湖北省武汉市武昌区七校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份湖北省武汉市武昌区七校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是 ( )
A.任意画一个三角形，其内角和为 360∘，这是随机事件
B.投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
C.从1,2,3,4,5中任取一个数是偶数的可能性比较大
D.直径是圆中最长的弦
3.已知 m,n是方程 x2−3x−4−0的两根，则 m2+mn+3n=( )
A.9 B.8 C.7 D.6
4.如图，点 A,B,C,D,E在 ⊙O上，AB=CD,∠AOB=42∘，则 ∠CED=( )
A.42∘ B.48∘ C.21∘ D.22∘
5.将抛物线 y=−3x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A.y=−3x−12+2 B.y=−3x+12+2
C.y=−3x+12−2 D.y=−3x−12−2
6.如图，在喷水池的中心 A处竖直安装一个水管 AB，水管的顶端 B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心 A的水平距离为 1m处达到最高点 C，高度为 3m，水柱落地点 D离池中心 A处 4m，则水管的顶端 B距水面的高度 AB为 ( )
A.52 B.73 C.83 D.2
7.已知抛物线 y=ax−32+h经过点 Ax1,y1,Bx2,y2，且x1−3A.y1−y2>0B.y1−y2<0C.ay1−y2>0D.ay1−y2<0
8.魏晋时期的数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若 a=2,b=3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率 ( ).
A.12 B.13 C.14 D.25
9.如图，平行四边形 ABCD中，AB=12,AD=10,∠A=60∘，E是边 AD上一点，且 AE=6,F是边 AB上的一个动点，将线段EF绕点 E顺时针旋转 60∘，得到 EN，连接 BN、CN，则 BN+CN的最小值是( )
A.321 B.414 C.14 D.413
10.已知二次函数 y=x2+2m−2x−m+2的图象与 x轴最多有一个公共点，若y−m2−2tm−3的最小值为3，则 t的值为( )
A.−52 B.32或−32 C.−52或−32 D.−12
二、填空题
11.点 P和点 Q关于原点中心对称，已知点 P坐标为 −4,3，则点 Q坐标为 .
12.从编号为1到10的10张卡片中任取1张，所得编号是3的倍数的概率为 .
13.已知扇形的弧长是 2πcm，圆心角为 120∘，则扇形所在圆的半径为 cm.
14.如果关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”. 已知关于 x的方程x2−m−1x−m=0（m是常数）是“邻根方程"，则 m的值为 .
15.如图，抛物线 y=ax2+bx+c的图象交 x轴于 A−2,0和点 B，交y轴负半轴于点 C，且 OB=OC. 下列结论：① 2b−c=2;② a=12；③ ac=b−1；③a+bc>0；其中正确的序号有 .
16.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A8,0，点 B0,6，点 C为线段 AB中点，点 D为线段 OA上一动点，将线段 CD绕点 C顺时针旋转 90∘得到线段 CE，连接 OE，则 △OED面积的最大值为 .
三、解答题
17.若关于 x的一元二次方程 x2−3x+k=0的一个根为4，求方程另一个根和 k的值.
18.如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=45∘,△AEF是由 △ABC绕点 A按逆时针方向旋转得到的，连接 BE、CF相交于点 D. 求证：BE=CF.
19.某校阅读社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片上的人物来讲述该人物在书中的故事，游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片选匀后，背面向上放好，小华从剩下的3张卡片中随机抽取一张.若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小明讲，否则由小华讲.

（1）小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是 ；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由.
20.如图，AB、AD是 ⊙O的弦，AO平分 ∠BAD. 过点 B作 ⊙O的切线交 AO的延长线于点 C，连接 CD,BO的延长线交 ⊙O于点E，交 AD于点 F，连接 AE、DE.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若 AE=DE=10，求 AF的长.
21.如图，⊙O的圆心在格点上，点 A、B、C均在圆上，C是 ⊙O和网格线的交点.

（1）在图1中，在格点上找一点 D，使得 DA为 ⊙O的切线（画出一个 D点即可）
（2）在图2中，在优弧 BC上画点 E，使得 ∠EBC=∠ABC.
（3）在图3中，在优弧 BC上画点 F，使得 BF=AC.
22.太空蔬菜基地种植的一种蔬菜，成本是每千克2元，售价是每千克3元，年销量为10万千克.为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金x万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的m倍，它们的关系如下表：
（1）试估计并验证m与 x之间的函数类型并求该函数的表达式；
（2）若把利润看作是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，试求年利润 W万元与绿色开发投入的资金 x万元的函数关系式；并求投入的资金不低于3万元，又不超过5万元时，x取多少时，年利润最大，求出最大利润.
