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    2024扬州中学高二上学期12月月考试题数学含解析
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    2024扬州中学高二上学期12月月考试题数学含解析

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    这是一份2024扬州中学高二上学期12月月考试题数学含解析,共23页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. 已知等差数列中,,则公差( )
    A. 4B. 3C. D.
    2. 已知,则( )
    A. 0B. 1C. 2D.
    3. 设是等比数列,下列说法一定正确的是( )
    A. 成等比数列B. 成等比数列
    C 成等比数列D. 成等比数列
    4. 已知等差数列的前n项和为,若,,则( )
    A. 182B. 128C. 56D. 42
    5. 已知双曲线的渐近线方程为,则E的焦距等于( )
    A B. 2C. D. 4
    6. 已知点,若点C是圆上的动点,则面积的最小值为( )
    A. 3B. 2C. D.
    7. 对于如图所示的数阵,它的第11行中所有数的和为( )
    A. B. C. D. 63
    8. 若过点可作函数图象两条切线,则必有( )
    A. B.
    C. D.
    二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
    9. 已知等比数列是单调数列,设是其前项和,若,,则下列结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    10. 下列函数在定义域上为增函数的有( )
    A B.
    C. D.
    11. 已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线与抛物线交于两点,点在上的射影为,则下列说法正确的是( )
    A. 若,则
    B. 以为直径的圆与准线相交
    C. 设,则
    D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
    12. 已知椭圆的左右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,设,,,,已知成等差数列,公差为d,则( )
    A. 成等差数列B. 若,则C. D.
    三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)
    13. 已知,则______.
    14. 已知三个互不相等的一组实数,,成等比数列,适当调整顺序后,这三个数又能成等差数列,满足条件的一组实数,,为______.
    15. 设是双曲线的左、右焦点,是坐标原点,过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为_______________________.
    16. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆,圆.若圆上存在两点A,B,且圆上恰好存在一点P,使得四边形OAPB为矩形,则实数a的取值集合是_________.
    四、解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    17. 设数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若数列满足,,求数列的通项公式.
    18. 已知函数.
    (1)求曲线在点处的切线方程;
    (2)直线为曲线的切线,且经过原点,求直线的方程及切点坐标.
    19. 已知是等差数列前项和,,公差且 从“①为与的等比中项”,“②等比数列的公比”这两个条件中,选择一个补充在上面问题中的划线部分,使得符合条件的数列存在并作答.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设数列的前项和为,求.
    20. 已知圆,点,过轴下方一点作圆的切线与轴分别交于,两点.
    (1)过点直线被圆截得的弦长为,求直线的方程;
    (2)当时,求点的坐标.
    21. 设函数,其中为自然对数的底数.
    (1)若在定义域上是增函数,求的取值范围;
    (2)若直线是函数的切线,求实数的值;
    22. 已知椭圆和抛物线,点F为的右焦点,点H为的焦点.
    (1)过点F作的切线,切点为P,求抛物线的方程;
    (2)过点H的直线l交于P,Q两点,点M满足,(O为坐标原点),且点M在线段上,记的面积为的面积为,求的取值范围.扬州中学高二数学阶段检测试卷
    一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的)
    1. 已知等差数列中,,则公差( )
    A. 4B. 3C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据等差数列通项公式即可求解.
    【详解】在等差数列中,,
    所以有.
    故选:B
    2. 已知,则( )
    A. 0B. 1C. 2D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】先求出导数,再代入求值即可.
    【详解】由,则,所以.
    故选:C.
    3. 设是等比数列,下列说法一定正确是( )
    A. 成等比数列B. 成等比数列
    C. 成等比数列D. 成等比数列
    【答案】D
    【解析】
    【详解】
    项中,故项说法错误;项中,故项说法错误; 项中,故项说法错误;故项中,故项说法正确,故选D.
