江苏省扬州中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题数学含解析

2021-2022学年度高二数学12月月考卷

一、单选题

1. 已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由斜率公式数形结合可得.

【详解】如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又，所以直线l的斜率满足．

故选：D.

2. 已知等差数列中，，，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列性质得到，，得到答案.

【详解】，，则，故，

.

故选：C.

3. 经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．

【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.

圆配方可得，

圆心坐标为，半径为2，

弦心距，弦长为，

过圆的圆心和直线垂直的直线方程为，即．

最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，，

所求面积最小的圆方程为：，

故选：C．

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求导得到导函数，计算，再代入计算得到答案.

详解】，则，，.

，.

故选：B

5. 设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，若，则（    ）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】设，，．由，得是的重心，从而求得，然后由焦半径公式求得结论．

【详解】设，，．

由题意得抛物线焦点坐标为，准线方程为．

因为，

所以点是的重心，故，

．

故选：A．

6. 已知函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知函数为偶函数，且在上为增函数，由已知可得出，解此不等式即可得解.

【详解】函数的定义域为，

，即函数为偶函数，

，当时，，则，

所以，函数在上为增函数，

由，可得，得，

即，解得.

故选：D.

7. 已知数列满足，（，），定义：使乘积为正整数的（）叫做“幸运数”，则在内的所有“幸运数”的和为（    ）

A 2046 B. 4083 C. 4094 D. 2036

【答案】D

【解析】

【分析】利用换底公式与叠乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．

【详解】解：，，

，

又为整数，

必须是2的次幂，即．

内所有的“幸运数”的和：

，

故选：D．

8. 过双曲线（，）的右焦点作双曲线渐近线的垂线段，垂足为，线段与双曲线交于点，且满足，则双曲线离心率等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用渐近线的斜率，求出，，进而利用相似和求出点点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于的方程，求出离心率即可

【详解】因为双曲线渐近线方程为，所以，如图，在直角三角形中，，，又因为

      

故，，过、A分别作的垂线，垂足分别为、，

则由得：，又，故，

，故可得点A的坐标为，

所以，整理得，解得，

故选：．

二、多选题

9. 下列说法正确的有（    ）

A. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为

B. 点关于直线的对称点为

C. 圆与圆可能内含、内切或相交

D. 若圆与圆相离，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A，设对称点的坐标为，依题意得到方程组，解得、，即可判断B，求出两圆心之间的距离，即可判断C、D；

【详解】解：对于A：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，故A错误；

对于B：设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，故对称的点的坐标为，故B正确；

对于C：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，故C正确；

对于D：圆圆心，半径为，圆圆心，半径为，若两圆相离，

因为，所以或，

所以或，故D错误.

故选：BC

10. 已知等比数列的前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（    ）

A. 数列的通项公式为 B.

C. 的取值范围是 D. 数列的通项公式

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据已知条件求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可判断AB选项的正误；求出数列的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调性可判断CD选项的正误.

【详解】设等比数列的公比为，则，可得，

因为，即，解得，，A错；

，B对；

，D对；

，

，所以，数列为单调递增数列，则，故，C对.

故选：BCD.

11. 已知是椭圆上的一动点，离心率为，椭圆与轴的交点分别为、，左、右焦点分别为、.下列关于椭圆的四个结论中正确的是（    ）

A. 若、的斜率存在且分别为、，则为一定值

B. 若椭圆上存在点使，则

C. 若的面积最大时，，则

D. 根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第次到达时，光线通过的总路程为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据椭圆的几何性质，作出图像对选项进行分析，由此确定正确选项．

A：设P点坐标，结合P点在椭圆上和斜率计算公式即可计算；

B：由椭圆性质知，当M为上下顶点时，最大，保证最大这个角大于或等于90°，则在椭圆上存在点M满足题意；

C：当P为上顶点或下顶点时，面积最大，结合几何关系即可求此时离心率；

D：根据椭圆的定义即可求出光线走过的路程.

【详解】依题意，，

A，设，，则，

为定值，A正确．

      
 

B，若椭圆上存在点使，设为上顶点，如图：

则，B错误．

C，若△的面积最大时，，P位于椭圆上顶点或下顶点，，，C正确．

D，结合椭圆的定义可知，光线第次到达时，光线通过的总路程为，D错误．

故选：AC.

12. 已知，，是的导函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 在上单调递增．

B. 在上两个零点

C. 当 时，恒成立，则

D. 若函数只有一个极值点，则实数

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出导函数，由确定增区间，判断A，然后可得，再利用导数确定的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B，构造函数，由在上递减，求得范围，判断C，利用导数研究的单调性与极值点，得的范围，判断D．

【详解】，令，

得，故A正确

，

，令得，得，

故在上为减函数，在上为增函数．

当时，；当时，且

的大致图象为

只有一个零点，故B错．

记，则在上为减函数，

对恒成立

对恒成立

．

故C正确．

，

，设，

只有一个极值点， 只有一个解，即直线与的图象只有一个交点．

，

在上为增函数，令，得，

当时，；当时，．

在上为减函数，在上为增函数，

，

时，，即，且时，，又时，，因此的大致图象如下（不含原点）：

直线与它只有一个交点，则．故D正确．

故选：ACD．

【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．

三、填空题

13. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为___________．

【答案】

【解析】

【分析】设C的标准方程为，由已知建立方程组，求解可得答案.

