2023-2024学年江苏省扬州市宝应县氾水镇初级中学九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市宝应县氾水镇初级中学九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了12），1米．参考数据，7米等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（每题3分，共24分）
1．若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．的半径为3，若点P在内，则的长可能为( )
A．2B．3C．4D．以上都有可能
3．将关于x的函数的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是( )
A．开口方向不变B．对称轴不变
C．与y轴的交点不变D．自变量x的取值范围不变
4．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．200（1－x）2＝162B．200（1＋x）2＝162
C．162（1＋x）2＝200D．162（1－x）2＝200
5．如图，已知直线是的切线，A为切点，交于点C，点D在上，且，则（）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的图像上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，用一张矩形纸片覆盖等边，且，若边被、三等分，则被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的( )
A．B．C．D．
8．如图，在中，，点D、E分别在上，交于F，若，，则的值为( )
A．B．C．D．
二、填空题 （每题3分，共30分）
9．如果，那么锐角的度数为 °．
10．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩 分．
11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为 cm．
12．若一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径长是 ．
13．如图，某学生身高，在灯光下，他从灯杆底部点处，沿直线前进到达点处，在处他的影长为，经测量此时恰有，则灯杆高度为 ．

14．如图，抛物线与轴交于点A、B，若对称轴为直线，点A的坐标为，则不等式的解集为 ．
15．如图，四边形内接于，若，，则 ．
16．如图，在Rt△ ABC中，AD是斜边BC边上的中线，G是△ABC重心，如果BC=6, 那么线段AG的长为 ．
17．公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则 ．
18．在平面直角坐标系中，，P是以M为圆心，2为半径的上一动点，，，连接、，则当取得最大值时， ．
三、解答题（96分）
19．（1）解下列方程∶
（2）计算：
20．为了发展体育运动，培养学生的综合能力，某学校成立了足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表：
(1)经计算甲和乙的平均成绩都是8环，请求出表中的___________；
(2)甲射击成绩的中位数和乙射击成绩的众数各是多少？
(3)若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
21．张老师积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区安排，志愿者将被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）或D组（统筹协调）．
(1)张老师被分到D组的概率是 ；
(2)王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法，求出他和张老师被分到同一组的概率是多少？
22．如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题：
(1)以A为位似中心，将按相似比2：1放大，得到，画出．
(2)以为旋转中心，将顺时针旋转，得到．
①画出；点的坐标为 ；
②边扫过的面积为 ．
23．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
24．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点（点不与点、重合），连接，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）当最大时，求的长．
25．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
26．如图，为直径，E为上一点，的平分线交 于C点，过C点作的延长线于D点，直线与射线交于P点．
(1)求证：为切线；
(2)若，，求的长．
27．小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小华：“如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．”
小雨：“如果以13元/千克的价格销售，那么每天可售出150千克．”
小星：“通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．”
(1)求y（千克）与 x（元）之间的函数关系式；
(2)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？
(3)为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元）的增大而增大，求a的取值范围．
28．如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为.
(1)求二次函数的表达式及的坐标；
(2)若()是轴上一点，，将点绕着点顺时针方向旋转得到点.当点恰好在该二次函数的图像上时，求的值；
(3)在（2）的条件下，连接.若是该二次函数图像上一点，且，求点的坐标.
答案与解析
1．D
【详解】∵，
∴==，
故选：D
2．A
【分析】当的半径是R，点P到圆心O的距离是d，当时，点P在上，当时，点P在内，当时，点P在外，根据以上内容判断即可．
【详解】∵点P在内，的半径为5，
∴，
A、，故本选项正确；
B、，此时P在圆上，故本选项错误；
C、，此时P在圆外，故本选项错误；
D、以上都有可能，不对，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，注意：点P和圆O有三种位置关系：当的半径是R，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在上，②当时，点P在内，③当时，点P在外．
3．C
【分析】二次函数的图像向下平移两个单位时，函数解析式变为，图像开口方向不变，但顶点坐标、与坐标轴的交点均发生变化．
【详解】解：将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、自变量x的取值范围不变，与y轴的交点改变，故选项C符合条件，选项A、B、D均不符合条件，
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图像，解题的关键是熟知二次函数图像平移的特点．
4．A
【详解】解：因为销售单价原来为200元，而平均每次降价的百分率为x，
所以降一次后的售价为200（1-x）元，降两次后的售价为元，
所以可列方程，
故选:A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出方程.
