安徽省淮南市寿县广岩初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省淮南市寿县广岩初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．二次函数y＝﹣（x＋2）2＋1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）
2．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．
5．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为144．AE＝13．则DE的长为（ ）
A．2B．C．4D．5
6．若函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）

A．B．C．D．2
9．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55°B．70°C．110°D．125°
10．如图，二次函数图象与x轴交于，对称轴为直线，与y轴的交点B在和（不包括这两个点），下列结论：
①当时，；②；③当时，；④．其中正确的结论是（ ）．

A．①③B．①②③C．①②④D．①④
二、填空题
11．若点在反比例函数的图像上，则a的值为 ．
12．小明沿着坡度为的坡面向上走了米，此时小明上升的垂直高度为 米．
13．如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则圆O的半径为 ．
14．抛物线的顶点坐标为．
（1） ：
（2）若抛物线向下平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ．
三、解答题
15．计算：sin230°+tan60°•tan30°﹣cs245°．
16．已知抛物线（为常数）．
（1）若抛物线与轴只有一个公共点，求的值；
（2）点与在抛物线上，求的值．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数图象交于点A和点B，两个点的横坐标分别为2、﹣3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出点P的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，-4)，B(3，-3)，C(1，-1)．
(1)将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)请将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
19．我国首艘国产航母“山东”号是保障国土安全，维护祖国统的又一利器．如图，一架歼15舰载机在航母正后方A点准备降落，此时在A测得航母舰首B的俯角为11.3°，舰尾C的俯角为14°，如果航空母舰长为315米且B比C高出10米，求舰载机相对舰尾C的高度（参考数据：sinl1.3°=0. 22， sin14°=0. 24，tanl1.3°=0.2，tan14° =0.25）
20．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的长．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，F是线段BD上一点，连接CF并延长CF，与AB交于点E，CF＝BF．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）若CE＝12，BE＝8，求AB的长．
22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
(2)如果该企业要使每天的销售利润不低于元，且每天的总成本不超过元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）
23．如图，在中，，AC=BC=2，M是边AC的中点，于H.
（1）求MH的长度；
（2）求证：；
（3）若D是边AB上的点，且为等腰三角形，直接写出AD的长.
参考答案：
1．B
【分析】根据二次函数的性质直接求解．
【详解】解：二次函数y＝﹣（x＋2）2＋1的顶点坐标是(﹣2，1)．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确掌握知识点是解题的关键.
2．C
【分析】根据等式的性质求出，代入所求式子中，即可求出答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，分式的求值，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．
3．B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
4．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴.
∴DE=.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
5．D
【分析】由旋转性质得△ABF≌△ADE，再根据全等三角形的性质得到S正方形ABCD=S四边形AECF=144进而求得AD=12，再利用勾股定理求解DE即可．
【详解】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴△ABF≌△ADE，
∴S△ABF=S△ADE，
∴S正方形ABCD=S四边形AECF=144，
∴AD=12，
在Rt△ADE中，AE=13，AD=12，
由勾股定理得：=5，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出S正方形ABCD=S四边形AECF是解答的关键．
6．D
【分析】根据已知函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点得出△＞0，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点，
∴方程x2−2x＋b＝0有两个不相等的实数根，
即△＝（−2）2−4×1×b＝4−4b＞0，
解得：b＜1，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题和解一元一次不等式，能根据题意得出不等式是解此题的关键．
7．B
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【详解】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，；
此时OM最短，
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8．B
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
9．B
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
10．B
【分析】①先由抛物线的对称性求得抛物线与轴另一个交点的坐标为，从而可知当当时，；
②设抛物线的解析式为，则，令得：．由抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两个点），可知；
③由二次函数的最大值是，从而可知．
④由，，从而求得．
【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴令一个交点的坐标为，当时，，故①正确；
②设抛物线的解析式为，则，
令得：．
抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两个点），
．
解得：，故②正确；
③当时，函数有最大值，即，
，故③正确；
④，，
，故④错误，
综上分析可知，正确的有①②③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．
11．3
【分析】本题主要考查了求反比例函数值，根据反比例函数图象上的点一定满足其解析式，把点A坐标代入反比例函数解析式中求出a的值即可．
【详解】解：把代入中得：，
故答案为：3．
12．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据坡度求出坡角的度数，再根据坡角的正弦值即可求解，掌握坡度、坡角的定义是解题的关键．
【详解】解：设坡角的度数为，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴垂直高度米，