【详解】解：设C的标准方程为，则解得所以C的标准方程为．

故答案为：.

14. 已知数列的前项和为，，则数列的前项和______．

【答案】

【解析】

【分析】由已知得，当时，，两式相减，得，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，继而求得数列的通项公式，运用错位相减法可求得数列的和．

【详解】当时，解得．

又由已知可得，当时，，两式相减，

得，

又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，所以，

所以，

，

两式相减得

，

解得．

故答案为：．

15. 已知函数，其中，若函数在处取得极大值，则__________.

【答案】1

【解析】

【分析】由题设得显然有不合题设，知：，根据极大值有求，再将所求代入原函数验证处是否取得极大值.

【详解】由题设，，

当时，，则递增，无极大值，与题设矛盾，

∴，此时，，要使在处取得极大值，

∴，可得或.

当时，，则

当得或，即上递增；

当得，即上递减；

∴为极大值点，符合题设.

当时，，则

当得或，即上递增；

当得，即上递减；

∴为极小值点，不合题设.

综上，.

故答案为：1

16. 如图，一列圆逐个外切，且所有的圆均与直线相切，若，则___，______

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用直线与圆相切可求得正数的值，利用圆与圆外切得到，利用直线与圆相切可得出，可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式.

【详解】由题意可知，圆与直线相切，则，可得，

因为圆与圆外切，则，

另一方面，由于圆与直线相切，则，可得，

又因为，则，

整理可得，所以，数列是以为首项，以为公比等比数列，

因此，，故.

故答案为：；.

四、解答题

17. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n(n∈N*).

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足bn=ansin(an)，求{bn}的前2n项和T2n

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】(1)先求时，再利用,再验证是否符合，即可.

(2)对n分奇偶讨论，得到的通项公式，再利用并项求和，即可求解.

【详解】时，得

当时成立，

即

，

当时,

当时,

故

18. 已知圆：，直线：.

（1）当为何值时，直线与圆相切；

（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解；

（2）由（1）知圆心到直线的距离，由求出的值，再解方程即可求解.

【小问1详解】

由圆：，可得，其圆心为，半径，

若直线与圆相切，则圆心到直线：距离

，即，可得：

【小问2详解】

由（1）知圆心到直线的距离，

因为，即，解得：，

所以，整理可得：，解得：或，

则直线的方程为或.

19. 已知点在抛物线上，且点的纵坐标为1，点到抛物线焦点的距离为2

（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线的准线与轴的交点为，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，，且，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）由抛物线定义，点到抛物线焦点的距离为2，故，可得解

（2）可转化为，代入坐标可得，即，可得解

【详解】（1）设，由抛物线定义，点到抛物线焦点的距离为2

故

故抛物线的方程为：；

（2）抛物线的焦点为，准线方程为，；

设，

直线的方程为，代入抛物线方程可得，

∴，，…①

由，可得，

又，，

∴，

∴，

即，

∴，…②

把①代入②得，，

则.

【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

20. 已知函数，；

(Ⅰ)若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围；

(Ⅱ)令，是否存在实数，当(是自然对数的底数)时，函数的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

【详解】试题分析：(1)在[1,2]上恒成立

令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立

得，.

(2)假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝

①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝(舍去)

②当0<<e即a>时，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上单调递减，在(，e]上单调递增

∴g(x)min＝＝1＋lna＝3，∴a＝e2满足条件

③当≥e即0<a≤时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3

∴a＝>(舍去)

综上所述，存在a＝e2使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3.

考点：函数导数判定单调性求最值

点评：第一小题已知函数在某一区间上是减函数得到结论，学生解题时容易忽略等号写成，第二问要分情况讨论极值点与区间(0，e]的关系从而确定在区间(0，e]上的单调性求出函数最值

21. 已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）由，结合可得解；

（2）设，直线，将直线与椭圆联立，用坐标表示，代入韦达定理可解得，借助韦达定理表示，用均值不等式即得解.

【详解】（1）依题意得：，．

由椭圆定义知，

又，则，

在中，，由余弦定理得：

即，解得

又

故所求椭圆方程为

（2）设，直线

联立方程组，得，

，得，

，，

，

由题意知，由，，代入化简得

，

故直线过定点，

由，解得，

，

令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．

22. 已知函数．

（1）若函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求；

（2）当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的示数的最大整数值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求，利用导数的几何意义求得在点处切线方程，由在轴上的截距为列方程即可得的值；

（2）由所给的不等式分离可得，令，利用导数判断的单调性和最小值，由即可求解.

小问1详解】

函数的定义域为，，

则在点处切线的斜率为，又，

所以函数的图象在点处的切线方程为：，

即，所以，

因为其在轴上的截距为，所以，解得．

【小问2详解】

即，

又，所以，可得对于恒成立，

当时，令，则．

再令，则，

所以在上单调递增；

又，，

所以使，即，使，

当时，，；当时，，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，又因为，所以实数的最大整数值是．

【点睛】方法点睛： 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.