黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2022级高二学年上学期10月份月考

数 学 试 卷

考试时间：120分钟   分值：150分

命题人：崔丽华   审题人：张茜茜

一、单选题（每小题5分，有且只有一个正确选项）

1．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ）

A．   B．

C．或  D．或

2．直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（   ）

A． B．∪  C． D．

3．设椭圆，的离心率分别为，，若，则（    ）

A．1 B．2  C．     D．

4．“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A．充要条件        B．必要不充分条件    C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知双曲线 的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的 中点，则（    ）

A．1 B．2   C．3     D．4

6．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ）.

A．        B．           C．                D．

7．已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（    ）

A． B．  C．  D．

8．已知，则的最小值为（    ）

A． B．  C．  D．

二、多选题（每小题5分，有错误选项得0分，选项不全得2分）

9．下列结论不正确的是（    ）．

A．过点，的直线的倾斜角为

B．直线恒过定点

C．直线与直线之间的距离是

D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5

10．设有一组圆，下列命题正确的是（　　）

A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上      B．所有圆均不经过点

C．经过点的圆有且只有一个               D．所有圆的面积均为4

11．设曲线的方程为，下列选项中正确的有（    ）

A．由曲线围成的封闭图形的面积为

B．满足曲线的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个

C．若，是曲线上的任意两点，则，两点间的距离最大值为

D．若是曲线上的任意一点，直线l：，则点到直线的距离最大值为

12．已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（    ）

A．离心率的取值范围为                  B．不存在点，使得

C．当时，的最大值为          D．的最小值为1

三、填空题（每小题5分）

13．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为           ．

14．与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为           ．

15．设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为           ．

16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为           ．

四、解答题（共6道，满分70分，10+12+12+12+12+12）

17．（1）求两条平行直线与间的距离；

（2）若直线与直线垂直，求的值.

18．直线l过点，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.

(1)若，求直线l的方程；

(2)当的面积为6时，求直线l的方程.

19．在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上.

(1)求圆的标准方程；

(2)设垂直于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.

20．党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.

  (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.

(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.

21．已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．

(1)求椭圆的方程；

(2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．

22．已知椭圆过点，且离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标．

参考答案：

1．D

【详解】解法一  当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；

当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，

解得，此时直线方程为.

2．D

【详解】直线l的斜率，因为，所以，设直线l的倾斜角为，则，因为，所以或，所以直线l的倾斜角的取值范围是

3．B

【详解】对于椭圆，有.

因为，所以，解得．

4．B

【详解】等价于.

若，则方程表示单位圆.

若方程表示椭圆，则椭圆方程可化为，则且.

故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.

5．B

【详解】解：因为右焦点为，所以，又因为 ，则 ，又因为 ，则 ，所以为坐标原点，且为线段的中点，所以，

6．A

【详解】∵，∴，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，∴，∴，即，∴，即，又，∴，

7．C

【详解】设，则，可得，

即点在以为焦点的椭圆上，且，所以点的轨迹为，整理得，由题意可知：，

所以.

8．D

【详解】

该式子是表示点到点、点的距离之和，又 ，

上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值（如图）.

  设点关于直线的对称点为，

则有，解得，即，

所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.

9．ABC

【详解】A，过点，的直线的斜率为，设直线倾斜角为，则，由于，

故过点，的直线的倾斜角不为，A错误；

B，直线变形得到，令，

解得，故直线恒过点，B错误；

C，直线变形为，故与直线之间的距离是，故C错误；

D，在平面直角坐标系中画出，，两点都在轴上方，画出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则即为的最小值，则，D正确.

10．AB

【详解】由题意可知：圆的圆心，半径.

对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确；

对于选项B：令，整理得，

因为，可知方程无解，

所以所有圆均不经过点，故B正确；

对于选项C：令，整理得，

因为，可知方程有两个不同的解，

所以经过点的圆有且只有两个，故C错误；

对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误

11．ACD

【详解】对于曲线，当，时，曲线表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；

当，时，曲线表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分；

当，时，曲线表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分；

当，时，曲线表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分；

当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示，

对于A，曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故A正确；

对于B，曲线恰好经过，，，，，，，，共9个整点，故B不正确；

对于C，曲线上两点之间最大距离为，故C正确；

对于D，由直线恒过定点，由知曲线上两点之间最大距离为，D正确．

12．ABC

【详解】对于A，由已知可得，，所以，

则，故A正确；

对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；

对于C，由已知，，所以，．

又，则．

根据椭圆的定义可得，

所以，

由图可知，，

所以

当且仅当，，三点共线时，取得等号．

故的最大值为，故C正确；

对于D，因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为，故D错误．

13．

【详解】由题意，表示圆，故，即或，点A（1，2）在圆C：外，故，即，故实数m的取值范围为或，

14．

【详解】由椭圆方程，可得焦点为

设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则

故，所以，

所以双曲线的标准方程为：

15．10

【详解】由题意知，，

所以，

由于点是圆上的点,故其坐标满足方程，

故，

所以.

由圆的方程，易知，

所以当时，的值最大，最大值为.

故答案为：10

16．

【详解】设点，由可得，整理可得，

化为标准方程可得，

因为为的中点，

所以，

，

记圆心为，当点为线段与圆的交点时，

取最小值，此时，，

所以，.

故答案为：.

17．（1）1;（2）

【详解】（1）根据平行线间的距离公式,得.

（2）由题意可知，

因为两直线垂直，所以，解得或（舍去），

经检验时，两直线垂直，满足题意.

18．(1)或

(2)或

【详解】（1）设直线l的方程为（，），（直线l与坐标轴的交点位于正半轴）

由题意知， ①.

因为直线l过点，所以 ②.

联立①②，解得或，

所以直线l的方程为或.

（2）由题意知，即 ③，联立②③，解得或，

所以直线l的方程为或.

19．(1)

(2)或．

【详解】（1）圆：，则圆的标准方程为，即圆的圆心坐标为，半径为，因为圆与x轴相切，与圆O1外切，则圆心 ，，则圆的半径为，

则，解得，即圆的标准方程为；

（2）由（1）知O2（﹣6，1），则，所以直线l的斜率为，设直线l的方程为，

因为，则圆心O1到直线l的距离，所以，解得或，

所以直线l的方程为或．

20．(1)

(2)不能，理由见解析.

【详解】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，

设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，

因为点、在圆上，则，解得，。

所以，圆弧所在圆的方程为，

因此，圆弧的方程为.

（2）解：此火车不能通过该路口，

由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，

所以货车右侧的最高点的坐标为，

因为，因此，该货车不能通过该路口.

21．(1)；

(2)；或.

【详解】（1）由题意，，解得，所以.

故椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，

与椭圆方程联立得，，

且，

所以．

由题意，，故.

.

此时，，

.

又点O到直线的距离，故三角形的面积,

解得或，

所以直线l方程为或.

22．(1)

(2)证明见解析，.

【详解】（1）由已知得

由解方程组得       所以椭圆的标准方程为.

（2）当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为，

联立，消得，

，

由题意，.

设，则.

因为，所以是的中点．

即 ，得，

①，

又，的斜率为，

直线的方程为②，

把①代入②可得：，    

所以直线恒过定点.

当直线斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线为轴，也过.

综上所述，直线恒过点.