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2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.圆心为且过点的圆的标准方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】先求得圆的半径,从而确定正确答案.
【详解】圆的半径为,
所以圆的标准方程为.
故选:A
2.抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据抛物线方程的特征和性质即可求解.
【详解】由抛物线,得,解得:,
所以抛物线的焦点坐标为,
故选:A.
3.如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是,那么点到它的左焦点的距离是( )
A.B.C.或D.不确定
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设双曲线的左、右焦点为,则;
则,
由双曲线定义可得,即,
所以或,由于,
故点到它的左焦点的距离是或,
故选:C
4.若直线l的方程为x-ysinθ+2=0,则直线l的倾角的范围是( )
A.[0,]B.[,]C.[,]D.[,)∪(,)
【答案】C
【分析】分,讨论即可
【详解】当时,方程为,倾斜角为
当时,直线的斜率,
所以
即
综上
故选:.
5.已知直线与圆交于,两点,若,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】利用圆的性质及勾股定理得到圆心到直线的距离,再利用点到直线的距离公式建立方程,解方程即可求得结果.
【详解】设圆心到直线的距离为,则根据题意得,
由点到直线的距离公式得,解得.
故选:C.
6.已知双曲线C:的右焦点为F,B为虚轴上端点.M是中点,O为坐标原点,OM交双曲线右支于N,若垂直于x轴,则双曲线C的离心率为( )
A.B.2C.D.
【答案】A
【分析】由图,可得点M,N坐标,后由可得,即可得答案.
【详解】如图,由题意可知
注意到,又由题,,则.
因M是中点,则,则.
由题,,则,故.
故选:A.
7.已知抛物线的方程为 ,过其焦点的直线交抛物线于两点,若,( )
A.B.3C.D.2
【答案】C
【分析】设出直线方程与抛物线联立,利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得.
【详解】如下图所示:
易知,不妨设;
设直线的方程为,与联立消去得,
,
由韦达定理可知;
由可得;联立解得,即;
根据焦点弦公式可得;
代入计算可得.
故选:C
8.黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A,B;椭圆上有一动点P(异于椭圆的左右顶点),设直线, 斜率分别为,则为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】设出点P的参数形式,再结合直线的斜率公式,以及椭圆的性质,即可求解.
【详解】点P为椭圆C上的动点,则可设,
又,
则.
故选:D.
二、多选题
9.下列说法正确的是( )
A.已知直线:与直线:垂直,则的值为0
B.已知直线:与直线:平行,则的值为±1
C.点到直线:(m为任意实数)的距离的最大值是
D.已知,点,直线:上有一动点,当取得最小值时,点的坐标为
【答案】ACD
【分析】直接利用直线垂直的充要条件,直线平行的充要条件,点关于线的对称判断A、B、C、D的结论.
【详解】对于A:已知直线:与直线:垂直,根据直线垂直的充要条件,解得,故A正确;
对于B:已知直线:与直线:平行,故:,解得,当时,两直线重合,故舍去,故B错误;
对于C:直线:,整理得,故,,故恒过点,故,即最大距离,故C正确;
对于D:已知,,设点关于直线的对称点为,
所以,解得,
所以直线的方程为,
故,解得,故P点的坐标为,故D正确.
故选:ACD.
10.以下四个命题表述正确的是( )
A.若圆:上有且仅有两个不同的点到直线:的距离为1,则的取值范围是
B.点为圆:上的点,则的最大值为25
C.两圆与的公共弦所在的直线方程为
D.圆:与圆:恰有三条公切线
【答案】BCD
【分析】由圆心到直线的距离,即可求得m的取值范围,从而判断A;由圆上的点到定点的距离知识即可判断B;由两圆公切线所在直线方程的求法即可判断C;通过判断两圆的位置关系即可判断D.
【详解】对于A,因为圆C:上有且仅有两个不同的点到直线:的距离为1,所以圆心到直线的距离,即,解得或,故A错误;
对于B,因为表示圆上的点到点的距离,由圆心到点的距离,得的最大值为,故B正确;
对于C,将两圆方程相减得:,故C正确;
对于D,将圆C:化为标准方程为:,其圆心,半径,将圆:化为标准方程为:,其圆心,,则,则两圆外切,故两圆有3条公切线,故D正确;
故选:BCD.
11.下列说法正确的是( )
A.抛物线的焦点为F,P为抛物线上一点,则以线段为直径的圆与y轴相切
B.抛物线的准线方程是,则
C.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线上的等轴双曲线方程为
D.双曲线,直线与双曲线交于A,B两点,若的中点坐标是,则直线的斜率为2
【答案】AC
【分析】由题意,设出点P的坐标,得到以线段为直径的圆的圆心,结合抛物线的定义即可判断选项A;结合所给抛物线方程,列出等式即可求出a的值,进而可判断选项B;令,得到,设出等轴双曲线的方程,利用等轴双曲线的性质以及a,b,c之间的关系,进而可判断选项C;设出A,B两点的坐标,假设的中点坐标是,利用点差法求出直线的方程,将直线的方程与双曲线方程联立,利用根的判别式即可判断选项D.