5．B
【分析】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
由为圆的切线，利用切线的性质得到与垂直，在直角三角形中，由直角三角形的两锐角互余，根据的度数求出的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍即可求出的度数．
【详解】解：∵为圆的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴．
故选：B．
6．B
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【详解】解：y=ax2-2ax+b（a＞0），
对称轴是直线x==1，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线x=1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
A点关于直线x=1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．
7．A
【分析】根据平行线分线段成比例可得出，，进而得出，，设，则，，得出，未被覆盖的面积为：，再求解即可．
【详解】解：
∵，边被、三等分，
∴
∴，，
∴，，
设，
则，，
∴，
∴未被覆盖的面积为：，
被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．C
【分析】如图，过作，交的延长线于，证明，则，证明，则，解得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．30
【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案
【详解】解：∵，
∴锐角A的度数为30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．
10．86
【详解】根据题意得：
85×+80×+90×=17+24+45=86（分），
答：小王的成绩是86分．
故答案为86．
11．50
【分析】过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=r，则OM=80-r，MF=40，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【详解】解：过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，
设OF=x，则OM=80﹣r，MF=40，
在Rt△OMF中，
∵OM2+MF2=OF2，
即（80﹣r）2+402=r2，
解得：r=50cm．
故答案为50．
12．4
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设这个圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解方程求出即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为，
根据题意得，
解得，
所以这个圆锥的底面半径长为．
故答案为4．
13．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出，由平行线得出，得出对应边成比例，即可得出结果．
【详解】解：根据题意得：，，
，
，
即，
解得：．
故答案为：．
14．
【分析】根据抛物线的对称性，得到点的坐标，利用数形结合的思想，确定的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称的对称点的坐标为：，
由图象可知：当时，抛物线在轴的上方，即：
当或时：，
∴的解集为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．利用抛物线的对称性，确定点的坐标，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
15．70
【分析】如图，连接，由圆周角定理得，，，则，，由，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．
16．2
【详解】∵AD是斜边BC边上的中线，
∴AD＝BC＝3，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝AD＝2．
考点：1．直角三角形斜边中线等于斜边的一半；2．三角形重心的性质．
17．4
【分析】设的半径为，则，根据，即，求，然后代入求面积即可．
【详解】解：由题意知，，设的半径为，则，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，扇形面积等知识．解题的关键在于正确表示阴影部分面积．
18．12
【分析】本题主要考查了应用股定理求两点之间的距离，先设，可表示，再根据的最大值，根据勾股定理及得出答案．
【详解】∵点，点，
∴，，
∴．
∵，
∴．
当点P处于直线与圆的交点上时，取最大值，
∴．
根据勾股定理得．
由，
∴．
故答案为：12．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角度的三角函数值的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及特殊角度的三角函数值的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）用配方法求解即可；
（2）先将特殊角度的三角函数值和0次幂化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
解得：；
（2）解：
．
20．(1)8
(2)8，7
(3)甲的成绩更为稳定
【分析】（1）根据平均数的定义列出关于a的方程，解之即可；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）先计算出乙成绩的方差，再根据方差的意义判断即可．
【详解】（1）解：∵甲的平均成绩是8环，
；解得：，
故答案为：8；
（2）甲成绩排序后最中间的两个数据为8和8，
所以甲成绩的中位数是；
乙成绩中出现次数最多的为7，
故乙成绩的众数是7，
（3）乙成绩的方差为：
，
∴，
∵甲和乙的平均成绩都是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，
∴甲的成绩更为稳定．
【点睛】本题考查了方差、中位数以及众数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则数据偏离平均值的程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
21．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果，进而计算他和张老师被分到同一组的概率．
【详解】（1）张老师被分到B组的概率是；
故答案为：
（2）画树状图如下：
∴王老师和张老师被分配到同一个组的概率为：
【点睛】本题考查简单概率公式，列表法求概率，解题的关键是理解题意，掌握简单概率公式，列表法求概率．
22．(1)见解析；
(2)；
【分析】（1）延长使,延长使,连接即可；
（2）以为旋转中心，找到顺时针旋转后的对应点，顺次链接即可，结合坐标系写出点的坐标，由扇形面积公式求出边扫过的面积．
【详解】（1）解：如图，
（2）如图，由题意可知：
①
②
边扫过的面积为：
故答案为：，
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的位似、旋转作图，以及求线段扫过的不规则图形面积；解题的关键是正确作图，会利用等积法求面积．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【详解】（1），
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
24．（1）见解析 （2）1
【分析】（1）证，由性质可得即可；
（2）设，，由，可得，，开口向下，对称轴是，的范围是，函数先增后减，当时有最大值，y最大=即可．
【详解】解：（1）∵，在正方形中，∠B=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，∠BPA+∠CPQ=90°，
∴∠BAP=∠CPQ，
∴，
∴，
；
（2）设，，
，
∴，
，
，开口向下，对称轴是，
∵的范围是，函数先增后减
当时有最大值，y最大=，
∴当最大时，．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形相似判断与性质，二次函数最值，掌握正方形的性质，相似三角形的判定方法和性质，会根据相似的性质构造函数是解题关键
25．（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）宣传牌CD高约2.7米.
