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    黑龙江省大庆市大庆实验中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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    这是一份黑龙江省大庆市大庆实验中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题,共20页。试卷主要包含了 已知集合,,则, 已知, 已知,给出下述四个结论, 已知函数, 下列等式成立的是, 下列命题中正确的是等内容,欢迎下载使用。

    1. 已知集合,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】确定集合A中元素,根据集合的交集运算即可求得答案.
    【详解】由题意得集合,,
    故,
    故选:C
    2. 已知:,:,则是的( )条件
    A. 充分不必要B. 必要不充分
    C. 既不充分也不必要D. 充分必要
    【答案】B
    【解析】
    【分析】求出命题对应的取值范围,根据集合包含关系即可求出.
    【详解】由可得,即,解得或,所以命题对应的的取值范围为,
    因为,
    所以是的必要不充分条件.
    故选:B.
    3. 已知点在第三象限,则角的终边在第( )象限.
    A. 一B. 二C. 三D. 四
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由点M所在的象限,确定正切和余弦的符号,得角终边所在的象限.
    【详解】因为点在第三象限,所以,,
    所以的终边在第四象限.
    故选:D.
    4. 在流行病学中,把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当基本传染数高于1时,每个感染者平均会感染一个以上的人,从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染数低于1时,疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基本传染数为,1个感染者平均会接触到个新人,这人中有个人接种过疫苗(称为接种率),那么1个感染者可传染的新感染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数,为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为( )
    A. 30%B. 40%C. 50%D. 60%
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由题意列不等式,即可求出结果
    【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1人,只需要,
    所以,即,
    ,解得
    则该地疫苗的接种率至少为60%
    故选:D
    5. 若不等式的解集为,则不等式解集为( )
    A. B.
    C D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用二次不等式解集的性质,结合韦达定理将不等式化简为,从而得解.
    【详解】因为由不等式的解集为,
    所以,方程的两根为1和3,
    由根与系数的关系得,则,
    所以不等式可化为,即,
    所以且,解得或,
    所以解集为.
    故选:B.
    6. 已知函数,图象向左平移个单位后关于直线对称,则下列说法正确的是( )
    A. 在区间上有一个零点B. 关于对称
    C. 在区间上单调递增D. 在区间上的最大值为2
    【答案】A
    【解析】
    【分析】通过函数的平移变换后图象关于直线对称可求得值,从而可求出函数解析式,然后使用换元法画出函数图象,再逐项判断即可.
    【详解】函数,图象向左平移个单位后的图象对应的解析式为:;
    而图象关于直线对称,且,于是,;

    ,所以不关于对称,故B错误;
    当时,则,令,则,此时函数图象如图:
    结合图象可知,当时,即,与坐标轴只有一个交点,即只有一个零点,故A正确;
    当时,则,结合图象可知,此时有增有减,故C错误;
    当时,则,结合图象可知,此时单调递增,所以,当时,即,函数取最大值,,故D错误;
    故选:A.
    7. 已知,给出下述四个结论:
    ①是偶函数; ②在上为减函数;
    ③在上为增函数; ④的最大值为.
    其中所有正确结论的编号是( )
    A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①④
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用偶函数的定义即可判断①;利用举反例即可判断②和③;分四个范围对进行化简,然后利用三角函数的性质进行求值域,即可得到时的最值,结合偶函数即可判断
    【详解】解:对于①,易得的定义域为,关于原点对称,
    因为,所以是偶函数,故正确;
    对于②和③,因为,