    4. 已知等差数列的前n项和为,若,,则( )
    A. 182B. 128C. 56D. 42
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据等差数列的通项及求和公式,列出不等式组,求得的值,代入公式,即可求得;
    【详解】设等差数列的首项为,公差为d,
    由,,得,
    解得,所以;
    故选:D.
    5. 已知双曲线的渐近线方程为,则E的焦距等于( )
    A. B. 2C. D. 4
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用双曲线的渐近线方程求出,然后利用求出c,即可求出焦距.
    【详解】双曲线的渐近线方程为,可得:,
    所以,所以焦距为.
    故选:D
    6. 已知点,若点C是圆上的动点,则面积的最小值为( )
    A. 3B. 2C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】首先求出直线的方程和线段的长度,利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出的高的最小值,即可求解.
    【详解】由题意,易知直线的方程为,且,
    ∵圆可化为,
    ∴圆心为,半径为1,
    又∵圆心到直线的距离,
    ∵的面积最小时,点C到直线的距离最短,该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径,
    故面积的最小值为.
    故选:D.
    7. 对于如图所示的数阵,它的第11行中所有数的和为( )
    A. B. C. D. 63
    【答案】C
    【解析】
    【分析】求出第11行第一个数为-56,最后一个数为-66,即得解.
    【详解】解:前10行的数共有(个),
    所以第11行第一个数为-56,最后一个数为-66,
    则第11行所有数的和为.
    故选:C
    8. 若过点可作函数图象的两条切线,则必有( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】设切点为,,求导,根据导数的几何意义可得有两个正根,利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.
    【详解】设切点为,,
    又,所以切线斜率,
    所以切线方程为,
    又切线过点,
    则,,
    即,
    由过点可作两条切线,
    所以有两个正根,
    即,整理可得,
    故选:C.
    二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
    9. 已知等比数列是单调数列,设是其前项和,若,,则下列结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可.
    【详解】设等比数列的公比为,
    则有,解得或,
    当时数列不是单调数列,所以,
    所以,故A错误;
    ,故B正确;
    ,故C错误;


    所以成立,故D正确.
    故选:BD
    10. 下列函数在定义域上为增函数的有( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】利用导数研究函数的单调性一一判定选项即可.
    【详解】由在上是增函数,故A正确;
    对于函数,当时,,当时,,所以在定义域上不是增函数,故B错误;
    函数的定义域为,所以在定义域上是增函数,故C正确;

    定义域为,
    在定义域内不是增函数,故D错误;
    故选:AC.
    11. 已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线与抛物线交于两点,点在上的射影为,则下列说法正确的是( )
    A. 若,则
    B. 以为直径的圆与准线相交
    C. 设,则
    D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】根据焦点弦公式即可判断A;求出线段的中点坐标及圆的半径,从而可判断B;根据抛物线的定义可得,即可判断C;分直线斜率存在和不存在两种情况讨论,结合根的判别式即可判断D.
    【详解】抛物线焦点,准线,
    由题意,故A正确;
    因为,则以为直径的圆的半径,
    线段的中点坐标为,则线段的中点到准线的距离为,
    所以以为直径的圆与准线相切,故B错误;
    抛物线的焦点为,,
    当且仅当三点共线时,取等号,所以,故C正确;
    对于D,当直线斜率不存在时,直线方程为,与抛物线只有一个公共点,
    当直线斜率存在时,设直线方程为,联立,消得,
    当时,方程的解为,此时直线与抛物线只有一个交点,
    当时,则,解得,
    综上所述,过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条,故D正确.
    故选:ACD.
    12. 已知椭圆的左右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,设,,,,已知成等差数列,公差为d,则( )
    A 成等差数列B. 若,则C. D.
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】A选项,由椭圆定义及成等差数列,得到,,,,故,A正确;B选项,在A选项基础上得到,,,设出直线的方程,与椭圆方程联立,得到两根之和,两根之积,由得到,由弦长公式得到,联立得到;C选项,由焦半径公式推导出,C正确;D选项,在的基础上,得到,D错误.
