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2023-2024学年江苏省苏州市吴江区实验初中教育集团八年级上学期12月月考数学试题(含解析)
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这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴江区实验初中教育集团八年级上学期12月月考数学试题(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，股四，填空题等内容，欢迎下载使用。
初二数学
试卷分值：130分，考试用时：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的位置上）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各数中，属于有理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．（每相邻两个1之间0的个数依次多1个）
3．若，则的值是（ ）
A．2B．C．1D．
4．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ）
A． 《周髀算经》B．《九章算术》
C．《海岛算经》D．《几何原本》
5．已知点和点关于 y 轴对称，则的值为（ ）
A．－5B．5C．7D．7
6．“一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客万人次，按可比口径较2019年增长近似数万精确到（ ）
A．十分位B．百位C．千位D．千分位
7．如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
8．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卷相应的横线上）
9．64的立方根是 ．
10．计算：= ．
11．函数中，自变量的取值范围是 ．
12．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上中线的长是 ．
13．点P在第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，则点P的坐标为 ．
14．如图所示，，，若，，则的度数是 ．
15．如图，在数轴上，点A与原点重合，点A、B之间的距离为1，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 ．
16．如图，在中，，，点E和点F分别为和上的动点，且，连接，，当的值最小时，点F到的距离为 ．
三、解答题（本大题共11题，共82分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．求x的值：．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．
(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．
(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．
(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．
20．已知与正比例，且时，
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值．
21．如图，在中，，，，点D为内一点，且，．
(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分（四边形）的面积．
22．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)计算：．
23．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题：
(1)若整齐叠放在桌面上的饭碗的高度与饭碗数x（个）成一次函数关系，求y与x之间的函数表达式；
(2)若把这两摞饭碗整齐地叠放成一摞时，求这摞饭碗的高度；
(3)若桌面上若干个饭碗整齐地叠放成一摞，测得它的高度是，求碗的个数．
24．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；
(2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积．
25．阅读并解答问题：
明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索有几？
译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）
建立数学模型，解决问题：
如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度．
26．如图，点D，E在的边上，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若点E在的垂直平分线上，过点B作于点G，，求的值．
27．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点P在上且点P到两边的距离相等，利用尺规作图，找出点P的位置（保留作图痕迹），并求出的面积；
(3)若动点Q从点O出发，沿着的路径运动，当是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案.
【详解】解：由题意可得，
A选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形是轴对称图形，符合题意，
D选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选C.
【点睛】轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
2．B
【分析】本题考查无理数和有理数的定义，掌握无理数为无限不循环小数，有理数分为整数和分数是解题关键．根据无理数和有理数的定义逐项判断即可．
【详解】为无理数，故A不符合题意；
为有理数，故B符合题意；
为无理数，故C不符合题意；
为无理数，故D不符合题意．
故选B．
3．B
【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题关键．直接根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选B．
4．A
【分析】加强教材的阅读，熟记相关知识的来源与出处．
【详解】解：早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的历史渊源，仔细阅读教材，熟记知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可．
【详解】解：∵点和点关于 y 轴对称，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查的是近似数的精确度，将题目中的数化成原始数，看后面的5 在哪一位即可求解．
【详解】解：近似数万，
近似数万精确到千位，
故选：C．
7．A
【分析】根据全等三角形的判定得出∠DAC=∠BAC，然后利用角平分线的定义即可证明．
【详解】解：在∆ABC与∆ADC中，
，
∴∆ABC≌∆ADC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴AC为∠BAD的角平分线，
故选：A．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
8．A
【分析】作出如图辅助线，根据平分，即可得出．再根据正方形和正方形的面积之比为，即可得到，进而利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，
由题可得，，
∴，
又∵，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∵正方形和正方形的面积分别为，，且，，
∴正方形的面积，
∴正方形和正方形的面积之比为，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现，将的值转化为的值．
9．4
【分析】根据立方根的定义即可求解.
【详解】解：∵43=64，
∴64的立方根是4，
故答案为：4.
【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
10．3
【分析】先把化成，然后再合并同类二次根式即可得解.
【详解】原式=2.
