新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.2《同角三角函数的基本关系与诱导公式》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α).
2.诱导公式
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立.( )
(3)sin(π＋α)＝﹣sin α成立的条件是α为锐角.( )
(4)若sin(kπ﹣α)＝eq \f(2,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(2,3).( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1.化简sin 690°的值是( )
A.eq \f(1,2) B.﹣eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.﹣eq \f(\r(3),2)
答案为：B.解析：sin 690°＝sin(720°﹣30°)＝﹣sin 30°＝﹣eq \f(1,2).选B.]
2.若sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)＜α＜π，则tan α＝________.
﹣eq \f(1,2)
[∵eq \f(π,2)＜α＜π，∴cs α＝﹣eq \r(1－sin2α)＝﹣eq \f(2\r(5),5)，∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝﹣eq \f(1,2).]
3.已知tan α＝2，则eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)的值为________.
3 [原式＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(2＋1,2－1)＝3.]
4.化简eq \f(cs（α－\f(π,2)）,sin（\f(5,2)π＋α）)·sin(α﹣π)·cs(2π﹣α)的结果为________.
﹣sin2α [原式＝eq \f(sin α,cs α)·(﹣sin α)·cs α＝﹣sin2α.]
考点1 同角三角函数基本关系式
同角三角函数基本关系的应用技巧
(1)弦切互化：利用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)实现角α的弦切互化.
(2)和(差)积转换：利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α进行变形、转化.
(3)“1”的变换：1＝sin2α＋cs2α＝cs2α(tan2α＋1)＝sin2α(1＋eq \f(1,tan2α)).
“知一求二”问题
(1)已知cs α＝k，k∈R，α∈(eq \f(π,2)，π)，则sin(π＋α)＝( )
A.﹣eq \r(1－k2) B.eq \r(1－k2) C.±eq \r(1－k2) D.﹣k
(2)若α∈(eq \f(π,2)，π)，sin(π﹣α)＝eq \f(3,5)，则tan α＝( )
A.﹣eq \f(4,3) B.eq \f(4,3) C.﹣eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)
(1)A (2)C
[(1)法一：(直接法)由cs α＝k，α∈(eq \f(π,2)，π)得sin α＝eq \r(1－k2)，
所以sin(π＋α)＝﹣sin α＝﹣eq \r(1－k2).故选A.
法二：(排除法)易知k＜0，从而sin(π＋α)＝﹣sin α＜0，排除选项BCD，故选A.
(2)因为α∈(eq \f(π,2)，π)，sin α＝eq \f(3,5)，所以cs α＝﹣eq \f(4,5)，所以tan α＝﹣eq \f(3,4).]
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形.同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2α＋cs2α＝1求sin α或cs α时，符号的选取.
弦切互化
(1)已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α的值是( )
A.eq \f(3,5) B.﹣eq \f(3,5) C.﹣3 D.3
(2)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cs θ＝1，则tan θ＝________.
(1)A (2)﹣eq \f(4,3)
[(1)由eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5得eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，可得tan α＝2，
则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α＝cs2α＋sin αcs α＝eq \f(cs2α＋sin αcs α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1＋tan α,1＋tan2α)＝eq \f(3,5).故选A.
(2)由(sin θ＋3cs θ)2＝1＝sin2θ＋cs2θ，得6sin θcs θ＝﹣8cs2θ，又因为θ为第四象限角，所以cs θ≠0，所以6sin θ＝﹣8cs θ，所以tan θ＝﹣eq \f(4,3).]
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型.
sin α±cs α与sin αcs α关系的应用
(1)若|sin θ|＋|cs θ|＝eq \f(2\r(3),3)，则sin4θ＋cs4θ＝( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(17,18) C.eq \f(8,9) D.eq \f(2,3)
(2)已知θ为第二象限角，sin θ，cs θ是关于x的方程2x2＋(eq \r(3)﹣1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ﹣cs θ＝( )
A.eq \f(1－\r(3),2) B.eq \f(1＋\r(3),2) C.eq \r(3) D.﹣eq \r(3)
(1)B (2)B
[(1)因为|sin θ|＋|cs θ|＝eq \f(2\r(3),3)，两边平方，得1＋|sin 2θ|＝eq \f(4,3).所以|sin 2θ|＝eq \f(1,3).
