安徽省淮南市凤台县凤台县第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份安徽省淮南市凤台县凤台县第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
一、选择题（本大题共10小题、每小题4分、满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1. 下列新能源汽车的车标图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、，当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是二元二次方程，是关于t的一元一次方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 故选：B．
3. 如图，是半径为2的上的三点，弦，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理以及勾股定理的逆定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接，，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，，根据圆周角定理得出．
【详解】解：连接，，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵，
∴．
故选：B．
4. 把抛物线向右平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式求解更简便．求出抛物线平移后的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点坐标为，由顶点式得,平移后抛物线解析式为：，
故本题答案为：
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：C．
6. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针所指的数是质数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据概率公式可进行求解．
【详解】解：因为6个扇形中质数有共3个，所以指针指向偶数的概率为．
7. 如图、在同一平而直角坐标系中、直线和抛物线图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解．
【详解】解：A、由一次函数图象可知：，当时，抛物线开口向下，故此选项不符合题意；
B、由一次函数图象可知：，，当，，抛物线对称轴为直线，故此选项不符合题意；
C、由图可知，，，当，，抛物线开口向下，对称轴为直线，故此选项符合题意．
D、由一次函数图象可知：，，当，，抛物线对称轴为直线，故此选项不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，划的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点逆时针旋转到的位置，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，即旋转角的度数是，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．
9. 如图，，都经过A、B两点，且点O在上，连接并延长，交于点C，连接交于点D，连接，，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过O1作O1E⊥AB，垂足为E，连接O1B，易证AC、AD分别是，的直径，根据垂径定理可得AB=AO，进而易证△ABO是等边三角形，在Rt△BAD中，利用正切求出AD，进而即可求解．
【详解】如图，过O1作O1E⊥AB，垂足为E，连接O1B，
∵AC是的直径，
∴∠ABC=90°，
∴AD是的直径，
∵，
∴AB=AO，
∴∠ABO=∠AOB，
∵，
∴AO=3，BO=3，
∴AO=AB=BO=3，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∵∠BAD=∠DAO，
∴∠BAD=30°，
∴∠BO1D=60°，
在Rt△BAD中，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的综合题，涉及到弧长公式、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、正切，解题的关键是熟练掌握圆的性质及定理求出的直径AD．
10. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根定义、根与系数关系、根的判别式、不等式的性质等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题关键．
根据一元二次方程根的判别式得到，根据根与系数关系得到，利用一元二次方程根的定义得到，代入得到，利用不等式的性质进一步即可求出答案．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是，
，，
，
，
∵方程有两个实数根，
，解得
当时，有最大值，最大值为．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式方程的顶点坐标是，据此可以直接求顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点的坐标是．
故答案是：．
12. 已知远方程的一个根，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义．把代入已知方程可以得到，代入求值即可．
【详解】解：∵远方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
14. 已知点是抛物线上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______；
（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______．
【答案】 ①. ## ②. 0或5##5或0
【解析】
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于1，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可；
（2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M到y轴的距离不大于1，
∴，
∴此时点M在对称轴的左侧，
∵，
∴在对称轴的左侧随x的增大而减小，
∴当时，b取最大值，且最大值为，
当时，b取最小值，且最小值为，
∴b的取值范围是；
故答案为：；
（2）∵点到直线的距离不大于，
∴，即，
∴，
令，代入，即，解得：，，
令，代入，即，解得：，，
∴点M应为或上的动点，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为0或5；
故答案为：0或5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后把方程左边提公因式分解因式，进而解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
16. 某餐饮店开拓线上团购业务，于今年五月底上线团购券，六月份销售了256张，七、八月份该团购券十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到400张，求七、八月份该团购券销售量的月平均增长率．
【答案】七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为．根据六月份销售量乘以等于八月份的销售量，列出方程求解即可．
【详解】解：设七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为．
根据题意，得，
解得（不符合题意，舍去）．
答：七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．
