新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.6《正弦定理、余弦定理》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
2.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin_B＝eq \f(1,2)bcsin_A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
3.内角和公式的变形
(1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cs(A＋B)＝﹣cs C.
4.角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,DC).
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2﹣a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2﹣a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2﹣a2＜0时，△ABC为钝角三角形.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材改编
1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b＝( )
A.2 B.1 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案为：D.解析：由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(sin \f(π,4),sin \f(π,6))＝eq \f(\r(2),2)×2＝eq \r(2).]
2.在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A.无解 B.两解
C.一解 D.解的个数不确定
答案为：B.解析：∵bsin A＝24sin 45°＝12eq \r(2)，
∴12eq \r(2)＜18＜24，即bsin A＜a＜b.∴此三角形有两解.]
3.在△ABC中，acs A＝bcs B，则这个三角形的形状为________.
等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.]
4.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积等于________.
2eq \r(3) [因为eq \f(2\r(3),sin 60°)＝eq \f(4,sin B)，所以sin B＝1，所以 B＝90°，
所以AB＝2，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).]
考点1 利用正、余弦定理解三角形问题
解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2﹣2bccs A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可求出另一边b的对角B，由C＝π﹣(A＋B)，可求出角C，再由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)可求出c，而通过eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况.
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A﹣bsin B＝4csin C，cs A＝﹣eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A.6 B.5 C.4 D.3
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B﹣sin C)2＝sin2A﹣sin Bsin C.
①求A；
②若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
(1)答案为：A.解析：∵asin A﹣bsin B＝4csin C，∴由正弦定理得a2﹣b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－（4c2＋b2）,2bc)＝eq \f(－3c2,2bc)＝﹣eq \f(1,4)，∴eq \f(b,c)＝6.
故选A.]
(2)[解] ①由已知得sin2B＋sin2C﹣sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2﹣a2＝bc.由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
②由①知B＝120°﹣C，由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°﹣C)＝2sin C，
即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cs C＋eq \f(1,2)sin C＝2sin C，可得cs(C＋60°)＝﹣eq \f(\r(2),2).
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝eq \f(\r(2),2)，
故sin C＝sin(C＋60°﹣60°)＝sin(C＋60°)cs 60°﹣cs(C＋60°)sin 60°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据.
[教师备选例题]
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acs(B﹣eq \f(π,6)).
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A﹣B)的值.
[解] (1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，可得bsin A＝asin B，
又由bsin A＝acs(B﹣eq \f(π,6))，得asin B＝acs(B﹣eq \f(π,6))，
即sin B＝cs(B﹣eq \f(π,6))，可得tan B＝eq \r(3).
又因为B∈(0，π)，可得B＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq \f(π,3)，
有b2＝a2＋c2﹣2accs B＝7，故b＝eq \r(7).
由bsin A＝acs(B﹣eq \f(π,6))，可得sin A＝eq \f(\r(3),\r(7)).
因为a＜c，故cs A＝eq \f(2,\r(7)).
因此sin 2A＝2sin Acs A＝eq \f(4\r(3),7)，cs 2A＝2cs2A﹣1＝eq \f(1,7)，
所以，sin(2A﹣B)＝sin 2Acs B﹣cs 2Asin B＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)﹣eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14).
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acs B＝0，则B＝________.
eq \f(3π,4).
[∵bsin A＋acs B＝0，∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,－cs B).由正弦定理，得﹣cs B＝sin B，
∴tan B＝﹣1.又B∈(0，π)，∴B＝eq \f(3π,4).]
2.在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝eq \f(7,2)，则BC＝________.
9.
[设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π﹣α，
在△ADC中，72＝x2＋(eq \f(7,2))2﹣2x×eq \f(7,2)cs α，①
在△ABD中，42＝x2＋(eq \f(7,2))2﹣2x×eq \f(7,2)cs(π﹣α)，②
①＋②得x＝eq \f(9,2)，∴BC＝9.]
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长.
[解] (1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，
由余弦定理cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)得cs 120°＝eq \f(a2＋（a＋2）2－（a＋4）2,2a（a＋2）)，
即a2﹣a﹣6＝0，所以a＝3或a＝﹣2(舍去)，所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由三角形的面积公式得eq \f(1,2)absin∠ACB＝eq \f(1,2)c×CD，
所以CD＝eq \f(absin∠ACB,c)＝eq \f(3×5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(15\r(3),14)，即AB边上的高CD＝eq \f(15\r(3),14).