所以sin4θ＋cs4θ＝1﹣2sin2θcs2θ＝1﹣eq \f(1,2)sin22θ＝eq \f(17,18).故选B.
(2)因为sin θ，cs θ是方程2x2＋(eq \r(3)﹣1)x＋m＝0(m∈R)的两根，
所以sin θ＋cs θ＝eq \f(1－\r(3),2)，sin θ·cs θ＝eq \f(m,2)，可得(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θ·cs θ＝1＋m＝eq \f(2－\r(3),2)，解得m＝﹣eq \f(\r(3),2).因为θ为第二象限角，所以sin θ＞0，cs θ＜0，即sin θ﹣cs θ＞0，因为(sin θ﹣cs θ)2＝1﹣2sin θ·cs θ＝1﹣m＝1＋eq \f(\r(3),2)，所以sin θ﹣cs θ＝eq \r(1＋\f(\r(3),2))＝eq \f(1＋\r(3),2).故选B.]
对于sin α＋cs α，sin α﹣cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t(t∈[﹣eq \r(2)，eq \r(2)])，则sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α﹣cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用.
1.已知sin(π＋α)＝﹣eq \f(1,3)，则tan(eq \f(π,2)﹣α)值为( )
A.2eq \r(2) B.﹣2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),4) D.±2eq \r(2)
D
[因为sin(π＋α)＝﹣eq \f(1,3)，所以sin α＝eq \f(1,3)，cs α＝±eq \f(2\r(2),3)，tan(eq \f(π,2)﹣α)＝eq \f(cs α,sin α)＝±2eq \r(2).故选D.]
2.已知tan θ＝2，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ)＋sin2θ的值为( )
A.eq \f(19,5) B.eq \f(16,5) C.eq \f(23,10) D.eq \f(17,10)
C
[原式＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ)＋sin2θ＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ)＋eq \f(sin2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ)＋eq \f(tan2θ,tan2θ＋1)，
将tan θ＝2代入，得原式＝eq \f(23,10).故选C.]
3.已知sin x＋cs x＝eq \f(\r(3)－1,2)，x∈(0，π)，则tan x＝( )
A.﹣eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \r(3) D.﹣eq \r(3)
D
[因为sin x＋cs x＝eq \f(\r(3)－1,2)，且x∈(0，π)，所以1＋2sin xcs x＝1﹣eq \f(\r(3),2)，
所以2sin xcs x＝﹣eq \f(\r(3),2)＜0，所以x为钝角，所以sin x﹣cs x＝eq \r(（sin x－cs x）2)＝eq \f(1＋\r(3),2)，结合已知解得sin x＝eq \f(\r(3),2)，cs x＝﹣eq \f(1,2)，则tan x＝eq \f(sin x,cs x)＝﹣eq \r(3).]
4.若3sin α＋cs α＝0，则eq \f(1,cs2α＋2sin αcs α)的值为________.
eq \f(10,3).
[3sin α＋cs α＝0⇒cs α≠0⇒tan α＝﹣eq \f(1,3)，
eq \f(1,cs2α＋2sin αcs α)＝eq \f(cs2α＋sin2α,cs2α＋2sin αcs α)＝eq \f(1＋tan2α,1＋2tan α)＝eq \f(1＋（－\f(1,3)）2,1－\f(2,3))＝eq \f(10,3).]
考点2 诱导公式的应用
应用诱导公式的一般思路
(1)化大角为小角，化负角为正角；
(2)角中含有加减eq \f(π,2)的整数倍时，用公式去掉eq \f(π,2)的整数倍.