【详解】对于选项A:已知抛物线的焦点,
因为P为抛物线上一点,不妨设,
则以线段为直径的圆的圆心为,
由抛物线的定义知与点P到直线的距离相等,
所以以线段为直径的圆的半径为,
此时以线段为直径的圆与y轴相切,故选项A正确;
对于选项B:若抛物线的准线方程是,
此时,解得,故选项B错误;
对于选项C:因为双曲线中心在原点,实轴在x轴上,
当时,,
所以该双曲线的一个焦点为,即,
因为该双曲线为等轴双曲线,
不妨设该双曲线方程为,
所以,解得,则该等轴双曲线为,
即,故选项C正确;
对于选项D:因为直线与双曲线交于A,B两点,
不妨设,,
此时,,
两式相减得,
若的中点坐标是,可得,,
所以直线的斜率,
则直线的方程为,即,
联立 ,消去并整理得,
此时,
则当直线的斜率为2时,其与双曲线不存在两个交点,故D错误.
故选:AC.
12.已知椭圆:的左右焦点分别为、,长轴长为4,点在椭圆内部,点在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时,的最大值为
C.存在点使得
D.的最小值为1
【答案】BD
【分析】由题设可得、,利用离心率公式即可求范围判断A;当得,进而求焦点坐标,再利用椭圆定义及有界性求的最大值判断B;根据已知判断的大小关系,再判断以原点为圆心,为半径的圆与椭圆有无交点,即可判断C;由结合基本不等式求最值,注意等号成立条件.
【详解】由题设,,则,又在椭圆内部,则,即,
∴,故A错误;
当时,有,易得,.
∴由,则,故B正确;
由,即,以原点为圆心,为半径的圆与椭圆无交点,
∴椭圆上不存在点使得,故C错误;
由,当且仅当时等号成立,即为短轴端点取等号,
∴的最小值为1,故D正确.
故选:BD
【点睛】关键点点睛:根据已知首先可得、,再综合应用离心率公式、椭圆定义及有界性,结合基本不等式判断各选项的正误.
三、填空题
13.两平行直线与间的距离为 .
【答案】/0.8
【分析】根据已知条件,结合两直线平行的距离公式,即可求解.
【详解】两平行直线与间的距离为:.
故答案为:.
14.已知椭圆的一个焦点为,则 .
【答案】
【分析】设椭圆焦距为,长轴为,短轴为,由题可得,即可得答案.
【详解】设椭圆焦距为,长轴为,短轴为.
由题,椭圆的焦点在y轴上,,,
故.
故答案为:.
15.若双曲线C与双曲线有相同的渐近线,且经过点,则双曲线C的标准方程是 .
【答案】
【分析】设双曲线C的方程为,根据双曲线经过的点求得,从而求得双曲线的标准方程.
【详解】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线,
可设双曲线C的方程为,又C过点,
所以,,
整理得双曲线C的标准方程是.
故答案为:
16.已知抛物线,圆,设为坐标原点,过圆心的直线与圆交于点,直线分别交抛物线于点(点不与点重合).记的面积为,的面积为,则的最大值 .
【答案】
【分析】设出点的坐标,把、用点的坐标表示,联立方程用韦达定理将最终表示为一个变量的函数求解.
【详解】由题意,知直线AB的斜率不为0,故设直线AB的方程为x=my+4,
如图,设.
将直线AB的方程代入圆E的方程中,消去x,得,
所以,所以,且.
直线OA的方程为,代入抛物线方程,
消去x,得,解得或,所以.
同理,得,
所以
,
所以当m=0时,取得最大值,为.
故答案为:
四、解答题
17.(1)已知两点,求线段的垂直平分线的方程.
(2)求经过两条直线和的交点,且平行于直线的方程.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)直接利用直线垂直的充要条件和中点坐标公式求出直线的方程;
(2)首先利用直线的交点和平行直线系求出直线的方程.
【详解】(1)已知两点,,,
故线段的垂直平分线的斜率,
由中点坐标公式求出线段的中点,
故线段的垂直平分线的方程为,整理得.
(2)根据题意,解得,
设经过点且平行于直线的直线方程为,
故,解得.
故所求的直线的方程为.
18.分别根据下列条件求圆的标准方程:
(1)圆心在直线上,半径为2,且与直线相切;
(2)过三点,,.
【答案】(1)或
(2).
