2023-2024学年河南省周口市太康县第一高级中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省周口市太康县第一高级中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．函数的定义域为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】可看出，要使得该函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．
【详解】解：要使函数有意义，则：；
解得，且；
该函数的定义域为：．
故选D．
【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及对数函数的定义域．函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.最终取每个需要满足条件的交集来求得函数的定义域.
2．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是减函数B．是奇函数，且在上是增函数
C．是偶函数，且在上是减函数D．是偶函数，且在上是增函数
【答案】D
【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合对数函数的性质说明函数在上的单调性，即可判断.
【详解】函数定义域为，
且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，
当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增.
故选：D
3．已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.
【详解】解：函数中，由可得，，即函数的图象恒过定点，
若点在直线上，即有，
于是得，
当且仅当时取“=”，
所以时，的最小值为.
故选：D
4．在同一坐标系中画出函数的图象，可能正确的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由于函数互为反函数，所以其图像关于直线y=x对称，由于D选项中a>1,所以直线y=x+a在y轴上的截距也大于1正好相符
5．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易得为偶函数，且在上单调递增，可将不等式化为，解不等式即可.
【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，
因为，所以，
即，所以，
所以或
故选：D.
6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033B．1053
C．1073D．1093
【答案】D
【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
7．已知是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数是上的减函数，得到不等式组，即可求解．
【详解】由题意，函数是上的减函数，
可得，即，解，
所以实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，以及指数函数与对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记分段函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可.
【详解】由，则，
由，，则，
由，则.
则.
故选：C
二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据基本初等函数的奇偶性及单调性判断即可得解.
【详解】函数是偶函数，又在区间上单调递减，故A符合；
函数为奇函数，故B不符合；
函数是偶函数，又在区间上单调递减，故C符合；
函数定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数，故D不符合．
故选：AC．
10．已知函数是指数函数，函数则（ ）
A．是增函数B．是增函数
C．D．满足不等式的最小整数是1
【答案】ACD
【分析】根据指数函数定义可求得解析式，进而判断，当时函数值大小可判断，根据分段函数求值可判断，由题意可知，将代入不等式，可判断
【详解】解析 由题可知，解得，则是增函数，所以正确；
当时，，，，所以不是增函数，所以错误；
，，所以正确；
由题易知只需考虑的情况，将代入可得不等式成立，所以最小整数是，所以正确.
故选：.
11．已知函数是定义域为的奇函数，则（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】ABD
【分析】根据指数性质及均值不等式求对数型函数定义域判断A，根据对数函数单调性求值域判断B，根据奇偶函数的定义判断CD.
【详解】因为（当且仅当，即时，等号成立），
所以的定义域为，故A正确；
，即的值域为，故B正确；
因为定义域为，且，所以是偶函数，又定义域为，关于原点对称，且，则是奇函数，故C错误；
因为定义域，关于原点对称，且，则是偶函数，故D正确．
故选：ABD
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称B．在上是减函数
C．的值域为D．不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】A选项，计算出，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，分离常数后求出函数值域；D选项，根据A选项得到，再得到函数的单调性，从而得到不等式，求出解集.
【详解】A选项，，
则，
故的图象关于点对称，A正确；
B选项，，，，故在上不是减函数，B错误；
C选项，因为，所以，
则，故的值域为，C正确；
D选项，由A知，，故，
又，且，
则，
因为在R上单调递增，又，所以，
故，故在R上单调递增，
故，解得，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．函数的反函数的图象过点，则的值为 .
【答案】3
【分析】根据题意，过点，代值计算即可求得参数值.
【详解】函数的反函数的图象过点，
则的图象过点，
代入得，，.
故答案为：.
【点睛】本题考查互反函数的性质，涉及指数函数解析式求解，属综合基础题.
14．已知函数则满足的的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数以及对数函数性质，分段解不等式，即可得答案.
【详解】当时，即，则；
当时，即，解得，即，
故满足的的取值范围是，
故答案为：
15．函数，在区间[-2021，2021]上的最大值为P，最小值为Q.则P+Q= .
【答案】2
【分析】把已知的函数式变形，得到．令，可知该函数为奇函数，然后由奇函数的图象的对称性求得函数的最值，由此求得的值．
【详解】，
设，则，则为奇函数，
若函数的最大值为，则最小值为，即，．
．
故答案为：2．
16．已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出函数的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得，由二次函数的性质可得，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围．
【详解】先画出函数的图象，如图所示：
因为互不相同，不妨设，且，
而，即有，可得，则，
由，且，可得，
且，
当时，，此时，但此时b，c相等，
故的范围为．
故答案为．
【点睛】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．
四、解答题
17．（1）计算
（2）计算.
【答案】（1）.（2）.
【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
18．已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】由的定义域为R知的图象恒在轴的上方，由二次函数性质可构造不等式组求得结果；由的值域为R知要取遍所有的正数，由二次函数值域可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）若的定义域为R，则的图象恒在轴的上方，
，解得：，
即实数的取值范围是；
（2）若的值域为R，则要取遍所有的正数，
或，解得：，
即实数的取值范围是.
19．已知是定义在上的偶函数，且当时，
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）或
【分析】（1）令，则，由函数为R上的偶函数，得到，进而可求得函数的解析式；
（2）根据复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减，把不等式转化为或，即可求解．
【详解】（1）由题意，令，则，
因为是定义在上的偶函数，所以，
即当时，，
所以函数的解析式为．
（2）由内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递减，根据复合函数的单调性，可得在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，
又由，可得或，
即或，解得或．
即实数的取值范围或．
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的单调性的应用，其中熟记函数的单调性与奇偶性，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
五、应用题
20．某地西红柿从月日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/）与上市时间（单位：天）的数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系，并求解析式．
①；②；③；④．
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【答案】(1)选取二次函数进行描述，
(2)天，西红柿种植成本最低为（元/）
【分析】（1）根据函数的单调性选择②，利用待定系数法求得函数解析式.
（2）结合二次函数的性质求得西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
【详解】（1）由数据知道，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数不可能是常数函数，
从而用函数、、中的任意一个进行描述时都应有，
而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合，
∴选取二次函数进行描述，
以表格所提供的三组数据分别代入得到：，
解得、、，
∴描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为.
（2）当天时，
西红柿种植成本最低为（元/）．
六、证明题
21．已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
【答案】（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）在上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数
在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.
七、解答题
22．已知定义在R上的函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)解不等式；
(3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)是奇函数
(2)或
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；
（2）根据单调性的性质可得是R上减函数，利用奇偶性结合单调性分析求解；
（3）根据指数函数性质结合不等式运算可得的值域，由恒成立问题可得，换元设，结合二次函数的最值运算求解.
【详解】（1）因为定义域是R，且，
所以是奇函数.
（2）设，则，
因为在R上递增，且在上递减，
所以是R上减函数，
又因为在R上是奇函数，
则可转化为，
且在R是减函数，则，整理得，
解得或，可得或，
所以不等式的解集为或.
（3）由题意可得：
因为，即，则，可得，
所以的值域是，
若，，使成立，只需，
设，，
则
可知在上单调递增，
可知：，即时，取到最大值为，
所以，解得，
所以实数m的取值范围.
时间
种植成本（单位：元/）