故答案为
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行然后合并同类二次根式．
11．且
【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的定义即可得．
【详解】由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围、分式的分母不能为0、二次根式的定义，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
12．##
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：斜边长，
∴斜边上中线的长是，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查点的坐标的确定，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第二象限点的坐标符号特点可得答案．
【详解】解：∵点P在第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，
∴，即．
故答案为：．
14．80°##80度
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理及平行线的性质，熟知这些定理的内容是正确解决本题的关键．
根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理得到的度数，根据平行线的性质得到，进而得到的度数．
【详解】解：，
，
，，
，
，
，
，
所以的度数是．
15．
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理可求出，结合题意即可由求解．
【详解】解：由题意可知，，，
∴，
∴，
∴点E表示的实数是．
故答案为：．
16．
【分析】过点C作，取，连接，，交于点H，过点H作于点I，证明，得出，求出，说明当A、F、G在同一直线上时，最小，即最小，证明，得出，求出，根据直角三角形性质求出．
【详解】解：过点C作，取，连接，，交于点H，过点H作于点I，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当A、F、G在同一直线上时，最小，即最小，
∴点最小时，点F于点H重合，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
即当的值最小时，点F到的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
17．
【分析】本题考查利用立方根解方程，掌握立方根的定义是解题关键．根据立方根的定义可将原方程化为一元一次方程，再求解即可．
【详解】解：，
，
，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握其运算法则是解题关键．
（1）先计算有理数的乘方，化简绝对值，计算立方根，平方根，最后计算加减即可；
（2）先根据平方差公式计算，再计算乘法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；
（2）根据要求画出图形即可；
（3）根据要求画出图形即可．
【详解】（1）如图①中，直线m即为所求；
（2）如图②中，图形即为所求；
（3）如图③中，图形即为所求．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据正比例的定义设出函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【详解】（1）解：设函数解析式为，
∵当，
∴，
∴
∴解析式为，即
（2）解：∵在函数图象上，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
21．(1)5
(2)24
【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其 逆定理是解题关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理逆定理可证为直角三角形，且，再根据，结合三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
∵，
∴．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分子、分母都乘，再进行计算即可；
（2）分式的分子和分母都乘，再进行计算即可；
（3）先分母有理化，再根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算，能正确分母有理化是解此题的关键，注意运算顺序．
23．(1)（x是正整数）
(2)
(3)22个
【分析】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．而它通过所有学生都熟悉的摞碗现象构造问题，将有关数据以直观的形象呈现给学生，让人耳目一新．从以上例子我们看到，数学就在我们身边，只要我们去观察、发现，便能找到它的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活、生产中的不少问题．
（1）可设，由图示可知，时，；时，，由此可列方程组，进而求解；
（2）令，求出相应的y值即可；
（3）令，求出相应的x的值即可．
【详解】（1）解：设．
由图可知：当时，；时，．
把它们分别代入上式，得，
解得，．
∴一次函数的解析式是（x是正整数）
故答案为：（x是正整数）；
（2）解：当时，．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是；
（3）解：把代入得：，
解得：，
答：碗的个数为22个．
24．(1)
(2)3
【分析】（1）把三角形的三边的长代入p，然后代入S，计算即可得解；
（2）把三角形的三边的长代入S，计算即可得解．
【详解】（1）解：，
；
故答案为：；
（2）解：
．
【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．
25．14.5尺
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，一元一次方程的实际应用．根据勾股定理列出方程是解题关键．由题意可求出尺，设尺，则尺，勾股定理可列出关于x的方程，解出x的值即可．
【详解】解：由题意可知尺，
∴尺．
设尺，则尺，
在中，，
∴，
解得：，
∴尺．
26．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识：
（1）先证，再由证，即可得出结论；
（2）过点A作于点H，设，由勾股定理得，，再证，然后由勾股定理得，则，进而由等腰三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点A作于点H，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
设，
∵
∴
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴（负值已舍去），
∵，
∴，
∴．
27．(1)见解析
(2)见解析；
(3)或或或
【分析】（1）根据点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，求出、即可；
（2）根据角平分线上点的特点和作一个角等于已知的方法，作的平分线即可；过点P作于点D，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，利用三角形面积公式求出结果即可；
（3）分四种情况：当，点在时，当，点在时，当时，当时，分别画出图形，求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）证明：∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：∵角平分线上的点到角的两边距离相等，
∴作的平分线，与的交点，即为点P，如图所示：
过点P作于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
解得：，
∴．
（3）解：当，点在时，点Q的坐标为；
当，点在时，过点Q作于点H，过点O作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴此时点Q的坐标为；
当时，过点Q作于点D，如图所示：
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时点Q的坐标为；
当时，过点Q作于点M，于点N，过点O作于点D，如图所示：
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴此时点Q的坐标为：；
综上分析可知，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了坐标图形，勾股定理，三角形面积的计算，角平分线的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．
初二数学
试卷分值：130分，考试用时：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的位置上）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各数中，属于有理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．（每相邻两个1之间0的个数依次多1个）
