2023-2024学年山西省太原市高一上学期期中学业诊断数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省太原市高一上学期期中学业诊断数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的并集运算，即可求得答案.
【详解】由，，得，
故选：C
2．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】举出反例即可判断ACD，根据不等式的心智即可判断B.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当因为，所以，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：B.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件．
故选：A．
4．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用给定函数的意义，列出不等式组并求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域是.
故选：B
5．下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用奇偶性函数的定义，直接判断各个选项即得.
【详解】对于A，函数定义域为R，，函数是奇函数，A不是；
对于B，函数定义域为R，，函数不是偶函数，B不是；
对于C，函数定义域为R，，函数不是偶函数，C不是；
对于D，函数定义域为R，，函数是偶函数，D是.
故选：D
6．已知幂函数的图象经过点，且，则实数（ ）
A．2B．8C．16D．32
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再代入求解即得.
【详解】由幂函数的图象经过点，得，解得，
于是，由，得，解得，
所以实数.
故选：C
7．已知函数，在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数和二次函数的单调性即可得解.
【详解】因为函数在上是增函数，
当时，，
则恒成立，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，.
故选：A.
8．已知不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．8
【答案】D
【分析】根据不等式恒成立，则需要，，即，利用基本不等式即可判断选项.
【详解】根据不等式恒成立，
当，不符合条件。
则，，即，
①
②，
①当且仅当，即，等号成立.
②当且仅当时等号成立.
两次基本不等式都在成立，故等号能够传递.
故选：D
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据集合的定义与交集的概念分别判断各选项.
【详解】A选项：任何集合与的交集均为，A选项正确；
B选项：，，所以，B选项错误；
C选项：，，所以，C选项正确；
D选项：，D选项错误；
故选：AC.
10．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式可判断各选项.
【详解】A选项：，即，又，所以，即，解得，即，当且仅当时等号成立，A选项错误；
B选项：，即，解得，当且仅当时等号成立，B选项正确；
C选项：，当且仅当时等号成立，C选项正确；
D选项：由，得，则，当且仅当时等号成立，D选项正确；
故选：BCD.
三、单选题
11．已知（，且），，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接根据指数幂的运算性质或结合基本不等式来逐一验证每一个选项即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，首先，所以由基本不等式有，但是由于的单调性不能确定，故不能比较大小，故C错误；
对于D，由于，所以由基本不等式可得，故D正确.
故选：D.
四、多选题
12．已知函数的定义域为，在上单调递减，，且是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．不等式的解集是D．不等式的解集是
【答案】BCD
【分析】由是奇函数，可得，即可判断AB；易得函数在上是减函数，即可判断C；由，可得或，即可判断D.
【详解】因为函数是由函数向左平移个单位得到的，
而是奇函数，所以函数关于对称，
且，故B正确；
所以，故A错误；
又因为函数在上单调递减，
所以函数在上是减函数，
则不等式，即为，所以，
所以不等式的解集是，故C正确；
又，则当时，，当时，，
因为，
所以或，解得或，
所以不等式的解集是，故D正确.
故选：BCD.
五、填空题
13．命题“矩形的对角线相等”的否定为 .
【答案】存在一个矩形，其对角线不相等（答案不唯一，只要否定正确即可）
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可.
【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“矩形的对角线相等”的否定为
“存在一个矩形，其对角线不相等”（答案不唯一，只要否定正确即可）.
故答案为：存在一个矩形，其对角线不相等（答案不唯一，只要否定正确即可）.
14．函数的图象必经过定点 .
【答案】
【分析】根据指数型函数的定点的知识求得正确答案.
【详解】当，即时，，
所以定点坐标为.
故答案为：
15．已知函数，且，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性化简求值.
【详解】设，则为奇函数，
且，
又，则，
所以，
，
故答案为：.
六、双空题
16．将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立．利用此结论解决问题：已知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是 时，旋转形成的圆柱体积最大，其最大值是 ．
【答案】
【分析】设矩形的长为，宽为，则，求出圆柱底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式结合题中公式即可得解.
【详解】设矩形的长为，宽为，
则，
设圆柱的底面圆的半径为，
则，所以，
则圆柱的体积，
当且仅当，即时取等号，
所以当矩形的长是时，圆柱的体积最大，为.
故答案为：；.
七、解答题
17．计算下列各式的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数运算公式直接求值；
（2）根据指数运算公式化简求值.
【详解】（1）
；
（2）
.
18．已知全集，，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式可得集合与，进而可得；
（2）由可得，再结合集合间的关系列不等式，解不等式即可得参数范围.
【详解】（1）由，，
所以；
（2）由，
得，
又，且，
所以或，解得或，
即.
19．已知函数，且不等式的解集为，是定义域为的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的解集求出，再利用偶函数的定义求出解析式即得.
（2）由（1）的结论，分段解不等式即得.
【详解】（1）依题意，不等式的解集是，则是方程的两个实根，且，
于是，解得，因此，
当时，，
当时，，而是上的偶函数，
于是，
所以的解析式为.
（2）由，得或，解得或，
所以实数m的取值范围为.
20．已知函数．
(1)判断的单调性，并用定义证明你的判断；
(2)，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法作差判断函数单调性；
（2）根据函数的单调性可得，即，结合函数的单调性与最值，可得参数范围.
【详解】（1），定义域为，函数在上单调递增，
证明：任取，，且，即，
则，
即，
所以函数在上单调递增；
（2）由（1）得函数在上单调递增，
又在上恒成立，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则在上单调递减，在上单调递增，
则在上恒成立，
且，，
所以，，
即.
21．某公司计划从甲、乙两种方案中选择一种方案，进行广告宣传拓展业务．市场调研表明，采用甲方案的宣传费用（单位：十万元）与其利润（单位：百万元）之间的关系是，乙方案的宣传费用（单位：十万元）与其利润（单位：百万元）之间的关系是，对于，用表示，中的最大者，记为．
(1)求的解析式；
(2)已知该公司的宣传费用预算为（单位：十万元），以利润为决策依据，请问该公司应投入多少宣传费用（单位：十万元）？并求出相应的利润（单位：百万元）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用作差法分别判断各范围内两函数的大小关系，可得；
（2）根据函数的单调性分情况讨论，判断函数的最值.
【详解】（1）当时，，，
令，即，解得，
即当时，恒成立，；
当时，，，
令，即，解得或，
即当时，，，
当，，；
当时，，，
所以在时恒成立，，
综上所述，；
（2）由（1）得，
可知函数在，上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，应投入（十万元），此时利润为；
当时，应投入（十万元），此时利润为；
当时，令，解得，
所以当时，应投入（十万元），此时利润为；
当时，应投入（十万元），此时利润为；
当时，由，所以应投入（十万元），此时利润为；
综上所述，当时，应投入（十万元），此时利润；
当时，应投入（十万元），此时利润；
当时，应投入（十万元），此时利润；
当时，应投入（十万元），此时利润.