    且,所以在不是减函数,在也不是增函数,故②,③错误;
    对于④,当时,,
    因为,所以,
    所以,所以;
    当时,,
    因为,
    所以,所以;
    当时,;
    当时,,
    因为,
    所以,所以,
    所以,综上所述,当时,的最大值为,由于为偶函数,所以当时,的最大值也为,故的最大值为,故④正确;
    故选:D
    【点睛】方法点睛:利用四个象限对进行讨论,根据三角函数符号去掉绝对值,然后利用三角函数的性质进行求解值域
    8. 已知函数(a>0,且a≠1)在区间(﹣∞,+∞)上为单调函数,若函数y=|f(x)|﹣x﹣2有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】首先根据函数f(x)的单调性求得a的大致范围,然后将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题,再作出函数图象,利用数形结合思想求解即可.
    【详解】解:∵函数f(x)在区间(﹣∞,+∞)上为单调函数,且当x>1时,f(x)=(x﹣1)2+4a在(1,+∞)上单调递增,
    ∴,解得,
    又函数y=|f(x)|﹣x﹣2有两个不同的零点等价于|f(x)|=x+2有两个不同的实数根,
    ∴函数y=|f(x)|的图象与直线y=x+2有两个不同的交点,
    作出函数y=|f(x)|与直线y=x+2的图象,
    当x≤1时,由1+lga|x﹣2|=0得,易知函数y=|f(x)|与直线y=x+2的图象在(﹣∞,1]上有唯一交点,
    则函数y=|f(x)|与直线y=x+2的图象在(1,+∞)上有唯一交点,故4a≤3或(x﹣1)2+4a=x+2,即x2﹣3x+4a﹣1=0有唯一解,
    ∴或△=9﹣4(4a﹣1)=0,
    ∴或,
    综上,实数a的取值范围为.
    故选:C.
    【点睛】关键点点睛:此题考查函数与方程的综合应用,考查函数的零点问题,解题的关键是将问题转化为函数y=|f(x)|的图象与直线y=x+2有两个不同的交点,然后画出函数图象,根据图象求解即可,考查数形结合的思想,属于较难题
    二、多选题(该题有4个小题,每个小题有两个或三个选项正确,每小题5分,共20分)
    9. 下列等式成立的是( )
    A.
    B
    C.
    D.
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】根据诱导公式可判断A;根据两角差的余弦公式可判断B;根据两角差的正切公式可判断C;根据两角和的正弦公式可判断D.
    【详解】,故A正确;
    ,故B正确;
    ,故C正确;
    ,故D错误.
    故选:ABC.
    10. 下列命题中正确的是( )
    A. 若,则B. 若且,则
    C. D.
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】将时,化为,利用均值不等式可判断A;利用,利用均值不等式可判断B;将化为,利用均值不等式可判断C;利用,结合均值不等式判断D.
    【详解】当时,,则,
    当且仅当时取等号,故A正确;
    若且,则,
    当或时取等号,B正确;
    由,故,
    当时,不成立,故等号取不到,C错误;
    ,当且仅当时取等号,D正确,
    故选:.
    11. 若定义在R上的减函数y=f(x﹣2)的图像关于点(2,0)对称,且g(x)=f(x)+1,则下列结论一定成立的是( )
    A. g(2)=1
    B. g(0)=1
    C. 不等式f(x+1)+f(2x﹣1)>0的解集为(﹣∞,0)
    D. g(﹣1)+g(2)<2
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】由于y=f(x﹣2)的图像关于点(2,0)对称,可得f(x)为奇函数,从而由奇函数的性质可判断AB,对于C,利用函数为奇函数将f(x+1)+f(2x﹣1)>0化为f(x+1)>f(1﹣2x),再利用其单调性可得答案,对于D,由于g(﹣1)+g(2)=f(﹣1)+f(2)+2=﹣f(1)+f(2)+2,再利用函数的奇偶性和单调性可判断
    【详解】解:∵定义在R上的减函数y=f(x﹣2)的图像关于点(2,0)对称,
    ∴f(x)为奇函数,
    ∴f(0)=0,
    ∵g(x)=f(x)+1,
    ∴g(0)=f(0)+1,
    ∴g(0)=1,故A选项错误,B选项正确,
    ∵y=f(x﹣2)为减函数,
    ∴f(x)为减函数,
    ∴g(x)=f(x)+1为减函数,
    ∵f(x+1)+f(2x+1)>0,即f(x+1)>﹣f(2x+1),
    ∵f(x)为奇函数,
    ∴f(x+1)>f(1﹣2x),
    ∵f(x)为减函数,
    ∴x+1<1﹣2x,即x<0,故C选项正确.
    g(﹣1)+g(2)=f(﹣1)+f(2)+2=﹣f(1)+f(2)+2,
    ∵f(1)>f(2),
    ∴g(﹣1)+g(2)<2,故D选项正确.
    故选:BCD.
    12. 已知函数的定义域为,且满足下列条件:
    ①对于任意,总有,且;
    ②若,则有.
    给出下列命题,其中正确的有( )
    A. 可能为区间内的任意值;
    B. 函数的最大值是4;
    C. 函数是符合上述条件的一个函数;
    D. 当时,
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】根据所给性质取特殊值求出判断A,根据所给性质可推断出函数的单调性判断B,对所给函数验证性质判断C,利用性质②推理可判断D.
    【详解】令,得,结合①知,故A错误;
    任取,则,
    所以在上单调递增,所以,
    即函数故的最大值为4,故B正确;
    易知,,
    所以任意,总有.