【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.
【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，
∴∠BAH=30°
∴BH=AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15.
在Rt△ADE中，
∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15.
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
26．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定和相似是解题的关键．
（1）连接，证明，即可．
（2）连接，证明，结合勾股定理，求得，再证明列出比例式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵的平分线交 于C点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴为切线．
（2）解：连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，

∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故．
27．(1)
(2)该超市销售这种水果每天获取的利润最大是750元
(3)
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键．
（1）设y与 x之间的函数关系式为，把代入，求出k和b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据“每天的销售量均不低于250千克”求出x的取值范围，再根据利润=单件利润×数量，列出w关于x的关系式，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）设扣除捐赠后的日销售利润为S，则，根据当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元）的增大而增大，得出，求出a的取值范围，结合，即可解答．
【详解】（1）解：设y与 x之间的函数关系式为，
把代入得：
，
解得：，
∴y与 x之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意可得：
，
解得：，
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
当时，w取最大值，此时，
即该超市销售这种水果每天获取的利润最大是750元；
（3）解：设扣除捐赠后的日销售利润为S，
，
∵当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元）的增大而增大，
∴，
解得：，
∵，
∴a的取值范围为．
28．(1)二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0），B（3，0），
(2)t＝﹣2
(3)或M（4，﹣5）．
【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标的横坐标为1建立方程即可求出m，进而得出抛物线解析式，再令y＝0解一元二次方程即可得出点A，B的坐标；
（2）先构造出全等三角形△EPH≌△PQO，进而得出EH＝OP＝﹣t，HP＝OQ＝5，即可得出点E的坐标，代入抛物线解析式中即可求出t；
（3）分两种情况讨论计算，①点M在x轴上方时，构造相似三角形△MCN∽△DAF得出比例式建立方程即可求出点M的坐标，②点M在x轴下方时，同①的方法即可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标的横坐标为1，
∴，
解得，m1＝﹣1，m2＝0（舍去），
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝1时，y＝＝4，当x＝0时，y＝3，,
∴点D的坐标是（1，4），点C的坐标是（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
（2）解：如图1，过点E作EH⊥y轴于点H，
∵∠PQO+∠OPQ＝90°，∠OPQ+∠HPE＝90°，
∴∠HPE＝∠PQO，
由旋转知，PQ＝PE，
在△EPH和△PQO中，
，
∴△EPH≌△PQO（AAS），
∴EH＝OP＝﹣t，HP＝OQ＝5，
∴E（﹣t，5+t），
当点E恰好在该二次函数的图象上时，有5+t＝﹣t2﹣2t+3，
解得t1＝﹣2，t2＝﹣1（由于t＜﹣1所以舍去），
∴t＝﹣2．
（3）解：设点M（a，﹣a2+2a+3），
①若点M在x轴上方，
如图2，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作DF⊥x轴于点F，作ER⊥AB于点R，则∠MNC＝∠DFA＝90°，
由（2）知 t＝﹣2，则点E（2，3），点P（0，﹣2），
∴OR＝2，ER＝3，
∵OA＝1，OF＝1，
∴AR＝ER＝3，
∴∠EAB＝45°，
∵OC＝OB＝3，
∴∠OCB＝45°，
∴∠EAB＝∠OCB＝45°，
∵∠DAE＝∠MCB，
∴∠MCN＝∠DAF，
∴△MCN∽△DAF，
∴，
∵DF＝4，NC＝3－（﹣a2+2a+3）＝a2－2a，AF＝2，MN＝a，
∴，
∴，a2＝0（舍去），
∴a＝，
当a＝时，﹣a2+2a+3＝﹣，
∴，
②若点M在x轴下方，如图3，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作DF⊥x轴于点F．设DF交AE于点G，则∠MNC＝∠DFA＝90°，
∵∠EAB＝45°，
∴∠AGF＝90°－∠EAB＝45°，
∵∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB，
∴∠OCB－∠MCB＝∠AGF－∠DAE，
∴∠MCN＝∠ADF，
∴△MCN∽△ADF，
∴，
∵MN＝a，CN＝3－（﹣a2+2a+3）＝a2－2a，AF＝2，DF＝4，,
即，
∴a1＝4，a2＝0（舍去），
∴a＝4，
当a＝4时，﹣a2+2a+3＝，
∴M（4，﹣5），
综上所述，或M（4，﹣5）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
射击次序（次）
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
甲的成绩（环）
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
乙的成绩（环）
6
7
9
7
9
10
8
7
7
10