2023-2024学年山西省临汾市高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省临汾市高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．共线B．共线
C．共面D．不共面
【答案】C
【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理.
【详解】若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故A错误；
同理若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故B错误；
根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误.
故选：C
2．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）

A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案.
【详解】正方体中，点为上底面的中心，
所以，
故，
因为，所以，.
故选：B.
3．在正四面体中，其外接球的球心为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据立体图形结合空间向量的线性运算即可.
【详解】由题知，在正四面体中，因为是外接球的球心，
设三角形的中心为点的中点为，则，
，．
故选：C．

4．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件，得到，再利用，即可求出结果.
【详解】由，
得到，
所以，
故选：A.
5．在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为，且点到的距离为，则的值为（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】分析可知，以点为球心，半径为的球面与以点为球心，半径为的球内切，可得出球心距等于两球半径之差的绝对值，结合空间中两点间的距离公式可求得实数的值.
【详解】由题意可知，满足题意时，以点为球心，半径为的球面与以点为球心，半径为的球内切，
所以，球心距等于两球半径之差的绝对值，
即，解得或.
故选：B.
6．如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据垂直关系得到，确定平面的法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设， ，即，
平面的一个法向量为，
则，
，当时，最大为，，此时最大为.
故选：B
7．如图，四棱雉的底面是边长为3的正方形，，且，为上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】由于，
所以，由于平面，
所以平面，而四边形是正方形，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：C

8．直线的倾斜角为（ ）
A．0°B．90°C．180°D．不存在
【答案】B
【分析】根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角.
【详解】因为直线与轴垂直，
所以直线的倾斜角为90°.
故选：B
二、多选题
9．下列各选项中，不正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．对于非零向量
C．若共线，则
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
【答案】ACD
【分析】由空间向量的概念和运算对选项逐一判断.
【详解】解：A选项：若是空间任意四点，则有，故A错误；
B选项：因为，且向量夹角范围为，所以，故B正确；
C选项：若共线，则或四点共线，故C错误；
D选项：对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），
则,即
当时，，此时四点共面，
当时，此时四点不共面，故D错误.
故选：ACD
10．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，以及空间向量垂直的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由向量，可得，
所以向量与不共线，所以A不正确；
对于B中，由向量，可得，
所以向量与不共线，所以B不正确；
对于C中，由向量，可得，
所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，
所以向量与不垂直，所以D不正确.
故选：ABD.
11．如图，在平行六面体中，AC与BD交于点，且 ，，.则下列结论正确的有（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果.
【详解】对于A，
，
所以，所以，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，
，所以，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
12．下列四个命题中正确的是（ ）
A．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
B．是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若，则
C．已知向量，，则在方向上的投影向量为
D．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2
【答案】ACD
【分析】由空间向量基底的性质判断A；由线面平行的条件判定B；由投影向量的概念求C；由向量法求点到直线的距离判断D.
【详解】对于A，假设共面，则存在，使得，则，
因为是空间的一组基底，即不共面，与矛盾，
所以不共面，则也是空间的一组基底，故A正确；
对于B，当时，满足条件，但直线不平行于平面，故B错误；
对于C，在方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，由条件得，，
所以在方向上的投影为，
则点到直线l的距离为，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．经过作直线l，若直线l与连接的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求直线的斜率，结合图象分析求解.
【详解】如图所示，

直线的斜率，直线的斜率，
若直线l与线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围为.
故答案为：.
14．直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用两条直线的夹角公式求解即可.
【详解】由题知直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线与直线的夹角，
所以，即，
解得.
故答案为：.
15．过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为
【答案】和
【分析】根据斜率是否为0，分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解.
【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意，
当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为，
将代入得，解得，故直线方程为，
故答案为：和
16．无论实数λ取何值，直线恒过定点 .
【答案】
【分析】将直线方程化为，进而分析求解.
【详解】由，可得，
令，解得，
所以直线恒过定点.
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可；
（2）根据相等向量的定义写出即可；
（3）根据相反向量的定义写出即可.
【详解】（1）由题意，单位向量有共个；
（2）由题意，与相等有；
（3）由题意，的相反向量有.
18．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于1，E，F，G分别是棱AB，AD，BC的中点.

(1)求；
(2)求直线GE，GF夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理，以三个不共面的向量为基底，表示出向量，利用即可得；
（2）利用向量的数量积求夹角即可.
【详解】（1）.
因为四面体的所有棱长都等于1，所以，
所以.
.
∴
（2）
，
，
所以，GE，GF夹角的余弦值为.
19．已知空间三点，，，设，，．
(1)判断的形状；
(2)若，求的值．
【答案】(1)△ABC为直角三角形
(2)2
【分析】(1)利用空间中两点的距离公式结合勾股定理知识可判断三角形形状；
(2)由空间向量的坐标运算求出的坐标，再结合求出k值即可.
【详解】（1）由题意得，，，
，所以为直角三角形；
（2）由题意得，，，
，
因为，所以，
解得.
20．如图，在棱长为1的正方体中，点平面，且满足．

(1)利用向量基本定理求的值；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共面得到，整理得到，对比系数得到答案.
（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面的法向量得到距离，再计算体积得到答案.
【详解】（1）平面，则，，
即，
整理得到，又，
故，解得，.
（2）如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到，，
故到平面的距离为，
故.
故三棱锥的体积为.
21．已知直线，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；
（2）利用两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】（1）因为直线，，且，
则，解得.
（2）因为，则，解得或.
22．已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；
（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.
【详解】（1）因为直线与直线垂直，
所以可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为
（2）当直线过原点时，直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或