故答案为：．
13．2
【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，由勾股定理可计算出AC的长，根据面积关系 ，即可求得半径．
【详解】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O为的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理，图形的面积等知识，利用面积关系解答是关键．
14． 1
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式求解即可；
（2）根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标结合图象求解．
本题考查二次函数的图象性质，解题的关键是根据题意作出图象，根据二次函数的图象与现在求解．
【详解】（1）抛物线的对称轴是直线．
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴．
则．
故答案为：1；
（2）由（1）知抛物线的解析式为，
平移后抛物线解析式为，
如图，当直线与抛物线交点在x轴上方，直线与抛物线交点在x轴上或x轴下方满足题意．
即，
解得．
故答案为：．
15．．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16．（1）或；（2）4
【分析】（1）根据题意得，即可求解；
（2）将P（1，b），Q（3，b）代入抛物线表达式，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得，解得或；
（2），在抛物线上，
，解得：，
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
17．（1）；（2）点P的坐标是（0，3）或（0，﹣1）．
【分析】（1）把点A和点B的横坐标代入一次函数解析式，得出A、B两点的坐标，进而得出反比例函数的解析式；
（2）由一次函数解析式可以求得点C的坐标，然后根据三角形的面积公式来求点P的坐标．
【详解】（1）∵y＝x+1，点A和点B的横坐标分别为2、﹣3，
∴A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵y＝x+1，
∴C（0，1），
∵△PAB的面积等于5，
∴，
解得：PC＝2，
∴点P的坐标是（0，3）或（0，﹣1）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用函数图象上点的坐标特征求得相关点的坐标，然后由坐标与图形的性质得到相关线段的长度是解题的关键．
18．(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、CABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．舰载机相对舰尾C的高度为365米
【分析】根据题意，将题中描述转化为数学语音，根据两直线平行内错角相等得到度数，再利用直角三角函数求解即可．
【详解】如图，过A点作过B点的水平直线的垂线，它们相交于D点，延长AD与过C点的水平直线交于E点，那么线段AE的长度即为舰载机相对舰尾C的高度，再过A点的水平直线上取一点F，则 AFBDCE，
∴∠ABD = ∠BAF， ∠ACE = ∠CAF， ∠AEC = ∠ADB = 90°，
∵由题意，可得∠BAF = 11.3°，∠CAF = 14°，
∴∠ABD = 11.3°，∠ACE = 14°，
设AE= x米，则AD = （x －10）米，
∵在Rt△AEC中， tan ∠ACE = ，
∴CE =（米）
∵航空母舰的长为315米，
∴BD＝4x＋315（米），
∵在RtΔABD中，tan∠ABD＝
∴tan 11.3°= 即，
解得：x＝365
经检验，x＝365使方程成立并且符合题意，
则舰载机相对舰尾C的高度为365米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）BF=.
【分析】（1）连接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理求得AF=13，设⊙O的半径为r，则有OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，通过证明△OFD∽△AFE，根据相似三角形对应边成比例进而求得r的值即可得..
【详解】解：（1）如图，∵DE⊥AC，
∴∠AEF=90°
连接OD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠DAE=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠ODF=∠AEF=90°，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线；
（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF==13，
设⊙O的半径为r，
∴OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，
由（1）知，OD∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴r=，
∴BF=13﹣r=.
21．（1）见解析；（2）26
【分析】（1）由C是的中点，可推出∠BAC=∠DBC，由CF=BF，可得∠FBC=∠BCF，则∠BAC=∠BCF，由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCF=90°，则∠ACF+∠BAC=90°，即可推出∠AEC=90°，即CE⊥AB；
（2）连接OC，设⊙O的半径为， 则OC=OB=，OE=OB-BE=-8，由（1）知，∠OEC=90°，则在Rt△OCE中，，，由此求解即可．
【详解】解：（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠BAC=∠DBC，
∵CF=BF，
∴∠FBC=∠BCF，
∴∠BAC=∠BCF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF+∠BAC=90°，
∴∠AEC=90°，即CE⊥AB；
（2）连接OC，
设⊙O的半径为， 则OC=OB=，OE=OB-BE=-8，
由（1）知，∠OEC=90°，
∴在Rt△OCE中，，
∴，
解得=13，
∴AB=26．
【点睛】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等弧所对的圆周角相等．
22．(1)；
(2)销售单价应该控制在元至元之间．
【分析】（）根据“利润(售价成本)销售量”即可列出函数关系式；
（）每天的销售利润不低于元，根据二次函数与不等式的关系求出的取值范围，再根据每天的总成本不超过元，以及，列不等式求解即可得到销售单价的控制范围；
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意，求出二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，
，
，
，
∴；
（2）解：当时， ，
整理得，，
解得，，
∴当时，每天的销售利润不低于元，
由每天的总成本不超过元，得 ，
解得，
∴，
∵，
∴销售单价应该控制在元至元之间．
23．（1）；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）根据已知条件M是边AC的中点知，在直角三角形MBC中利用勾股定理求得，由同角的余角相等求得，所以，在中，利用边角关系求得MH的值；
（2）在中利用射影定理求得，然后结合即可判定；
（3）分三种情况讨论：①AD为底边时；②HD为底边时；③AH为底边时，解直角三角形分别求出AD即可.
【详解】解：（1）在中，，
又∵是边AC的中点，
∴，
∴，
又于H，则，
∴，
∴，
∴在中，；
（2）∵，
∴，
又∵,
∴；
（3）∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
①AD为底边时，如图1，，
∵，
∴，
∴；
②HD为底边时，如图2，；
③AH为底边时，，
故AD的长为：或或.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，解答(3)题时，注意要分三种情况来求AD的长度，即：①AD为底边时；②AH为底边时；③HD为底边时，以防漏解.