2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解出集合A，求出并集.

【详解】

所以，

故选：A.

2．命题“对任意，都有”的否定是（    ）

A．存在，使得 B．不存在，使得

C．存在，使得 D．对任意，都有

【答案】C

【分析】直接根据全称命题的否定的定义得到答案.

【详解】命题“对任意，都有”的否定是：存在，使得.

故选：C.

3．下列各不等式中成立的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】本题考查指数函数，对数函数的单调性及应用.

函数是增函数，函数是减函数，函数是增函数，函数是减函数，所以；

函数是增函数，故选C

4．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，，为奇函数，不符合题意；

对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；

对于C，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；

对于D，为奇函数，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题.

5．已知,且,那么等于(    )

A．16 B．－16 C．－24 D．－32

【答案】D

【分析】把原函数写成一个奇函数加常数的形式，然后利用奇函数的性质获解

【详解】设,则

所以

因为

所以

所以,即

故选：D

6．二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出在区间上单调递增的等价条件为，通过充分不必要条件的定义，即可判断

【详解】因为二次函数在区间上单调递增，

所以解得．因为只有C是其真子集，

故选：C

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定函数探讨其对称性可排除选项A，B；再由时的函数值符号即可判断作答.

【详解】函数定义域为，其 图象可由函数的图象右移3个单位而得，

而，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，

因此，函数图象关于点对称，选项A，B不满足；

又当时，，，即有，则当时，图象在x轴上方，D不满足，

所以函数的部分图象大致为C.

故选：C

8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时.若对任意的恒成立，则实数t的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据奇偶性和解析式分析函数在定义域内是单调递增，转化为，得恒成立，求参数范围.

【详解】当时，，所以在上单调递增且，

又是定义在上的奇函数，，综上在上单调递增，

由，可得，

则，所以，即对任意的恒成立，所以，

得，

解得.

故选：C

【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和单调性解决不等式恒成立求参数范围问题，其中涉及转化与化归思想.

二、多选题

9．下列各组函数是同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BD

【分析】当且仅当两个函数的定义域和对应关系相同，两函数是同一个函数，所以分别求各选项中两函数的定义域，若定义域相同，再判断对应关系是否相同即可.

【详解】对于A：与的定义域都是R,对应关系不同，因此不是同一函数；

对于B：与,定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；

对于C：的定义域为R,与的定义域为，

定义域不同，因此不是同一函数；

对于D：与，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数.

故选：BD.

10．以下命题正确的是（    ）

A．函数的图象与直线一定有1个公共点

B．是非奇非偶函数

C．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为.

D．若函数的值域为，则的取值范围为.

【答案】CD

【分析】根据函数的定义域值域，结合函数的奇偶性性质然后逐项判断；

【详解】选项A: 函数，在处没有意义，故两者没有公共点，选项错误；

选项B：定义域，解得：且定义域关于原点对称，

故函数为奇函数，选项错误；

选项C：当时，，

当时，，，

因为函数是奇函数，所以，故选项正确；

选项D：因为函数的值域为，设函数，

所以函数可以取遍所以大于0的数，故有

解得：，选项正确；

故选:CD.

11．已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数在上单调递增

C．

D．满足不等式的的取值范围为

【答案】ABD

【分析】令求出的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明单调性可判断B；由以及可判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：令，得，所以，故选项A正确；

对于B：令，得，所以，

任取，，且，则，

因为，所以，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；

对于C：

，故选项C不正确；

对于D：因为，由可得，所以，

所以不等式等价于即，

因为在上单调递增，所以 解得：，

所以原不等式的解集为，故选项D正确；

故选：ABD．

【点睛】利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.

12．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（    ）

A．

B．若，则

C．函数的值域是

D．函数在上单调递增

【答案】ABD

【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可.

【详解】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确；

对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确；

对C，函数，当时，，故C错误；

对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．函数的定义域为          ．

【答案】

【分析】根据分式和根式的定义域求出范围即可.

【详解】由,解得且,

故定义域为,

故答案为:.

14．若正数，满足，则的最小值是      ．

【答案】

【分析】将展开，再利用基本不等式即可求解.