    故是符合条件的函数,故C正确;
    因为,
    所以,当时,,
    所以当时,,故D正确.
    故选:BCD.
    三、填空题(该题有4个小题,每小题5分,共20分)
    13. 已知扇形的圆心角为,其弧长为,则此扇形的面积为_________.(结果保留π)
    【答案】##
    【解析】
    【分析】首先根据弧长公式求半径,再根据扇形面积公式,即可求解.
    【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径,
    此扇形的面积.
    故答案为:
    14. 函数的值域为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据求出,进而利用正弦函数图像即可求出结果.
    【详解】因为,所以,
    则由正弦函数图像可知,
    所以.
    故答案为:.
    15. 若函数在区间上为减函数,则a的取值范围是________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】令,分和两种情况讨论,结合二次函数的性质得到不等式组,解得即可.
    【详解】解:令,则,
    当时,是增函数,由在区间上为减函数,
    则在上为减函数,故,即,解得;
    当时,是减函数,由在区间上为减函数,
    则在上为增函数,故,即,解得,
    综上,的取值范围是..
    故答案为:
    16. 已知,函数,若存在,使得,则实数的最大值是____.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想,属于能力型考题.从研究入手,令,从而使问题加以转化,通过绘制函数图象,观察得解.
    【详解】使得,
    使得令,则原不等式转化为存在,
    由折线函数,如图
    只需,即,即的最大值是
    【点睛】对于函数不等式问题,需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
    四、解答题(17题10分,18-22每题12分,共70分)
    17. 已知
    (1)判断函数的单调性,并用定义证明之.
    (2)解关于t的不等式.
    【答案】(1)函数在上单调递增,证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由题意可知,对函数进行分离常数可判断其单调性并用单调性的定义证明即可;
    (2)根据函数的奇偶性和单调性即可对不等式进行求解.
    【小问1详解】
    由题意,函数在上是增函数,
    所以函数在上是增函数.
    证明如下:在上任取且,
    所以
    由可知,所以,,,
    所以,即.
    即在上单调递增.
    【小问2详解】
    易知,所以函数为奇函数;
    由(1)知,函数是上的增函数,
    由可得,
    所以,即,解得,
    即关于t的不等式的解集为
    18. (1)已知角终边所在直线经过点,求的值;
    (2)已知求的值.
    【答案】(1);(2)
    【解析】
    【分析】(1)利用诱导公式化简即可求解;
    (2)利用同角三角关系与和差公式即可求解.
    【详解】(1)角终边所在直线经过点,
    ,,.
    .
    (2)
    ,,
    .
    19. 设函数,.
    (1)求的最小正周期;
    (2)若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,求函数在上的单调递增区间.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简解析式即可求出最小正周期;
    (2)根据图像平移求出解析式,结合正弦函数的单调性即可求解.
    【小问1详解】

    故函数的最小正周期;
    【小问2详解】
    将函数的图象左移个单位得到的图象,
    则,

    则当即时,单调递增,
    ∴在上的单调递增区间为:
    20. 1.已知数,函数.
    (1)求函数的值域;
    (2)若不等式对任意实数恒成立,求实数x的取值.
    【答案】(1)
    (2)2
    【解析】
    【分析】(1)利用对数运算,把化为关于的二次函数,配方后求出的值域;(2)不等式对任意实数恒成立,只需,利用换元法求出,令,求出实数x的值为2.
    【小问1详解】

    即的值域为.
    【小问2详解】
    ∵不等式对任意实数恒成立,∴.

    令,∵,∴,
    设,,当时,取得最小值,即,
    ∴,即,∴实数x的值为2.
    21. 已知二次函数.
    (1)若关于的不等式对恒成立,求的取值范围;
    (2)已知函数,若对,使不等式成立,求的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)或
    【解析】
    【分析】(1)分离参数得对恒成立,只需,利用对勾函数单调性求最大值即可;
    (2)由,,使不等式成立可得 ,是一元二次函数,利用对称轴位置分类讨论求最小值即可.
    【小问1详解】
    因为二次函数,
    所以关于的不等式对恒成立,
    转化为对恒成立,
    即对恒成立,
    令,记,因为,所以,
    则,因为在上单调递增,
    所以,,所以;
    【小问2详解】
    对,使不等式成立,
    转化为

    在上单调递增,


    ①当,即时,在上单调递增,

    此时,且,解得;
    ②当,即时,在上单调递减,
    此时,且,解得;
    ③当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
    此时,且,解得,
    综上所述,实数取值范围为或.
    22. 已知为偶函数,为奇函数,且满足.
    (1)求函数、的解析式;
    (2)已知函数,,求函数的值域;
    (3)若关于的方程在内恰有两个不等实根,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)结合奇偶函数性质,令,两式联立可求、的解析式;
    (2)化简得,结合单调性可求的值域;
    (3)易得,令,结合奇偶性与单调性确定的取值范围,原方程等价为,分离参数得,令,结合单调性可求的取值范围.
    【小问1详解】
    因为为偶函数,为奇函数,由已知可得,
    即,所以,,解得;
    【小问2详解】
    由题意,,因为单调递增,
    ,所以值域为;
    【小问3详解】
    由题知方程在区间内恰有两个不等实根.
    显然不是该方程的根,令,则原方程可变形为,
    由,所以为偶函数,
    当时,单调递增,所以,
    则题意转化为方程在区间内有唯一实根(因为每一个在区间内恰有两个值与之对应).
    设,显然在区间内单调递减,
    又时,,当时,,所以.
    综上所述,所求常数的取值范围是.
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