    【详解】A选项,由椭圆定义可知:,
    又成等差数列,故,
    则,则,则,,
    又,
    故,故A正确;
    B选项,若,此时,,故,且,
    设,因为直线斜率一定不为0,
    设直线为,与联立得:
    ,即
    则,
    因为,所以,
    联立解得,故
    由弦长公式可得:,
    所以,平方得:,
    其中,
    故,解得:,即,
    由可得:,
    整理得:,即,
    故,解得:或,
    因为,所以舍去,故,B正确;
    C选项,设椭圆上一点,其中椭圆左右焦点分别为,
    下面证明,,
    过点M作MA⊥椭圆的左准线于点A,作MB⊥椭圆右准线于点B,
    则有椭圆的第二定义可知:,
    其中,
    则,,
    故,故,
    ,故,所以,C正确;
    D选项,设直线为,由得:,故,D错误.
    故选:ABC
    【点睛】椭圆焦半径公式:
    (1)椭圆上一点,其中椭圆左右焦点分别为,
    则,,
    (2)椭圆上一点,其中椭圆下上焦点分别为,
    则,,
    记忆口诀:左加右减,下加上减.
    三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)
    13. 已知,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用函数的导数公式求解.
    【详解】解:因为,
    所以,
    故答案为:
    14. 已知三个互不相等的一组实数,,成等比数列,适当调整顺序后,这三个数又能成等差数列,满足条件的一组实数,,为______.
    【答案】,2,(答案不唯一)
    【解析】
    【分析】根据等差数列、等比数列的定义求解.
    【详解】,2,成等比数列,而,,2成等差数列,
    ∴,,可取,2,.
    故答案为: ,2,.(答案不唯一)
    15. 设是双曲线的左、右焦点,是坐标原点,过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为_______________________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由与互补,得到两角的余弦值互为相反数,两次利用余弦定理得到关于的方程.
    【详解】如图所示:
    因为焦点到渐近线的距离为,所以,则,所以,
    因为,所以,
    解得:.
    【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法,本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算,找到关系求得离心率.
    16. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆,圆.若圆上存在两点A,B,且圆上恰好存在一点P,使得四边形OAPB为矩形,则实数a的取值集合是_________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】设,OP中点,求出P点的轨迹方程,因P又在圆上,所以两圆有且仅有一个公共点,所以或,求解即可得出答案.
    【详解】设,OP中点,D也是AB中点,,
    因为D也是AB中点,所以,

    因为在圆内,所以,∴,
    又因为,,所以,
    ∴,
    ∴P在上,P又在圆上,满足条件的P恰好有一个点,
    ∴两圆有且仅有一个公共点,
    ∴或,
    或或0或2,所以a的取值集合.
    故答案为:.
    四、解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    17. 设数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若数列满足,,求数列的通项公式.
    【答案】(1);(2).
    【解析】
    【分析】(1)因为,所以,两式相减整理得数列为等比数列,进而得通项;
    (2)由得,直接利用“累加法”可得数列的通项公式.
    【详解】(1)因为,
    所以,
    所以当时,,
    整理得,
    由,令,得,解得,
    所以是首项为1,公比为2的等比数列.所以.
    (2)由得.
    累加得,
    当时也满足上式,所以.
    18. 已知函数.
    (1)求曲线在点处的切线方程;
    (2)直线为曲线的切线,且经过原点,求直线的方程及切点坐标.
    【答案】(1)
    (2)切线方程为,切点为.
    【解析】
    【分析】(1)求导得到导函数,计算,得到切线方程.
    (2)设切点,求导计算得到斜率,确定函数切线,根据切线过原点得到,计算得到答案.
    【小问1详解】
    ,,.
    故曲线在点处的切线方程为,
    即;
    【小问2详解】
    设切点为,,
    切线方程为,.
