2023-2024学年山东省枣庄市薛城区高一上学期期中检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市薛城区高一上学期期中检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数解析式有意义，列不等式可求定义域.
【详解】解：由题意得 ，解得且 ，
故函数的定义域为，
故选：D.
2．命题“，都有”的否定是（ ）
A．，使得B．，使得
C．∀，都有D．，都有
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定求解.
【详解】由全称命题的否定可知，
命题“，都有”的否定是：，使得，
故选：A
3．若为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】根据求解即可.
【详解】因为为正实数，，所以，
当且仅当，即，时取等号.
所以的最小值为.
故选：D
4．设集合，，则的真子集共有（ ）
A．15个B．16个C．31个D．32个
【答案】A
【分析】化简集合，由交集定义求出，再结合子集定义即可求解.
【详解】由题意得，，，所以，所以的真子集共有个.
故选：
5．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对勾函数的单调性，即可求得函数值域.
【详解】因为在单调递减，在单调递增，
故，又，
故，故的值域为.
故选：C.
6．若关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A．B．
C．{且}D．{或}
【答案】B
【分析】由题意可知是方程的两实数根，根据韦达定理求将用表示，再代入待求不等式，解不等式即可.
【详解】因为的解集是，
所以是方程的两实数根，且，
由韦达定理，得，所以，
所以不等式，
即，解得.
故选：B.
7．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以0点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
8．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ）
A．妈妈B．爸爸C．一样D．不确定
【答案】B
【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解.
【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
则，且，，
所以，即，
所以爸爸的加油方式更合算.
故选：B
二、多选题
9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，从而可得答案
【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为或，
故选：AD
10．设，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由不等式的性质，的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.
【详解】A：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即，正确；
B：因为在定义域内为增函数，由题意知，故有，正确；
C：当时，，故错误；
D：当时，，故错误；
故选：AB.
11． (多选)已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.
【详解】由命题:，成立，得，解得.
故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，
故选：ABD.
12．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．为定值
D．
【答案】ACD
【分析】可利用奇偶性定义求出两个解析式，A项根据奇偶性定义判断；B项可利用解析式求解；C项利用解析式计算可求解；D项分析正负情况，化简求解.
【详解】
令为得即
解得，
对于A. ，故为偶函数
对于B. ，故B错
C. ，故C对
D.当时，，
当时，，
故D对
故选：ACD
三、填空题
13． ．
【答案】
【分析】根据指数幂的运算法则进行化简整理即可.
【详解】
,
故答案为：
14．当且时，函数的图象经过的定点坐标为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的性质可知恒过，故令，进而求解即可
【详解】由题意，令，则，此时,
故所过定点为.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数型函数恒过定点问题,属于基础题
四、双空题
15．设函数若,则的单调递增区间是 ;若的值域为,则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】(1)将代入解析式,分析各段单调性,即可得出结果;
(2)先求出上的值域,由的值域为,只需在上的值域包含,分析该二次函数的开口方向,对称轴及值域即可求出的取值范围.
【详解】解:由题知当时,
,
故在上单调递减,
在上单调递增,
在上单调递减,
故的单调递增区间是;
由于在上的值域为,
若的值域为,
只需在上的值域包含即可,
故需,即,
此时在上的值域为,
故需,即,
综上: .
故答案为:;
五、填空题
16．若，则的最小值是
【答案】
【分析】将变形，得到，利用基本不等式“1”的妙用，求解最小值.
【详解】因为，所以，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
六、解答题
17．已知全集，集合，．
(1)求；
(2)设非空集合，若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解出集合,按照集合的并运算法则进行运算即可；
（2）根据集合关系，列出不等式组，解出即可.
【详解】（1）因为， 所以，
由，得.
所以．
（2））因为，，
则
所以，
即实数a的取值范围为.
18．已知函数．
(1)判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)单调递减，证明见解析；
(2)最大值和最小值分别为.
【分析】（1）根据单调性的定义，结合已知条件，判断并证明即可；
（2）根据函数的奇偶性以及（1）中所得单调性，即可求得结果.
【详解】（1）是上的单调减函数，证明如下：
证明：在上任取，且，
，
因为，故可得，，
又，则，故，即，
故在上单调递减.
（2）的定义域为，关于原点对称，又，
故是偶函数，根据（1）中所得在单调递减，
则在上单调递增，显然在也单调递增，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
故的最大值和最小值分别为.
19．学校决定投资1.2万元在操场建一长方体状体育器材仓库，如下图俯视图，利用围墙靠墙直角而建节省成本长方体一条长和一条宽靠墙角而建. 由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元不计高度，按长度计算，顶部材料每平方米造价300元. 在预算允许的范围内，如何设计使得仓库占地面积最大？
【答案】设计仓库的长、宽均为6米时占地面积最大
【分析】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，，，得到，由基本不等式求得，解得，从而得到答案.
【详解】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，，，
则 ，
整理得.
，，，当且仅当时等号成立
，
，
解得：，此时时等号成立，
所以设计仓库的长、宽均为6米时占地面积最大，为平方米.
20．已知点在幂函数的图象上， .
(1)求的解析式；
(2)若，且方程有解，求实数的取值范围；
(3)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【分析】（1）利用待定系数法，即可求得的解析式；
（2）根据一元二次方程有解，，解出即可；
（3）结合条件把不等式化为，分类讨论的取值范围，即可得到不等式的解集.
【详解】（1）设幂函数，
由点在幂函数的图象上，
所以，解得，
所以；
（2）时，，
由方程有解，
可得，
解得或；
（3）由得 ，即 ，
所以，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为.
21．已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，再验证即可；
（2）变换得到，设，根据均值不等式计算得到，即可得到m的范围.
【详解】（1）是奇函数，且定义域为，所以，即，解得.
，，所以是奇函数，
故.
（2），，恒成立，得，
因为，所以，则，所以，
设，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，故，
所以，即.
22．已知函数，
(1)若，求函数在上的最小值的解析式；
(2)若对任意，都有，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）考虑和两种情况，得到函数解析式，再根据，，，比较，的大小关系，计算最值得到答案.
（2）确定，考虑，两种情况，构造，考虑对称轴的范围，计算最值得到答案.
【详解】（1），则，
①当时，在单调递减，的最小值为；
②当时，在单调递减，在单调递增，
的最小值为；
③当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减，
的最小值为，
由得，，解得；
当时，的最小值为，
当时，的最小值为；
综上所述：的最小值为：.
（2）当时，，
①当时，在上单调递增，恒有，符合题意；
②当时，令得：，，
解得：，或者（舍去）.
，
又，所以有.
令，则，，
所以当，即，恒成立，
当时，只要，得，所以.
综上所述：
的取值范围为或 ，即.