【分析】(1)由半径为2,且与直线相切,可得圆心纵坐标,后结合圆心在直线上可得圆心坐标即可得答案;
(2)设相应圆方程为,代入三点坐标,解相应三元一次方程可得答案.
【详解】(1)因圆半径为2,且与直线相切,则圆心纵坐标为或.
又圆心在直线上,则圆心坐标为或.
故相应圆的标准方程为:或;
(2)设相应圆方程为,代入三点,,,
则,即圆的一般方程为:.
故圆的标准方程为:.
19.已知椭圆的方程椭圆左、右焦点分别为,,点P是椭圆上的一点,
(1)若,求的面积;
(2)在椭圆上找一点P,使它到直线:的距离最短,并求出最短距离.
【答案】(1);
(2)的坐标为,.
【分析】(1)由题意,根据椭圆的定义,余弦定理和三角形面积公式再进行求解即可;
(2)设出与直线:平行的直线方程,将该直线方程与椭圆方程联立,结合根的判别式求出m的值,再结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】(1)已知椭圆C的方程为,
因为点P是椭圆C上的一点,且,
易得,,
在中,由余弦定理得,
整理得,
即,
又,解得,
则;
(2)
不妨设与直线:平行的直线与椭圆相切,
联立,消去y并整理得,①
因为,解得,
当时,直线与直线的距离;
当时,直线与直线的距离,
因为,所以符合题意,
将代入①式中,解得,
当时,,则点的坐标为,
故距离的最小值为,此时点的坐标为.
20.如图,A地在B地东偏北45°方向相距处,且B与相距4km.已知曲线形公路上任意一点到B地的距离等于到高铁线(近似看成直线)的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)
(1)试建立适当的直角坐标系求环形公路所在曲线的轨迹方程;
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线长度最短?并求出最短长度.
【答案】(1)
(2),位于A地正南方且与A地相距,所用电线最短长度为6km.
【分析】(1)取经过点B且垂直的直线为y轴,垂足为K,并使原点与线段的中点重合,建立直角坐标系,由题意可知环形公路所在曲线的轨迹是抛物线,直接利用抛物线的定义得到其标准方程;
(2)利用抛物线的定义,把所要求的最小值转化为在抛物线上取一点,使该点到A点的距离和到高铁线的距离最小.
【详解】(1)如图,
取经过点B且垂直的直线为y轴,垂足为K,
并使原点与线段的中点重合,建立直角坐标系,
则,,
因为环形公路上任意一点到B地的距离等于到直线的距离,
所以所在的曲线是以为焦点以l为准线的抛物线.
设抛物线方程为,则.
∴环形公路所在曲线的轨迹方程为.
(2)要使架设电线长度最短,即最小,
过M作,垂足为H,
∴,
当A、M、H三点共线时,即取得最小值,
此时,位于A地正南方且与A地相距,所用电线最短长度为6km.
21.已知双曲线C:一个焦点F到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,在x轴上是否存在点N,使得为定值?如果存在,求出点N的坐标及该定值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在;点,
【分析】(1)根据点到线的距离公式去接即可;
(2)设其方程为,,设,,,联立直线与双曲线的方程,得出韦达定理,化简可得,从而得到定点与定值.
【详解】(1)由双曲线得渐近线方程为,设,则,
∴双曲线C方程为;
(2)依题意,直线的斜率不为0,设其方程为,,
代入得,设,,,
则,,
∴
若要上式为定值,则必须有,即,
∴,
故存在点满足
22.椭圆的离心率是,点是椭圆上一点,过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值;
(3)在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使恒成立?存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在,.
【分析】(1)由离心率及过点列方程组求解.
(2)设直线为与椭圆方程联立,将表达为的函数,由基本不等式求最大值即可.
(3)先讨论直线水平与竖直情况,求出,设点关于轴的对称点,证得三点共线得到成立.
【详解】(1)根据题意,得,解得,椭圆C的方程为.
(2)依题意,设,直线的斜率显然存在,
故设直线为,联立,消去,得,
因为直线恒过椭圆内定点,故恒成立,,
故,
令,所以,当且仅当,即时取得等号,
综上可知:面积的最大值为.
(3)当平行于轴时,设直线与椭圆相交于两点,如果存在点满足条件,
则有,即,所以点在轴上,可设的坐标为;
当垂直于轴时,设直线与椭圆相交于两点,如果存在点满足条件,
则有,即,解得或,
所以若存在不同于点的定点满足条件,则点的坐标为;
当不平行于轴且不垂直于轴时,设直线方程为,
由(2)知,
又因为点关于轴的对称点的坐标为,
又,,
则,
所以,则三点共线,所以;
综上:存在与点不同的定点,使恒成立,且.
.
【点睛】方法点睛:直线与椭圆交于,当且仅当时,取得最大值.
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