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由正弦定理得eq \f(3,sin A)＝eq \f(7,sin∠ACB)＝eq \f(7,sin 120°)，即sin A＝eq \f(3\r(3),14)，
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(15\r(3),14)，即AB边上的高CD＝eq \f(15\r(3),14).
考点2 与三角形面积有关的问题
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋eq \r(3)cs A＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2.
(1)求c；
(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.
[解] (1)由已知条件可得tan A＝﹣eq \r(3)，A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3)，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2﹣4ccs eq \f(2π,3)，即c2＋2c﹣24＝0，
解得c＝﹣6(舍去)，或c＝4.
(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝eq \f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝eq \f(π,6)，
故△ABD面积与△ACD面积的比值为eq \f(\f(1,2)AB·AD·sin \f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1，
又△ABC的面积为eq \f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq \r(3)，所以△ABD的面积为eq \r(3).
法二：由余弦定理得cs C＝eq \f(2,\r(7))，在Rt△ACD中，cs C＝eq \f(AC,CD)，
所以CD＝eq \r(7)，所以AD＝eq \r(3)，DB＝CD＝eq \r(7)，
所以S△ABD＝S△ACD＝eq \f(1,2)×2×eq \r(7)×sin C＝eq \r(7)×eq \f(\r(3),\r(7))＝eq \r(3).
法三：∠BAD＝eq \f(π,6)，由余弦定理得cs C＝eq \f(2,\r(7))，
所以CD＝eq \r(7)，所以AD＝eq \r(3)，
所以S△ABD＝eq \f(1,2)×4×eq \r(3)×sin∠DAB＝eq \r(3).
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解.
[备选例题]
已知△ABC的面积为3eq \r(3)，AC＝2eq \r(3)，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°.
(1)求AB的长；
(2)求△ACD的面积.
[解] (1)因为S△ABC＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)×sin∠ACB＝3eq \r(3)，
所以sin∠ACB＝eq \f(1,2)，∠ACB＝30°或150°，
又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36﹣2×2eq \r(3)×6cs 150°＝84，
所以AB＝eq \r(84)＝2eq \r(21).
(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，
所以∠CAD＝105°，
由正弦定理得eq \f(CD,sin∠CAD)＝eq \f(AC,sin∠ADC)，所以CD＝3＋eq \r(3)，
又∠ACD＝180°﹣150°＝30°，
所以S△ACD＝eq \f(1,2)AC·CD·sin∠ACD＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×(3＋eq \r(3))×eq \f(1,2)＝eq \f(3（\r(3)＋1）,2).
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为____________.
6eq \r(3).
[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2﹣2accs B，
得62＝(2c)2＋c2﹣2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2﹣2accs B，
得62＝(2c)2＋c2﹣2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，
所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).]
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acs B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝eq \f(a2,4)，求角A的大小.
[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acs B，
故2sin Acs B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acs B＋cs Asin B，
于是sin B＝sin(A﹣B).
又A，B∈(0，π)，故0＜A﹣B＜π，
所以B＝π﹣(A﹣B)或B＝A﹣B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝eq \f(a2,4)，得eq \f(1,2)absin C＝eq \f(a2,4)，
故有sin Bsin C＝eq \f(1,2)sin A＝eq \f(1,2)sin 2B＝sin Bcs B，
由sin B≠0，得sin C＝cs B.又B，C∈(0，π).所以C＝eq \f(π,2)±B.
当B＋C＝eq \f(π,2)时，A＝eq \f(π,2)；当C﹣B＝eq \f(π,2)时，A＝eq \f(π,4).
综上，A＝eq \f(π,2)或A＝eq \f(π,4).
考点3 判断三角形的形状
判断三角形形状的2种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案为：B.解析：由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π﹣A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形.]
[母题探究]
1.(变条件)本例中，若将条件变为2sin Acs B＝sin C，判断△ABC的形状.
[解] ∵2sin Acs B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acs B＝sin Acs B＋cs Asin B，∴sin(A﹣B)＝0.
又A，B为△ABC的内角.∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形.
2.(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2﹣c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，判断△ABC的形状.
[解] ∵a2＋b2﹣c2＝ab，∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
又0＜C＜π，∴C＝eq \f(π,3)，又由2cs Asin B＝sin C得sin(B﹣A)＝0，
∴A＝B，故△ABC为等边三角形.
在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解.
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c﹣a)＝3bc，则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰非等边三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
C.
[因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c).所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c﹣a)＝3bc，
所以b2＋c2﹣a2＝bc，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).所以△ABC是等边三角形.]
2.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若eq \f(a,sin B)＋eq \f(b,sin A)＝2c，则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
C.
