，根据不等式的性质即可求解AD.
【详解】由可知,而无法确定与0的关系,故若时,B,C选项都无法成立,
又由，若，则，若时，则，故可得,故所以，
故选：AD
11．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由条件可得集合为所有偶数的集合，B为所有奇数的集合，再由集合的关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意可得集合为所有偶数的集合，B为所有奇数的集合，
故，，故C错误，D正确；
由，可得，故A错误，B正确；
故选：BD
12．设非空集合满足当时，有，下列命题判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据已知条件列出不等关系转化为不等式问题解决，即可判断各选项的正误.
【详解】对于选项A，若，因为时，有，
所以有，解得，故A正确；
对于选项B，若，因为时，有，
所以，解得，则，故B正确；
对于选项C，若，则，
因为时，有，所以，
因为，则，故，即，
所以，解得，故C错误；
对于选项D，若，因为，则，
所以，解得，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知集合,则 .
【答案】
【分析】由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，
则.
故答案为：
14．已知，写出一个“”的必要不充分条件： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】解分式不等式得充要条件，再根据必要不充分条件的定义求解即可.
【详解】由得，即，等价于，解得，
所以“”的必要不充分条件必定包含，
所以“”的一个必要不充分条件（答案不唯一）.
证明如下：
当成立时，一定成立，但是成立时，不一定成立，
所以为即的一个必要不充分条件.
故答案为：（答案不唯一）
15．若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将目标式化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件.
【详解】，
当且仅当，即时等号成立，
所以目标式的最小值为.
故答案为：
16．若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的性质结合恒成立问题可得，运算求解即可.
【详解】因为，
可知当时，取到最小值为3，
若不等式对任意实数x恒成立，
则，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求的取值范围.
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空集的定义即可得解；
（2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以中没有元素，即，
所以的取值范围为.
（2）因为，，
由（1）知，当时，，此时满足；
当时，则；
所以的取值范围为.
18．指出下列各组命题中，p是q的什么条件.
(1)；
(2)方程无实根.
【答案】(1)既不充分也不必要条件
(2)必要不充分条件
【分析】（1）根据命题条件分析判断即可.
（2）根据判别式与命题条件分析判断即可.
【详解】（1）若，当时，，故p推不出q，
同理，若，当c<0时，则，
所以p是q的既不充分也不必要条件.
（2）由，则，
可知当时，方程可能有实根，
当方程无实根,则m一定大于-2，
所以p是q的必要不充分条件
19．已知关于的不等式.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，求不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，原不等式等价于，利用高次不等式的解法解原不等式，可得出原不等式的解集；
（2）原不等式可变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合高次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【详解】（1）解：当时，原不等式即为，即，
等价于，如下图所示：

由图可知，当时，原不等式的解集为或.
（2）解：当时，原不等式即为，即，解得；
当时，原不等式等价于，
当时，即当时，解原不等式可得或；
当时，即当时，原不等式即为，解得且；
当时，即当时，解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为.
20．某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)从第几年开始，使用该设备开始盈利?
【答案】(1)
(2)第三年
【分析】（1）根据题意，即可得出函数；
（2）由，得出不等式，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，.
（2）当时，开始盈利，
即，整理可得，
解得.
又，所以，即从第三年开始盈利.
21．若，对任意正数，不等式恒成立.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若k取最小值，且，求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式直接得出；
（2）由基本不等式（链）的变形可得出.
【详解】（1），所以不等式恒成立，
等价于成立，
所以，解得(舍去)或，
所以实数k的取值范围为.
（2）由(1)可知，
所以，
，
当且仅当时,等号成立.
22．已知关于x的不等式.
(1)当时不等式恒成立，求实数的取值范围.
(2)当时不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论时，可得，时，利用二次函数的图象与性质得，计算求解即可得出答案；
（2）分类讨论时，可得，时，利用二次函数的图象与性质，列出关于的不等式，即可得出答案．
【详解】（1）解： 关于的不等式，当时不等式恒成立，
当时，，显然成立；
当时，要使时不等式恒成立，，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）解：当时，关于的不等式恒成立，
当时，，显然成立；
当时，①当时，令，二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线，
在上随的增大而减小，
要使当时，关于的不等式恒成立，则即，解得，
②当时，令，二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，
在上随的增大而增大，
要使当时，关于的不等式恒成立，即，显然恒成立，
综上所述，实数的取值范围为．