【详解】

当且仅当即 时等号成立，

所以的最小值是，

故答案为：.

15．已知对任意都有意义,则实数的取值范围是           .

【答案】

【分析】根据对数函数成立的条件进行讨论，分别进行求解即可．

【详解】要使函数有意义，则当意时，恒成立，

即．

若时，当时，此时不成立．

若，当时，作出函数和的图象，

当时，，得，即，

若对任意恒意义，则，

即实数的范围是．

故答案为：．

【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意区间的开闭情况.

16．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为            ．

【答案】

【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.

【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.

故答案为：.

四、解答题

17．化简求值

（1）；

（2）．

【答案】（1） （2）

【分析】（1）把0指数幂化为1，利用根式的运算性质化简，其余直接利用有理指数幂的运算进行化简求值；

（2）利用对数的性质及运算法则直接求解．

【详解】（1）=-+1-3+=-2=.

（2）（lg5）2+lg2（1+lg5）

＝（lg5）2+lg2+lg2lg5-2

＝lg5（lg5+lg2）+lg2-2

＝lg5+lg2-2

＝-1．

【点睛】本题考查有理指数幂及根式的化简与求值，考查了对数式化简求值，是基础题，解题时注意对数的性质及运算法则的合理运用，属于基础题．

18．（1）若幂函数在区间上是减函数，求实数的值．

（2）若为奇函数，求的值．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据且求解即可；

（2）对恒成立，可得，从而可得答案.

【详解】（1）幂函数在区间上为减函数，

且．

．

（2）因为函数为奇函数，

所以对恒成立，

即对恒成立，

可得.

19．设集合，，．

（）求．

（）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（）先求的集合，， 即可求解．

（）由，所以，分是空集和非空集合，分类讨论即可求解实数的取值范围．

试题解析：

（），， 所以．

（）因为，所以，

若是空集，则，得到，

若非空，则，得，

综上所述，，即的取值范围是．

20．已知函数

(1)解关于的不等式；

(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为

(2)

【分析】（1）根据，分类讨论，即可解出不等式；

（2）求出当时的解析式，根据的值域是的值域的子集列不等式组，即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）由题意，

在中，，

∴，

∴，

当时，解得，

当时，解得，

当时，解得，

综上，当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为

（2）在中，

当时，，

∵，

∴函数的值域是，

在中，

∵对任意的，总存在，使成立，

∴的值域是的值域的子集，

当时，，则，解得

当时，，则，解得，

当时，，不成立；

综上，实数m的取值范围.

21．我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍.

(1)求声压级S关于声压P的函数解析式；

(2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3）

【答案】(1)

(2)不会，理由见解析

【分析】（1）根据已知条件代入具体数据即可求出参数的值，从而确定解析式

（2）将声压级代入解析式求出声压，根据求出叠加后的声压，代入解析式可求出对应的声压级，与45比较大小，判断是否会干扰学习

【详解】（1）由题意得： ，，所以，所以声压级S关于声压P的函数解析式为

（2）不会干扰我们正常的学习，理由如下：

将代入得：，所以，解得：，即所以，代入得：，所以不会干扰我们正常的学习.

22．已知函数．

（1）当时，求函数的单调增区间（写出结论即可）；

（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围．

（3）当，求函数在上的最小值．

【答案】（1）函数的单调递增区间为、；（2）；（3）.

【分析】（1）将函数解析式表示为分段函数的形式，即可写出函数的单调递增区间；

（2）由已知可得不等式对任意的恒成立，由基本不等式可求得的最小值，由此可求得实数的取值范围；

（3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可求得关于的表达式.

【详解】（1）当时，.

所以，函数的单调递增区间为、；

（2）当时，由可得，

可得，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，.

因此，实数的取值范围是；

（3）①当且时，

，

因为，故函数在区间上单调递增，

故；

②当时，，

因为，所以，函数在上单调递减，

在上单调递增，故；

③当时，由（1）可知，，

在上单调递减，此时；

④当且时，且，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

，故.

综上所述，.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.