2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高一上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高一上学期11月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义即可得出答案.
【详解】，
.
故选：A.
2．下列命题正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项.
【详解】A选项，时，，但，A选项错误；
B选项，时，，但，B选项错误；
C选项，时，，但，C选项错误；
D选项，，，，
所以，D选项正确.
故选：D
3．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二次函数单调性，列式求解作答.
【详解】函数的单调递增区间是，依题意，，
所以，即实数的取值范围是.
故选：D
4．已知，且是方程的两根，则大小关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.
【详解】，由题意得，，而，借助图象可知，
的大小关系可能是，
故选：D.
5．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
6．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．
【详解】由，解得且．
函数的定义域为．
故选：C．
7．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间值比较即可.
【详解】因为，，，
所以.
故选：D
8．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
【答案】C
【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．
【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
二、多选题
9．在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（ ）
A．天狼星的星等大约是南极星星等的倍
B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是
C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是
D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是
【答案】AC
【分析】根据题意，利用对数与指数的关系式即可求解，判断各选项的正误.
【详解】解：设太阳的星等与亮度为、，天狼星的星等与亮度为、，南极星的星等与亮度为、，由题意可知，，，
对于A，，则A选项正确；
对于B，由得，，
所以，即太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是，则B选项错误；
对于C，由得，，
所以，即天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是，则C选项正确；
对于D，由得，，
所以，即天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是，则D选项错误；
故选：AC.
10．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．
【详解】由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有,
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
11．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】设，代入列方程组求解即可.
【详解】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
12．已知函数，则使得不等式成立的的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后根据奇偶性和单调性解不等式
【详解】定义域为，
因为，
所以为偶函数，
当时，，
因为当时，为增函数，在上为增函数，
所以在上为增函数，
因为在上为增函数，
所以在上为增函数，
所以可转化为，
，得，
解得，
故选：BC
三、填空题
13．当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若，则M－N＝ .
【答案】{x|x<0}
【详解】集合M：{x|x≤1}，集合N：{y|0≤y≤1}，
∴M－N＝{x|x∈M且x∉N}＝{x|x<0}．
14．若，关于的不等式恒成立，则实数的最大值是 ．
【答案】6
【分析】利用分离常数法后得到对恒成立，利用基本不等式即可求解.
【详解】若，关于的不等式恒成立，
可得对恒成立，
由，当且仅当时，取得等号．
所以的最小值为6，
所以，
即的最大值为6．
故答案为：6．
15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
四、双空题
16．已知，若，则 ，若，则 ．
【答案】 9
【分析】根据指数式与对数式的互化以及换底公式即可求解.
【详解】若，则，所以，所以
因为，所以，，所以，
由，即
由换底公式可得，所以
即，所以.
【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、换底公式，属于基础题.
五、解答题
17．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）7；（2）.
【分析】（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；
（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
18．已知函数.
(1)求，；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据自变量对应的函数解析式，代入即可解出；
（2）分类讨论所在的区域，选择对应的解析式代入得方程，即可解出．
【详解】（1）函数，，
，．
（2）当时，，解得，成立；
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得（舍去）
的值为或.
19．已知函数.
（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）（-∞，-4]∪[0，+∞）；（3）.
【分析】（1）令对数的真数大于零，解一元二次不等式求得的定义域.
（2）根据对数真数对应的判别式为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.
（3）利用二次函数对称轴和当时真数为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）若m=1，则，
要使函数有意义，需x2-x-1＞0，
解得或，
∴函数f（x）的定义域为．
（2）若函数f（x）的值域为R，
则x2-mx-m能取遍一切正实数，
∴m2+4m≥0，
或，
∴实数m的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞）；
（3）若函数f（x）在区间上是增函数，
则y=x2-mx-m在区间上是减函数，
且x2-mx-m＞0在区间上恒成立，
∴≥，且（）2-m（）-m≥0,
即m≥-1且m≤,∴m∈.
【点睛】本小题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查对数型复合函数单调性和值域，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．已知实数x满足条件，求函数的值域．
【答案】．
【分析】问题转化为，求出的范围；将的解析式配方，结合二次函数的性质求出的最大值和最小值即可
【详解】解：由，
得，
即，
，解得；
因
；
，，
当，即时，，
当，即时，．
函数的值域是．
【点睛】本题考查了求对数型复合函数的值域及指数型不等式的求解方法，把作为一个整体，求它的范围，利用对数的运算把函数转化为关于它的二次函数，利用二次函数的性质求函数的值域，考查了整体思想和转化思想．
21．关于x的不等式：.
(1)设的最小值为a，求此时不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据二次函数最小值求出最小值为8，代入解出一元二次不等式即可.
（2）对含参一元二次不等式进行分类讨论即可.
【详解】（1）因为，
所以的最小值为8．
原不等式为，解集为.
（2），
①当时，不等式为，解集为，
时，不等式分解因式可得，
②当时，故，此时解集为．
③当时，，故此时解集为，
④当时，可化为，又，
解集为．
⑤当时，可化为，
又，解集为，
综上所述：时，解集为，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为．
22．已知函数，且为奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)
(2)函数在定义域上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由函数为奇函数且定义为，，可求得a的值；
（2）利用函数的单调性进行证明，即可求得答案；
（3）利用函数是奇函数和函数在定义域上单调递增的性质解不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由函数为奇函数且定义为
当时，可得的
故
则，得
（2）由（1）知
设
由在定义域内是单调增函数
∵
∴
即
∴
即函数在定义域上单调递增.
（3），且为奇函数，
∴
∵函数单调递增
∴
∴
∴不等式的解集为.