2023-2024学年山西省临汾市高一上学期11月期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省临汾市高一上学期11月期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.
【详解】命题：，为存在量词命题，
其否定为：，．
故选：C.
2．如图，设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．，或
C．D．，或
【答案】B
【分析】先观察Venn图，由图可知阴影部分表示集合在集合内的补集，根据集合的运算求解即可．
【详解】由已知可得，，
所以图中阴影部分表示的集合为或．
故选：B.
3．在一次物理实验中某同学测量获得如下数据：
下列所给函数模型较适合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由数据中y随x的变化情况，分析适用的函数模型.
【详解】由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，
而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中的函数符合题意.
故选:D．
4．下列函数中既为减函数，又为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】选项AD，特值法可知不是奇函数；选项B，特值法可知不是减函数；选项C，由图象可知.
【详解】A选项，，
因为，
故不是奇函数，A项错误；
B选项，，
由，
可知不是减函数，故B项错误；
C选项，，
定义域为，，
则，则是奇函数；
由图象可知既是减函数，又是奇函数，故C项正确；
D选项，，由，
则不是奇函数，故D项错误．
故选：C.
5．已知函数，则（ ）
A．有最小值1B．有最大值1
C．有最小值D．有最大值
【答案】D
【分析】换元法求函数的最值.
【详解】令，则，，，
当时，有最大值,无最小值，
故选:D.
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时，的付符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，即，解得，
所以，函数的定义域为，
，即函数为偶函数，排除BD选项，
当时，，，则，排除C选项.
故选：A.
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三个数据所在的范围，比较大小.
【详解】，，，即，
则有．
故选：A
8．已知函数有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由有最大值结合指数函数的图像，得出当时，可取最大值，且该最大值大于等于，列出不等式求解即可．
【详解】当时，的取值范围是，
故当时，可取最大值，且该最大值大于等于，
显然不合题意，
则必有，此时，解得，
故选：B．
二、多选题
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】在已知条件下，利用不等式的性质，判断选项中的结论是否正确.
【详解】当时，
对于A，当时，不成立，故A错误；
对于B，由，可得，所以，故B正确；
对于C，，故，C正确；
对于D，由，可得，故D正确．
故选：BCD
10．下列“若，则”形式的命题中，满足“是的充分不必要条件”的有（ ）
A．若，则是增函数
B．若，则在上单调递增
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】判断的相互推出关系是否成立即可.
【详解】对于A，当时，一次函数是增函数，充分性成立；
若是增函数，则，
当时，是增函数，不满足，故必要性不成立，A正确；
对于B，函数开口向上，对称轴，
当时，在上单调递增，充分性成立；
若在上单调递增，则，
当时，在上也单调递增，故必要性不成立，B正确；
对于C，当时，，但不成立；
当时，，，但不成立，
所以是的的既不充分也不必要条件，不满足题意；
对于D，当时，，充分性成立；
当时，时，但a，b不同时小于零，必要性不成立，D正确．
故选：ABD.
11．已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意易得，存在，，使得，其中，结合大致图象及函数对称性、单调性判断各选项即可.
【详解】函数的图象关于对称，在上单调递减，上单调递增．
由，可得，
存在，，使得，其中．
对于A，，则，所以，故A正确；
对于B，，则可能小于0，也可能属于，故的符号不确定，故B错误；
对于C，根据对称性可得，故C正确；
对于D，由于，且，所以，
又在上单调递增，所以，故D正确．
故选：ACD.
12．已知关于的方程，则（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为
B．方程无实数根的一个充分条件是
C．方程有两个小于的不等根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BC
【分析】一元二次方程的判别式来判断A选项；
利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断B选项；
构造函数，利用二次函数的性质即可判断C选项，方程有一个正根和一个负根的充要条件是，进而判断D选项.
【详解】对于A，当时，方程为，，此时方程无实根，故A错误；
对于B，方程无实数根的充要条件是，即，解得，
所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，符合条件，故B正确；
令．对于C，方程有两个小于的不等根的充要条件是，即或，解得，故C正确；
对于D:方程有一个正根和一个负根的充要条件是，即，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由函数有意义的条件，解不等式得函数的定义域.
【详解】函数有意义，则有，解得且，
故的定义域为．
故答案为:
14．已知，则 ．
【答案】1
【分析】由函数解析式可知，令，可求.
【详解】由已知，令，得．
故答案为：1
15．函数恒过定点 ．
【答案】
【分析】结合指数恒等式，求函数恒过的定点.