（3）经调查：若增加种植人员的奖金，从而提高种植积极性，又可使销量增加，且增加的销量 y万千克与增加种植人员的奖金 z万元之间满足 y=−z2+4z，若基地将投入5万元用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使年利润达到17万元且绿色开发投入大于奖金？（其中 2≈1.4）
23.【问题背景】：如图1，点 D是等边 △ABC内一点，连结 AD,BD，将 △ABD绕点 A逆时针旋转 60∘得到 △ACE，连结 DE，观察发现：BD与 CE的数量关系为 ，直线 BD与 CE所夹的锐角为 度；
【尝试应用】：如图2，在等腰直角 △ABC中，AB=AC,∠BAC=90∘，点 D是等腰直角 △ABC内一点，连结 AD,BD,CD，若 AD=22,BD=5,CD=3，求 △BCD面积；
【拓展创新】：如图3，在等腰 △ABC中，AB=AC,∠BAC=120∘，点 D为平面内一点，且 ∠ADB=60∘,ADBD=3，直接写 ACCD的值为 .
24.如图，抛物线 y=−x2+bx+c与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于点C，且 B1,0,C0,3.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点 Q是 AC上方抛物线上一点，若 S△ABC=2S△ACQ，求点 Q的坐标；
（3）如图2，过点 D0,1的直线交抛物线于E,F两点，过点 E的直线与过点 F的直线交于点 P，若直线 PE和 PF与抛物线均只有一个公共点，求 PC的最小值.

2023-2024武昌七校联考九（上）元月月考数学试卷
一、选择题
二、填空题
11.4,−或 −2 15.①②③16.498
三、解答题
17.解：设方程的另一个根为 a,
则 a+4=−−31=3,4a=k1=k，解得 a=−1,k=−4,
故方程另一个根为 −1,k的值为 −4.
18.证明：∵△AEF是由 △ABC绕点 A按顺时针方向旋转得到的，
∴∠EAF+∠CAE=∠BAC+∠CAE，即 ∠BAE=∠CAF,
∵AB=AC,AE=AF,∴△BAE≅△CAFSAS∴BE=CF.
19.（1）14
解：由题意可得，小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是 14，故答案为：14；
（2）解：这个游戏公平，理由：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中两张卡片上对应的人物为师徒关系有6种可能性，
∴两张卡片上对应的人物为师徒关系的概率为 612=12， ∴这个游戏公平.
20.解：（1）如图，连接 CD,∵BC为 ⊙O的切线，∴∠CBO=90∘，
∵AO平分 ∠BAD,∴∠1=∠2，
∵OA=OB=OD,∴∠1=∠4=∠2=∠5，∴∠BOC=∠DOC,
在 △BOC和 △DOC中 {OB=OD∠BOC=∠DOCOC=OC
∴△BOC≅△DOC,∴∠CBO=∠CDO=90∘,∴CD为 ⊙O的切线.
（2）∵AE=DE,∴AE⌢=DE⌢,∴∠3=∠4
∵∠1=∠2=∠4,∴∠1=∠2=∠3，
∵BE为 ⊙O的直径，∴∠BAE=90∘，∴∠1=∠2=∠3=∠4=30∘,∴∠AFE=90∘，
在 Rt△AFE中，AE=10,∠3=30∘,EF=5，
故AF=AE2−EF2=53.
21.（1）
（2）
（3）
21.（1）利用对称性作.
（2）利用全等作 BF=AC.
22.解：（1）根据不是一次函数（不是线性的），也不是反比例函数（ m×x的值不是常数），所以选择二次函数，设 m与 x的函数关系式为 m=ax2+bx+c，由题意得：
{c=1a+b+c=1.54a+2b+c=1.8，解得：{a=−0.1b=0.6c=1,
∴m与 x的函数关系式为：m=−0.1x2+0.6x+1；
（2）∵利润=销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，
∴W=3−2×10m−x=−x2+5x+10；
当 x=−b2a=2.5时，W最大，
∵由于投入的资金不低于3万元，又不超过5万元，所以 3≤x≤5，
而a=−1<0，抛物线开口向下，且取值范围在顶点右侧，W随 x的增大而减小，
故最大值在 x=3处，∴当 x=3时，W最大为16万元；
（3）设用于绿色开发的资金为t万元，则用于提高奖金的资金为 5−t万元，
将t代入（2）中的 W=−x2+5x+10，故 W=−t2+5t+10,
将 5−t代入 y=−z2+4z，故 y=−5−t2+45−t=−t2+6t−5,
由于单位利润为1，所以由增加奖金而增加的利润就是 −t2+6t−5；
所以总利润 W=−t2+5t+10+−t2+6t−5−5−t=−2t2+12t
因为要使年利润达到17万，所以 −2t2+12t=17，
整理得 2t2−12t+17=0,
解得 t=6+22≈3.7或t=6−22≈2.3，而绿色开发投入要大于奖金，
所以 t=3.7,5−t=1.3,
所以用于绿色开发的资金为3.7万元，奖金为1.3万元.
23.【问题背景】：BD=CE■60∘
【尝试应用】：如图，将 △ADC绕点 A顺时针旋转 90∘得到 △ATB，连接 DT.
