山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知，则下列结论错误的是，已知，则下列等式一定正确的是，若集合A，B，U满足，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第四章第3节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（ ）
A．B．7C．D．9
7．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A．B．C．D．
8．已知关于x的方程有唯一实数解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．若集合A，B，U满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．函数（，且）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
12．若实数且，则下列结论正确的是（ ）
A．存在a，b，使得B．若，则
C．当时，不可能小于零D．且
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“，”的否定是________．
14．函数的单调递增区间为________．
15．若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是________．
16．已知是上的单调增函数，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知全集，集合，，
．
（1）求，；
（2）若，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．
（1）求的解析式；
（2）画出的图象，根据图象写出它的单调区间．
19．（本小题满分12分）已知函数．
（1）若为奇函数，证明：；
（2）讨论的单调性．
20．（本小题满分12分）（1）设a，b，c为正数，求证：；
（2）解关于x的不等式：．
21．（本小题满分12分）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入为95万元．设使用该设备前n年的总盈利额为万元．
（1）写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理．
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22．（本小题满分12分）已知函数，．
（1）若是关于x的方程的一个实数根，求函数的值域；
（2）若对任意，存在，使得，求实数a的取值范围．
怀仁一中高一年级2023~2024学年上学期期中考试·数学试题
参考答案、提示及评分细则
1．C 集合，，
所以．故选C．
2．D 由题意，得， ∴且，∴定义域为．故选D．
3．B 设，依题意，所以，所以，
所以．故选B．
4．A 因为由，可得，又“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．
5．C 由得，所以，A正确；，B正确；取，，则，，，C错误；，，所以，D正确．故选C．
6．B 因为是定义域为的奇函数，所以，，
，所以．故选B．
7．D 因为，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得或，所以m的取值范围是．故选D．
8．C 由题意得，则，令，则上式可化为，
令，则，故为偶函数，
关于x的方程有唯一实数解，即函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故．故选C．
9．BCD 依题意，，即，则且a，，故C正确；对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；
对于D，，故D正确．故选BCD．
10．AD 由知：，即A正确，
∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确．故选AD．
11．BC 据题设分析知，先讨论，再讨论，并将每类情况下函数转化为分段函数研讨实现问题求解．故选BC．
12．BCD 对于A，当时，，当且仅当时等号成立，此时不存在a，b，使得，当时，，当时等号成立，但此时，所以不存在a，b使得，A错误；对于B，由得，所以，整理得，所以，又，所以，B正确；对于C，由，C正确；对于D，因为，设，代入得，因为，所以，
所以，当时，由得，所以，所以；当时，，当且仅当时等号成立，，所以且，D正确．故选BCD．
13．， 根据“，”的否定是“，”，可得命题“，”的否定是“，．
14．（开区间也正确） 依题意，，解得，即的定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递减，因此，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为．
15． 因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即a的取值范围是．
16． 是上的单调增函数，所以．
17．解：（1）∵集合，，
∴．2分
或，，3分
∴．4分
（2），
当时，即时，，此时，满足题意；6分
当时，即时，，8分
若，则或，
即或，9分
∴．
综上，实数a的取值范围为．10分
18．解：（1）∵的图象关于原点对称，
∴是奇函数，∴．1分
又的定义域为，∴，解得．2分
设，则，
∵当时，，
∴，
∴，5分
∴6分
（2）由（1）可得的图象如图所示．
由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为．12分
19．（1）证明：的定义域为，
对，都有，
又为奇函数，则必有，
即，
整理可得，命题得证．5分
（2）解：设，，且，
，8分
易知，，又在上为增函数，，可得，9分
当时，，为增函数；
当时，，为常函数无单调性；
当时，，为减函数．12分
20．（1）证明：因为a，b，c为正数，
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，
，当且仅当取等号，
，当且仅当取等号，3分
以上三式相加有，
即，当且仅当时取等号．6分
（2）解：，
即，7分
即．
①当时，，，的解集为，9分
②当时，，
等价于，即；10分
③当时，等价于，
即或．11分
综上可得：时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．12分
21．解：（1）由题意可得， 3分
由得，又，所以该设备从第2年开始实现盈利．5分
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为万元；8分
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当，即时等号成立，
即时，平均盈利额最大，此时，11分
此时处理掉设备，总利润为万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．12分
22．解：（1）∵是方程的一个实根，
∴，解得，2分
∴，3分
∴函数的值域为．4分
（2）∵对任意，存在，使得，
∴，5分
∵的图象开口向下，对称轴为，6分
∴在上的最小值为．7分
∵的图象开口向上，对称轴为，8分
∴①当，即时，在上，，
∴，整理得，解得或，
∴；9分
②当，即时，在上，，
∴，解得，∴；10分
③当，即时，在上，，
∴，解得，∴．11分
综上，实数a的取值范围为．12分