(1)设f(α)＝eq \f(2sin（π＋α）cs（π－α）－cs（π＋α）,1＋sin2α＋cs（\f(3π,2)＋α）－sin2（\f(π,2)＋α）)
(1＋2sin α≠0)，则f(﹣eq \f(23π,6))＝________.
(2)已知cs(eq \f(π,6)﹣θ)＝a，则cs(eq \f(5π,6)＋θ)＋sin(eq \f(2π,3)﹣θ)的值是________.
(1)eq \r(3) (2)0.
[(1)因为f(α)＝eq \f(（－2sin α）（－cs α）＋cs α,1＋sin2α＋sin α－cs2α)＝eq \f(2sin αcs α＋cs α,2sin2α＋sin α)
＝eq \f(cs α（1＋2sin α）,sin α（1＋2sin α）)＝eq \f(1,tan α)，所以f(﹣eq \f(23π,6))＝eq \f(1,tan（－\f(23π,6)）)＝eq \f(1,tan（－4π＋\f(π,6)）)＝eq \f(1,tan \f(π,6))＝eq \r(3).
(2)因为cs(eq \f(5π,6)＋θ)＝cs[π﹣(eq \f(π,6)﹣θ)]＝﹣cs(eq \f(π,6)﹣θ)＝﹣a，
sin(eq \f(2π,3)﹣θ)＝sin[eq \f(π,2)＋(eq \f(π,6)﹣θ)]＝cs(eq \f(π,6)﹣θ)＝a，所以cs(eq \f(5π,6)＋θ)＋sin(eq \f(2π,3)﹣θ)＝0.]
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.
(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错.
1.化简：eq \f(tan（π＋α）cs（2π＋α）sin（α－\f(3π,2)）,cs（－α－3π）sin（－3π－α）)＝________.
﹣1.
[原式＝eq \f(tan αcs αsin[－2π＋（α＋\f(π,2)）],cs（3π＋α）[－sin（3π＋α）])＝eq \f(tan αcs αsin（\f(π,2)＋α）,（－cs α）sin α)
＝eq \f(tan αcs αcs α,（－cs α）sin α)＝﹣eq \f(tan αcs α,sin α)＝﹣eq \f(sin α,cs α)·eq \f(cs α,sin α)＝﹣1.]
2.已知角α终边上一点P(﹣4，3)，则eq \f(cs（\f(π,2)＋α）·sin（－π－α）,cs（\f(11π,2)－α）·sin（\f(9π,2)＋α）)的值为_____.
﹣eq \f(3,4).
[原式＝eq \f(（－sin α）sin α,（－sin α）cs α)＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝﹣eq \f(3,4).]
考点3 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
已知f(x)＝eq \f(cs2（nπ＋x）·sin2（nπ－x）,cs2[（2n＋1）π－x])(n∈Z).
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f(eq \f(π,2 018))＋f(eq \f(504π,1 009))的值.
[解] (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝eq \f(cs2（2kπ＋x）·sin2（2kπ－x）,cs2[（2×2k＋1）π－x])
＝eq \f(cs2x·sin2（－x）,cs2（π－x）)＝eq \f(cs2x·（－sin x）2,（－cs x）2)＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝eq \f(cs2[（2k＋1）π＋x]·sin2[（2k＋1）π－x],cs2{[2×（2k＋1）＋1]π－x})
＝eq \f(cs2[2kπ＋（π＋x）]·sin2[2kπ＋（π－x）],cs2[2×（2k＋1）π＋（π－x）])
＝eq \f(cs2（π＋x）·sin2（π－x）,cs2（π－x）)
＝eq \f(（－cs x）2sin2x,（－cs x）2)＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f(eq \f(π,2 018))＋f(eq \f(504π,1 009))＝sin2eq \f(π,2 018)＋sin2eq \f(1 008π,2 018)＝sin2eq \f(π,2 018)＋sin2(eq \f(π,2)﹣eq \f(π,2 018))
＝sin2eq \f(π,2 018)＋cs2eq \f(π,2 018)＝1.