∵AT=AD=22,∠DAT=90∘,∴DT=2AD=4,∠ATD=∠ADT=45∘，
∵CD=BT=3,BD=5,∴BD2=BT2+DT2,∴∠BTD=90∘，
∴∠ATB=∠ADC=135∘，
∴∠ADT+∠ADC=180∘,∴C,D,T共线，∴S△CBD=12⋅CD⋅BT=12×3×3=92.
【拓展创新】：12或13319
【拓展创新】：①当点 D在 AB的上方时，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120∘得到 AT，连接 DT,CD,CT,
设 ED=m，则 AD=AT=3m,
∵∠DAT=∠BAC=120∘,∴∠BAD=∠CAT,
∵AD=AT,AB=AC,∴△BAD≅△CATSAS, ∴BD=CT=m,∠ADB=∠ATC=60∘,
过点 B作 BH⊥AD于点 H，则 DH=12BD=12m,BH=32m,
∴AH=AD−DH=3m−12m=52m,
∴AB=AC=AH2+BH2=52m2+32m2=7m,
∵AD=AT=3m,∠DAF=120∘,∴∠ADT=∠ATD=30∘,DT=33m
, ∵∠ATC=60∘,∴∠DTC=90∘,∴CD=DT2+CT2=33m2+m2=27m,
∴ACCD=7m27m=12.
②当点 D在AB的下方时，将线段 AD绕点A逆时针旋转 120∘得到 AT，连接 DT,CT,CD,
设 ED=m，则 AD=AT=3m，过点 D作DH⊥TC交 TC的延长线于点H.
同法可证 △BAD≅△CAT,AB=AC=7m,∴∠ATC=∠ADB=60∘，
∵∠ATD=∠ADT=30∘∴∠DTH=30∘,∴DT=3AD=33m,
∴DH=12DT=33m2,∴TH=3DH=92m，
∴CH=TH−CT=92m−m=72m, ∴CD=DH2+CH2=33m22+72m2=19m,∴ACCD=7m19m=13319.
综上所述，ACCD的值为 12或13319.
24.（1）解：∵抛物线 y=−x2+bx+c与 x轴交于 B1,0，与 y轴交于点 C0,3,
∴{−1+b+c=0c=3，解得{b=−2c=3，
∴物线的解析式为：y=−x2−2x+3.
（2）解：令 y=−x2−2x+3中，y=0，得 0=−x2−2x+3,
∴x=−3或 x=1,∴A−3,0,B1,0,AB=1+3=4,
∵OC=3,∴S△ABC=12×4×3=6,S△AOC=12×3×3=92，
∵点 Q是 AC上方抛物线上一点，若 S△ABC=2S△ACQ,∴S△ACQ=3,∴S四边形AOCQ=3+92=152，过点 Q作 QM⊥x轴于点 M，由点 Q是 AC上方抛物线上一点，设 Qm,−m2−2m+3,
∴S四边形AOCQ=S△AQM+S梯形MOCQ=12m+3×−m2−2m+3+12−m×−m2−2m+3+3=152，
解得 m=−1或 m=−2,
当 m=−1时，−m2−2m+3=−−12−2×−1+3=4,
当 m=−2时，−m2−2m+3=−−22−2×−2+3=3,
∴点 Q为 −1,4或 −2,3；
（3）解：设 Ee,−e2−2e+3,Ff,−f2−2f+3,
其中 e≠f，直线 PE的解析式为y=gx+h，直线 PF的解析式为 y=px+q.
∵过点 D0,1的直线交抛物线于 E,F两点，∴设直线 EF的解析式为 y=kx+1.
联立直线 EF解析式和抛物线解析式得 {y=kx+1y=−x2−2x+3，整理得方程 x2+k+2x−2=0.
∴e+f=−k+21=−k−2,ef=−21=−2.e2+k+2e−2=0,∴e2+k+2e=2,
联立直线 PE和抛物线解析式得 {y=gx+hy=−x2−2x+3，整理得 x2+g+2x+h−3=0.
∵直线 PE与抛物线只有唯一公共点，
∴x2+g+2x+h−3=0有两个相等的实数根都为 e.
∴e+e=−g−2,e⋅e=h−3.∴g=−2e−2,h=e2+3.
∴PE的解析式为 y=−2e−2x+e2+3. 同理 PF的解析式为 y=−2f−2x+f2+3.
∵直线 PE与 PF相交于点 P,
联立直线 PE和直线 PF解析式得 {y=−2e−2x+e2+3y=−2f−2x+f2+3
整理得 −2e−2x+e2+3=−2f−2x+f2+3.∴xP=e2−f22e−2f=−k−22=−k+22，
∴P的纵坐标为 y=−2e−2×−k+22+e2+3=e2+k+2e+k+5=2+k+5=k+7,
∴点 P−k+22,k+7，
∵C0,3,∴PC2=−k+222+k+7−32=54k+1852+45≥45.∴PC的最小值为 255.x万元
0
1
2
3
4
…
m
1
1.5
1.8
1.9
1.8
…