【详解】定义域为，令，得（舍去），，
故恒过定点．
故答案为：
四、双空题
16．若，，且，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】 2 4
【分析】空1：利用和为定值配凑形式可得，再求的最大值即可；空2：根据所求式子次数比的形式，将变形为的一次形式，再利用基本不等式求最小值.
【详解】由基本不等式得，
当且仅当时取等号，即，时取等号，的最大值为2．
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为4．
故答案为：；.
五、解答题
17．（1）计算；
（2）化简．
【答案】（1）41；（2）
【分析】（1）由指数幂的运算规则化简计算；
（2）由分数指数幂与根式的关系和指数幂的运算规则化简计算
【详解】（1）；
（2）.
18．已知全集，集合，．
(1)当时，求；
(2)在①；②任选一个作为条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)若选①，实数a的取值范围；
若选②，实数a的取值范围．
【分析】（1）解两个集合中的不等式，得到这两个集合，再求交集；
（2）根据所选条件，由集合的包含关系或交集的结果，列不等式求实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，解得，或，
即，又，所以．
（2），即 或 ，即或，
即，，
若选①，则或，解得或，
故实数a的取值范围．
若选②，则，或，
解得或，故实数a的取值范围．
19．函数．
(1)若的定义域为，求实数的值；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集即可求解.
（2）根据题意，对进行分类讨论，再利用一元二次不等式的解集为，可求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得：不等式的解集为，
所以，化简，解之得．
故实数的值为.
（2）由题意得：不等式在R上恒成立，
①当，即或时，
若，则，符合题意；
若，则，定义域不是，不满足条件．
②当，即，或时，
，解得，或.
综上所述，m的取值范围是．
20．已知定义在上的函数为奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)判断并证明的单调性；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)在R上单调递增，证明见解析；
(3)．
【分析】（1）利用奇函数定义列式计算即可.
（2）判断单调性，再利用函数单调性定义，结合指数函数的单调性推理即可.
（3）利用奇偶性及单调性解不等式即得.
【详解】（1）依题意，，解得，
，，则，，
所以.
（2）函数在R上单调递增，证明如下：
设任意，，且，
，由，得，
则，，，
因此，即，所以在R上单调递增.
（3）不等式化为：，，
解得或，
所以所求不等式的解集为．
21．沁州黄小米原名“糙谷”或“爬山糙”，清康熙皇帝御赐“沁州黄”，以皇家贡米而久负盛名，系山西小米的代表，享有“天下米王”和“国米”之尊号．沁州黄小米色泽蜡黄，晶莹透亮，颗粒圆润，状如珍珠，民间谚语谓“金珠子”“金珠不换沁州黄”．经调研发现：沁州黄小米的亩产量T（单位：千克）与施肥量x（单位：千克）满足函数关系：且肥料为每千克5元，施肥所需的人工费用为每千克1元．已知沁州黄小米的市场售价为30元/千克，且销路畅通供不应求，记一亩沁州黄小米的利润为（单位：元）．
(1)求的函数解析式；
(2)今年农民伯伯共种了5亩沁州黄谷子，问当每亩地施肥量为多少千克（精确到1）时，农民伯伯收益最大？最大收益是多少？（精确到1）
参考数据：，
【答案】(1)
(2)34千克，11520元
【分析】（1）结合亩产量T与施肥量x的函数关系，由销售收入减去各项成本，得利润的函数解析式；
（2）由分段函数解析式的特点，一段利用二次函数的性质求出最大值，一段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较即可得到结论．
【详解】（1）
当时，，
当时，，
综上所述，
（2）由（1）可知
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取最大值为；
当时，
，
又，
当且仅当，即，即时取等号，
．
，所以当每亩地施肥34千克时利润最大为2304元，
故农民伯伯最大收益是元．
22．已知定义在上的偶函数与奇函数满足．
(1)求，的解析式；
(2)已知函数，若对于任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】（1）利函数奇偶性定义即可求得，的解析式；
（2）先求得的表达式，再将转化为，按a分类讨论求得的最大值与最小值，进而求得实数的取值范围．
【详解】（1）由题意得，
则，
.
（2）．
令，，则
记，
由题意得当时，．
①当时，易知在上单调递增，
故，，
则，
解之得，又，．
②当时，对称轴，
在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，
，，
，符合题意；
（ii）当，即时，
，
，符合题意；
（iii）当，即时，
，，
，
解得，又，；
综上，a的取值范围是．
1
2
3
4
5
5.380
11.232
20.184
34.356
53.482