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.
[备选例题]
已知﹣π＜x＜0，sin(π＋x)﹣cs x＝﹣eq \f(1,5).
(1)求sin x﹣cs x的值；
(2)求eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)的值.
[解] (1)由已知，得sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
两边平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，整理得2sin xcs x＝﹣eq \f(24,25).
∵(sin x﹣cs x)2＝1﹣2sin xcs x＝eq \f(49,25)，由﹣π＜x＜0知，sin x＜0，
又sin xcs x＝﹣eq \f(12,25)＜0，∴cs x＞0，∴sin x﹣cs x＜0，
故sin x﹣cs x＝﹣eq \f(7,5).
(2)eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin x（cs x＋sin x）,1－\f(sin x,cs x))＝eq \f(2sin xcs x（cs x＋sin x）,cs x－sin x)＝﹣eq \f(24,175).
1.已知α为锐角，且2tan(π﹣α)﹣3cs(eq \f(π,2)＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)﹣1＝0，则sin α的值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
C.
[由已知可得﹣2tan α＋3sin β＋5＝0.tan α﹣6sin β﹣1＝0，解得tan α＝3，
又α为锐角，故sin α＝eq \f(3\r(10),10).]
2.已知tan(π﹣α)＝﹣eq \f(2,3)，且α∈(﹣π，﹣eq \f(π,2))，则eq \f(cs（－α）＋3sin（π＋α）,cs（π－α）＋9sin α)＝_____.
﹣eq \f(1,5).
[由tan(π﹣α)＝﹣eq \f(2,3)，得tan α＝eq \f(2,3)，
则eq \f(cs（－α）＋3sin（π＋α）,cs（π－α）＋9sin α)＝eq \f(cs α－3sin α,－cs α＋9sin α)＝eq \f(1－3tan α,－1＋9tan α)＝eq \f(1－2,－1＋6)＝﹣eq \f(1,5).]
3.已知sin α＋cs α＝﹣eq \f(1,5)，且eq \f(π,2)＜α＜π，则eq \f(1,sin（π－α）)＋eq \f(1,cs（π－α）)的值为________.
eq \f(35,12).
[由sin α＋cs α＝﹣eq \f(1,5)平方得sin αcs α＝﹣eq \f(12,25)，
∵eq \f(π,2)＜α＜π，∴sin α﹣cs α＝eq \r(（sin α＋cs α）2－4sin αcs α)＝eq \f(7,5)，
∴eq \f(1,sin（π－α）)＋eq \f(1,cs（π－α）)＝eq \f(1,sin α)﹣eq \f(1,cs α)＝eq \f(cs α－sin α,sin αcs α)＝eq \f(－\f(7,5),－\f(12,25))＝eq \f(35,12).]
同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、选择题
1.若eq \f(sin（π－θ）＋cs（θ－2π）,sin θ＋cs（π＋θ）)＝eq \f(1,2)，则tan θ＝( )
A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3
D.
[因为eq \f(sin（π－θ）＋cs（θ－2π）,sin θ＋cs（π＋θ）)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(1,2)，
所以2(sin θ＋cs θ)＝sin θ﹣cs θ，所以sin θ＝﹣3cs θ，所以tan θ＝﹣3.]
2.若tan α＝eq \f(1,2)，则sin4α﹣cs4α的值为( )
A.﹣eq \f(1,5) B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.﹣eq \f(3,5)
D.
[∵tan α＝eq \f(1,2)，∴sin4α﹣cs4α＝(sin2α＋cs2α)·(sin2α﹣cs2α)
＝eq \f(sin2α－cs2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(tan2α－1,1＋tan2α)＝﹣eq \f(3,5)，故选D.]
3.已知cs 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值是( )
A.eq \f(1－a2,a) B.eq \r(1－a2) C.eq \f(a2－1,a) D.﹣eq \r(1－a2)
B.