（1）请画出关于原点对称的；
（2）将向右平移8个单位长度得到，请画出．
【答案】（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
【解析】
【分析】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质作图．
（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）将三个顶点分别向左平移8个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
18. 如图，四边形内接于的延长线交于点是的延长线上任意一点，平分．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定．
（1）先由圆内接四边形的性质和圆周角定理证得，再由角平分线的定义可得，从而证得，即可由等腰三角形的判定得出结论．
（2）利用（1）的结论、圆周角的性质与角的和差即可求解．
【小问1详解】
证明： 四边形内接于，
．
由圆周角定理，得．
又，
．
平分，
，
，
，
．
【小问2详解】
证明：，
．
又，
．
，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某公司年投入研发费用万元，成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为元/件．经试销发现年销售量（万件）与售价（元/件）的对应关系如下表所示：
（1）直接写出关于的函数关系式．
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，则当产品的售价为多少时，该年年利润（万元）最大？其最大年利润是多少？
【答案】（1）；
（2）当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．
【解析】
【分析】（1）由图表可知关于的函数关系为一次函数，设函数关系式利用待定系数法即可解答；
（2）根据利润的关系式利润销售总价成本价得到函数关系式即可解答．
【小问1详解】
解：设函数关系式为，根据题意可得：
，
解得：，
∴关于的函数关系式为；
【小问2详解】
解：根据题意可得：
，
∴，开口向下，
∵，
∴，
∵，当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．
【点睛】本题考查了一次函数与实际问题，二次函数在销售问题中的应用，理清数量关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20. 如图，已知为的直径，点D为上一点，连接于点E、且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，由可得，由可得，从而得到；
（2）根据，，可得是等边三角形，由勾股定理得，解得，根据是的中位线，解得，根据求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
，
．
，
．
是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：为的直径，
．
在中，
．
是等边三角形，
，
．
由勾股定理得，即，解得．
是的中点．
是的中点，
是的中位线，
．
，
．
【点睛】本题考查了圆切线的判定，涉及了圆周角定理，扇形面积的计算，切线的判定定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
六、（本题满分12分）
21. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：

（1）接受测评的学生共有_____人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为____；并补全条形统计图；
（2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度人数；
（3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率．
【答案】（1）160，；补图见解析
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例，根据四个等级人数之和等于总人数求出“良”的人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以“良”及“良”以上程度的人数所占比例即可．
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
接受测评的学生共有（人，
扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为，
等级为“良”的人数为（人，
故答案为：160，；
补全图形如下：
【小问2详解】
估计该校学生对安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数有：（人；
【小问3详解】
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况，
抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况之比．
七、（本题满分12分）
22. 已知和是两个全等的等腰直角三角形，．
（1）如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证：
①；
②；
（2）如图2，与边交于点与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析；
（2），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）①由是等腰直角三角形和，可以得到，，，得到，由可以证明；
（2）由①知，则，，证明．再证明，则，在中，，根据勾股定理，得，等量代换后即可得到结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，由旋转性质可得，，证明，即可得到，，可得，由勾股定理可得，等量代换后即可得到结论
【小问1详解】
①证明：是等腰直角三角形，，
，
，即．
在和中，
．
②解：由①知，
，
．
是等腰直角三角形，
，
．
，
，
．
又，
，
．
中，，由勾股定理得，
即．
【小问2详解】
解：，证明如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点的坐标；
（3）将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中随增大而增大的部分记为图象，若图象与直线只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）将、两点的坐标代入抛物线，即可得出抛物线的解析式；
（2）过点作轴，垂足为，连接．设点的坐标为，则点的坐标为，根据列方程求解即可；
（3）先用待定系数法求出直线的解析式为，得出平移后的抛物线的顶点的坐标为，分两种情况，由二次函数的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：把代入，
得解得
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：如图，过点作轴，垂足为，连接．
由（1）知，．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
或．
点在抛物线上，
当时，；当时，，
点的坐标为或．
【小问3详解】
解：设直线的解析式为．
把代入，得解得
直线的解析式为．
由（1）知抛物线解析式为．
设平移后的抛物线的解析式为，
则平移后的抛物线的顶点坐标为．
图象与直线只有一个交点，
有以下两种情况：
①当时，，即，解得；
②，即，整理，得，
，解得．
综上所述，若图象与直线只有一个交点，的取值范围为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象平移，抛物线与轴的交点坐标，三角形的面积，属二次函数与一次函数综合治理题目，熟练掌握二次函数的性质及方程思想、分类讨论是解题的关键．/（元/件）
/万件