[因为eq \f(a,sin B)＋eq \f(b,sin A)＝2c，所以由正弦定理可得eq \f(sin A,sin B)＋eq \f(sin B,sin A)＝2sin C，
而eq \f(sin A,sin B)＋eq \f(sin B,sin A)≥2eq \r(\f(sin A,sin B)·\f(sin B,sin A))＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号.
所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.
又因为sin A＝sin B，所以A＝B.故三角形为等腰直角三角形.故选C.]
正弦定理、余弦定理
一、选择题
1.已知△ABC中，A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b等于( )
A.2 B.1 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案为：D.解析：由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(1,sin \f(π,6))＝eq \f(b,sin \f(π,4))，所以eq \f(1,\f(1,2))＝eq \f(b,\f(\r(2),2))，所以b＝eq \r(2).]
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcs C＋csin Bcs A＝eq \f(1,2)b，且a＞b，则B＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案为：A.解析：由正弦定理得，sin Asin Bcs C＋sin Csin Bcs A＝eq \f(1,2)sin B，因为sin B≠0，所以sin Acs C＋sin Ccs A＝eq \f(1,2)，即sin(A＋C)＝eq \f(1,2)，所以sin B＝eq \f(1,2).已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝eq \f(π,6).]
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(b,\r(3)cs B)＝eq \f(a,sin A)，则cs B等于( )
A.﹣eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.﹣eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案为：B.解析：由正弦定理知eq \f(sin B,\r(3)cs B)＝eq \f(sin A,sin A)＝1，即tan B＝eq \r(3)，
由B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3)，所以cs B＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，故选B.]
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
答案为：C.解析：由题可知S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(a2＋b2－c2,4)，所以a2＋b2﹣c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2﹣c2＝2abcs C，所以sin C＝cs C.因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,4).故选C.]
5.在△ABC中，若eq \f(bcs C,ccs B)＝eq \f(1＋cs 2C,1＋cs 2B)，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案为：D.解析：由已知eq \f(1＋cs 2C,1＋cs 2B)＝eq \f(2cs2C,2cs2B)＝eq \f(cs2C,cs2B)＝eq \f(bcs C,ccs B)，所以eq \f(cs C,cs B)＝eq \f(b,c)或eq \f(cs C,cs B)＝0，即C＝90°或eq \f(cs C,cs B)＝eq \f(b,c).当C＝90°时，△ABC为直角三角形.当eq \f(cs C,cs B)＝eq \f(b,c)时，由正弦定理，得eq \f(b,c)＝eq \f(sin B,sin C)，所以eq \f(cs C,cs B)＝eq \f(sin B,sin C)，即sin Ccs C＝sin Bcs B，即sin 2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]
二、填空题
6.在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝eq \r(3)b，则角A＝________.
eq \f(π,3) [因为2asin B＝eq \r(3)b，所以2sin Asin B＝eq \r(3)sin B，得sin A＝eq \f(\r(3),2)，所以A＝eq \f(π,3)或A＝eq \f(2π,3).因为△ABC为锐角三角形，所以A＝eq \f(π,3).]
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝________.
eq \f(21,13) [在△ABC中，由cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs A·sin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13).]
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，则△ABC的面积为________.
eq \r(3)＋1 [∵b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝2eq \r(2)，
A＝π﹣(eq \f(π,6)＋eq \f(π,4))＝eq \f(7π,12)，∴sin A＝sin(eq \f(π,4)＋eq \f(π,3))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
则S△ABC＝eq \f(1,2)bc·sin A＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \r(3)＋1.]
三、解答题
9.在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cs B＝﹣eq \f(1,2).
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B﹣C)的值.
[解] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2﹣2accs B，得b2＝32＋c2﹣2×3×c×(﹣eq \f(1,2)).
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2﹣2×3×c×(﹣eq \f(1,2)).解得c＝5.所以b＝7.
(2)由cs B＝﹣eq \f(1,2)得sin B＝eq \f(\r(3),2).由正弦定理得sin C＝eq \f(c,b)sin B＝eq \f(5\r(3),14).
在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角.所以cs C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(11,14).
所以sin(B﹣C)＝sin Bcs C﹣cs Bsin C＝eq \f(4\r(3),7).
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \f(a2,3sin A).
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cs Bcs C＝1，a＝3，求△ABC的周长.
[解] (1)由题设得eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(a2,3sin A)，即eq \f(1,2)csin B＝eq \f(a,3sin A).
由正弦定理，得eq \f(1,2)sin Csin B＝eq \f(sin A,3sin A)，故sin Bsin C＝eq \f(2,3).