[sin 239°·tan 149°＝sin(270°﹣31°)·tan(180°﹣31°)
＝﹣cs 31°·(﹣tan 31°)＝sin 31°＝eq \r(1－a2).]
4.若θ∈(eq \f(π,2)，π)，则eq \r(1－2sin（π＋θ）sin（\f(3π,2)－θ）)等于( )
A.sin θ﹣cs θ B.cs θ﹣sin θ
C.±(sin θ﹣cs θ) D.sin θ＋cs θ
A.
[因为eq \r(1－2sin（π＋θ）sin（\f(3π,2)－θ）)＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \r(（sin θ－cs θ）2)
＝|sin θ﹣cs θ|，又θ∈(eq \f(π,2)，π)，所以sin θ﹣cs θ＞0，所以原式＝sin θ﹣cs θ.故选A.]
5.cs(eq \f(π,12)﹣θ)＝eq \f(1,3)，则sin(eq \f(5π,12)＋θ)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3) C.﹣eq \f(1,3) D.﹣eq \f(2\r(2),3)
答案为：A.解析：sin(eq \f(5π,12)＋θ)＝sin[eq \f(π,2)﹣(eq \f(π,12)﹣θ)]＝cs(eq \f(π,12)﹣θ)＝eq \f(1,3).]
二、填空题
6.sin eq \f(4,3)π·cs eq \f(5,6)π·tan(﹣eq \f(4,3)π)的值是________.
﹣eq \f(3\r(3),4) [原式＝sin(π＋eq \f(π,3))·cs(π﹣eq \f(π,6))·tan(﹣π﹣eq \f(π,3))
＝(﹣sin eq \f(π,3))·(﹣cs eq \f(π,6))·(﹣tan eq \f(π,3))＝(﹣eq \f(\r(3),2))×(﹣eq \f(\r(3),2))×(﹣eq \r(3))＝﹣eq \f(3\r(3),4).]
7.若角α的终边落在第三象限，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))＝________.
﹣3 [由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cs α＜0，
故原式＝eq \f(cs α,|cs α|)＋eq \f(2sin α,|sin α|)＝eq \f(cs α,－cs α)＋eq \f(2sin α,－sin α)＝﹣1﹣2＝﹣3.]
8.在△ABC中，若tan A＝eq \f(\r(2),3)，则sin A＝________.
eq \f(\r(22),11).
[因为tan A＝eq \f(\r(2),3)＞0，所以A为锐角，由tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(\r(2),3)以及sin2A＋cs2A＝1，
可求得sin A＝eq \f(\r(22),11).]
三、解答题
9.已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)；
(2)sin2α＋sin 2α.
[解] 由已知得sin α＝2cs α.
(1)原式＝eq \f(2cs α－4cs α,5×2cs α＋2cs α)＝﹣eq \f(1,6).
(2)原式＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq \f(8,5).
10.已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).
(1)化简f(α)；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值.
[解] (1)f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)＝eq \f(（－cs α）·sin α·（－tan α）,（－tan α）·sin α)＝﹣cs α.
(2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，所以﹣sin α＝eq \f(1,5)，从而sin α＝﹣eq \f(1,5).
又α为第三象限角，所以cs α＝﹣eq \r(1－sin2α)＝﹣eq \f(2\r(6),5)，所以f(α)＝﹣cs α＝eq \f(2\r(6),5).
1.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为( )
A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3
D
[∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcs(4π＋β)＝asin α＋bcs β＝3，
∴f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcs(2 021π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcs(π＋β)＝﹣asin α﹣bcs β＝﹣3.]
2.已知θ是第一象限角，若sin θ﹣2cs θ＝﹣eq \f(2,5)，则sin θ＋cs θ的值为( )
A.eq \f(1,5) B.﹣eq \f(1,5) C.eq \f(7,5) D.eq \f(3,4)
C.