    切线经过原点,故,所以,,
    故,切点为,切线方程为,
    即过原点的切线方程为,切点为.
    19. 已知是等差数列前项和,,公差且 从“①为与的等比中项”,“②等比数列的公比”这两个条件中,选择一个补充在上面问题中的划线部分,使得符合条件的数列存在并作答.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设数列的前项和为,求.
    【答案】(1)答案见解析;(2).
    【解析】
    【分析】
    (1)分别选择①和②列方程计算,解得基本量,利用公差判断得①符合条件,即得通项公式;
    (2)利用裂项相消法求和即可.
    【详解】解:(1)若选①,为与的等比中项,则,
    由为等差数列,,得
    把代入上式,可得,即
    解得或,又因为公差,故,
    ,故;
    若选②,等比数列的公比,
    可得,即,即有即,
    又,可得,即,
    解方程得,不符合题意,故选①,
    此时;
    (2)因为,所以
    .
    【点睛】结论点睛:
    裂项相消法求数列和的常见类型:
    (1)等差型,其中是公差为的等差数列;
    (2)无理型;
    (3)指数型;
    (4)对数型.
    20. 已知圆,点,过轴下方一点作圆的切线与轴分别交于,两点.
    (1)过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程;
    (2)当时,求点的坐标.
    【答案】(1)或
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)设直线的方程为,根据点到直线的距离等于半径列方程求解即可;
    (2)设直线的方程为,根据点到直线的距离等于半径列方程求出,进而根据点横坐标为即可求解.
    【小问1详解】
    由题知,直线的斜率一定存在,所以设直线的方程为,
    整理得,
    因为直线被圆C截得的弦长为,所以圆心C到直线的距离,
    又因为,解得或,
    所以直线的方程为或;
    【小问2详解】
    当时,,,
    因为直线,都是圆C的切线,所以直线的方程为;
    此时直线的斜率一定存在,设其方程为,即,
    圆心C到直线的距离,解得或(舍去),
    则直线,把代入,解得,
    所以点Q坐标为.
    21. 设函数,其中为自然对数的底数.
    (1)若在定义域上是增函数,求的取值范围;
    (2)若直线是函数的切线,求实数的值;
    【答案】(1);(2).
    【解析】
    【分析】
    (1)由题意可得在上恒成立;即在上恒成立,令,利用导数求出其最小值即可;
    (2)设切点为,则,由题意得,得,,令,利用导数求出其单调区间和最值即可
    【详解】(1)函数的定义域为,,
    ∵在上是增函数
    ∴在上恒成立;即在上恒成立
    设,则
    由得
    ∴在上为增函数;即
    ∴.
    (2)设切点为,则,
    因为,所以,得,
    所以.
    设,则,
    所以当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    所以.
    因为方程仅有一解,
    所以.
    【点睛】关键点点睛:此题考查导数的应用,解题的关键是由题意得,,得到,然后构造函数,利用导数求得,从而得,考查数学转化思想和计算能力,属于中档题
    22. 已知椭圆和抛物线,点F为的右焦点,点H为的焦点.
    (1)过点F作的切线,切点为P,求抛物线的方程;
    (2)过点H的直线l交于P,Q两点,点M满足,(O为坐标原点),且点M在线段上,记的面积为的面积为,求的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】设直线的方程为:,联立可得:.求出的坐标,然后求解,推出抛物线方程;
    设点,直线方程为:,联立可得:.利用韦达定理,结合又,求出的纵坐标的范围然后求解三角形的面积的比值,推出结果即可.
    【小问1详解】
    由题可知:设直线的方程为:,
    联立可得:.
    则△,故且,即点,
    故,所以,抛物线的方程:;
    【小问2详解】
    设点,直线方程为:,
    联立可得:.
    故,从而,
    又,则,
    从而,且,则,
    从而,

    由此可得.
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