(2)由题设及(1)，得cs Bcs C﹣sin Bsin C＝﹣eq \f(1,2)，
即cs(B＋C)＝﹣eq \f(1,2).所以B＋C＝eq \f(2π,3)，故A＝eq \f(π,3).
由题意得eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(a2,3sin A)，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理，得b2＋c2﹣bc＝9，
即(b＋c)2﹣3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝eq \r(33).
故△ABC的周长为3＋eq \r(33).
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs B﹣c﹣eq \f(b,2)＝0，a2＝eq \f(7,2)bc，b＞c，则eq \f(b,c)＝( )
A.eq \f(3,2) B.2 C.3 D.eq \f(5,2)
答案为：B.解析：由余弦定理b2＝a2＋c2﹣2accs B可得acs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2c)，又acs B﹣c﹣eq \f(b,2)＝0，a2＝eq \f(7,2)bc，所以c＋eq \f(b,2)＝eq \f(\f(7,2)bc＋c2－b2,2c)，即2b2﹣5bc＋2c2＝0，所以有(b﹣2c)·(2b﹣c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以eq \f(b,c)＝2.故选B.]
2.在△ABC中，B＝30°，AC＝2eq \r(5)，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sin A＝________，BC＝________.
eq \f(\r(5),5) 4 [依题意得S△ACD＝eq \f(1,2)CD·AC·sin∠ACD＝2eq \r(5)·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝eq \f(2\r(5),5).又∠ACD是锐角，所以cs∠ACD＝eq \f(\r(5),5).在△ACD中，AD＝eq \r(CD2＋AC2－2CD·AC·cs∠ACD)＝4.由正弦定理得，eq \f(AD,sin∠ACD)＝eq \f(CD,sin A)，即sin A＝eq \f(CD·sin∠ACD,AD)＝eq \f(\r(5),5).在△ABC中，eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，即BC＝eq \f(AC·sin A,sin B)＝4.]
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acs2eq \f(C,2)＋2ccs2eq \f(A,2)＝eq \f(5,2)b.
(1)求证：2(a＋c)＝3b；
(2)若cs B＝eq \f(1,4)，S＝eq \r(15)，求b.
[解] (1)证明：由已知得，a(1＋cs C)＋c(1＋cs A)＝eq \f(5,2)b.
在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，则acs C＋ccs A＝b.
所以a＋c＝eq \f(3,2)b，即2(a＋c)＝3b.
(2)因为cs B＝eq \f(1,4)，所以sin B＝eq \f(\r(15),4).
因为S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(15),8)ac＝eq \r(15)，所以ac＝8.
又b2＝a2＋c2﹣2accs B＝(a＋c)2﹣2ac(1＋cs B)，2(a＋c)＝3b，
所以b2＝eq \f(9b2,4)﹣16×(1＋eq \f(1,4))，所以b＝4.
1.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2eq \r(3)，a＋b＝6，eq \f(acs B＋bcs A,c)＝2cs C，则c等于( )
A.2eq \r(7) B.4 C.2eq \r(3) D.3eq \r(3)
答案为：C.解析：∵eq \f(acs B＋bcs A,c)＝2cs C，
由正弦定理，得sin Acs B＋cs Asin B＝2sin Ccs C，
∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccs C，
由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cs C＝eq \f(1,2)，∴C＝eq \f(π,3)，
∵S△ABC＝2eq \r(3)＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(\r(3),4)ab，∴ab＝8，
又a＋b＝6，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2，))c2＝a2＋b2﹣2abcs C＝4＋16﹣8＝12，
∴c＝2eq \r(3)，故选C.]
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣(b﹣c)2＝(2﹣eq \r(3))bc，sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq \r(7).
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积.
[解] (1)由a2﹣(b﹣c)2＝(2﹣eq \r(3))bc，
得a2﹣b2﹣c2＝﹣eq \r(3)bc，∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，又0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,6).
由sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，得eq \f(1,2)sin B＝eq \f(1＋cs C,2)，即sin B＝1＋cs C，
则cs C＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝eq \f(5π,6)，
则sin(eq \f(5π,6)﹣C)＝1＋cs C，化简得cs(C＋eq \f(π,3))＝﹣1，解得C＝eq \f(2π,3)，∴B＝eq \f(π,6).
(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，
由余弦定理得AM2＝b2＋(eq \f(a,2))2﹣2b·eq \f(a,2)·cs C＝b2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(b2,2)＝(eq \r(7))2，解得b＝2，
故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R.
a2＝b2＋c2﹣2bccs_A；
b2＝c2＋a2﹣2cacs_B；
c2＝a2＋b2﹣2abcs_C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝2R.
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)