[∵sin θ﹣2cs θ＝﹣eq \f(2,5)，∴sin θ＝2cs θ﹣eq \f(2,5)，∴(2cs θ﹣eq \f(2,5))2＋cs2θ＝1，
∴5cs2θ﹣eq \f(8,5)cs θ﹣eq \f(21,25)＝0，即(cs θ﹣eq \f(3,5))(5cs θ＋eq \f(7,5))＝0.
又∵θ为第一象限角，∴cs θ＝eq \f(3,5)，∴sin θ＝eq \f(4,5)，∴sin θ＋cs θ＝eq \f(7,5).]
3.已知α为第二象限角，则cs αeq \r(1＋tan2α)＋sin αeq \r(1＋\f(1,tan2α))＝________.
0.
[原式＝cs αeq \r(\f(sin2α＋cs2α,cs2α))＋sin αeq \r(\f(sin2α＋cs2α,sin2α))＝cs αeq \f(1,|cs α|)＋sin αeq \f(1,|sin α|)，
因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cs α＜0，
所以cs αeq \f(1,|cs α|)＋sin αeq \f(1,|sin α|)＝﹣1＋1＝0，即原式等于0.]
4.已知关于x的方程2x2﹣(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cs θ，且θ∈(0，2π).
(1)求eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)求m的值；
(3)求方程的两根及此时θ的值.
[解] (1)由根与系数的关系可知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)， ①,sin θ·cs θ＝\f(m,2)， ②))
而eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由①两边平方，得1＋2sin θcs θ＝eq \f(2＋\r(3),2)，将②代入，得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)当m＝eq \f(\r(3),2)时，原方程变为2x2﹣(1＋eq \r(3))x＋eq \f(\r(3),2)＝0，解得x1＝eq \f(\r(3),2)，x2＝eq \f(1,2)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
∵θ∈(0，2π)，∴θ＝eq \f(π,6)或θ＝eq \f(π,3).
1.已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且sin(π﹣α)＝eq \r(2)cs(eq \f(π,2)﹣β)，eq \r(3)cs(﹣α)＝﹣eq \r(2)cs(π＋β)，则α＝________，β＝________.
eq \f(π,4) eq \f(π,6).
[由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β， ①,\r(3)cs α＝\r(2) cs β， ②))∴sin2α＋3cs2α＝2.
∴sin2α＝eq \f(1,2)，又α∈(0，eq \f(π,2))，∴sin α＝eq \f(\r(2),2)，α＝eq \f(π,4).
将α＝eq \f(π,4)代入①中得sin β＝eq \f(1,2)，又β∈(0，eq \f(π,2))，∴β＝eq \f(π,6)，综上α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6).]
2.已知cs(eq \f(π,2)﹣α)＋sin(eq \f(π,2)＋β)＝1.
求cs2(eq \f(3,2)π＋α)＋cs β﹣1的取值范围.
[解] 由已知得cs β＝1﹣sin α.
∵﹣1≤cs β≤1，∴﹣1≤1﹣sin α≤1，
又﹣1≤sin α≤1，可得0≤sin α≤1，
∴cs2(eq \f(3,2)π＋α)＋cs β﹣1＝sin2α＋1﹣sin α﹣1＝sin2α﹣sin α＝(sin α﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(1,4).(*)
又0≤sin α≤1，∴当sin α＝eq \f(1,2)时，(*)式取得最小值﹣eq \f(1,4)，
当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，
故所求范围是[﹣eq \f(1,4)，0].
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
﹣α
π﹣α
eq \f(π,2)﹣α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
﹣sin α
﹣sin α
sin α
cs α
cs_α
余弦
cs α
﹣cs α
cs α
﹣cs_α
sin α
﹣sin α
正切
tan α
tan α
﹣tan α
﹣tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变
符号看象限
基本思路
①分析结构特点，选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式
化简要求
①化简过程是恒等变换；
②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值