3．若，则的值是（ ）
A．2B．C．1D．
4．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ）
A． 《周髀算经》B．《九章算术》
C．《海岛算经》D．《几何原本》
5．已知点和点关于 y 轴对称，则的值为（ ）
A．－5B．5C．7D．7
6．“一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客万人次，按可比口径较2019年增长近似数万精确到（ ）
A．十分位B．百位C．千位D．千分位
7．如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
8．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卷相应的横线上）
9．64的立方根是 ．
10．计算：= ．
11．函数中，自变量的取值范围是 ．
12．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上中线的长是 ．
13．点P在第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，则点P的坐标为 ．
14．如图所示，，，若，，则的度数是 ．
15．如图，在数轴上，点A与原点重合，点A、B之间的距离为1，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 ．
16．如图，在中，，，点E和点F分别为和上的动点，且，连接，，当的值最小时，点F到的距离为 ．
三、解答题（本大题共11题，共82分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．求x的值：．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．
(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．
(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．
(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．
20．已知与正比例，且时，
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值．
21．如图，在中，，，，点D为内一点，且，．
(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分（四边形）的面积．
22．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)计算：．
23．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题：
(1)若整齐叠放在桌面上的饭碗的高度与饭碗数x（个）成一次函数关系，求y与x之间的函数表达式；
(2)若把这两摞饭碗整齐地叠放成一摞时，求这摞饭碗的高度；
(3)若桌面上若干个饭碗整齐地叠放成一摞，测得它的高度是，求碗的个数．
24．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；
(2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积．
25．阅读并解答问题：
明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索有几？
译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）
建立数学模型，解决问题：
如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度．
26．如图，点D，E在的边上，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若点E在的垂直平分线上，过点B作于点G，，求的值．
27．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点P在上且点P到两边的距离相等，利用尺规作图，找出点P的位置（保留作图痕迹），并求出的面积；
(3)若动点Q从点O出发，沿着的路径运动，当是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案.
【详解】解：由题意可得，
A选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形是轴对称图形，符合题意，
D选项图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选C.
【点睛】轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
2．B
【分析】本题考查无理数和有理数的定义，掌握无理数为无限不循环小数，有理数分为整数和分数是解题关键．根据无理数和有理数的定义逐项判断即可．
【详解】为无理数，故A不符合题意；
为有理数，故B符合题意；
为无理数，故C不符合题意；
为无理数，故D不符合题意．
故选B．
3．B
【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题关键．直接根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选B．
4．A
【分析】加强教材的阅读，熟记相关知识的来源与出处．
【详解】解：早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的历史渊源，仔细阅读教材，熟记知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可．
【详解】解：∵点和点关于 y 轴对称，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查的是近似数的精确度，将题目中的数化成原始数，看后面的5 在哪一位即可求解．
【详解】解：近似数万，
近似数万精确到千位，
故选：C．
7．A
【分析】根据全等三角形的判定得出∠DAC=∠BAC，然后利用角平分线的定义即可证明．
【详解】解：在∆ABC与∆ADC中，
，
∴∆ABC≌∆ADC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴AC为∠BAD的角平分线，
故选：A．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
8．A
【分析】作出如图辅助线，根据平分，即可得出．再根据正方形和正方形的面积之比为，即可得到，进而利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，
由题可得，，
∴，
又∵，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∵正方形和正方形的面积分别为，，且，，
∴正方形的面积，
∴正方形和正方形的面积之比为，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现，将的值转化为的值．
9．4
【分析】根据立方根的定义即可求解.
【详解】解：∵43=64，
∴64的立方根是4，
故答案为：4.
【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
10．3
【分析】先把化成，然后再合并同类二次根式即可得解.
【详解】原式=2.
故答案为
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行然后合并同类二次根式．
11．且
【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的定义即可得．
【详解】由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围、分式的分母不能为0、二次根式的定义，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
12．##
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：斜边长，
∴斜边上中线的长是，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查点的坐标的确定，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第二象限点的坐标符号特点可得答案．
【详解】解：∵点P在第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，
∴，即．
故答案为：．
14．80°##80度
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理及平行线的性质，熟知这些定理的内容是正确解决本题的关键．
根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理得到的度数，根据平行线的性质得到，进而得到的度数．
【详解】解：，
，
，，
，
，
，
，
所以的度数是．
15．
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理可求出，结合题意即可由求解．
【详解】解：由题意可知，，，
∴，
∴，
∴点E表示的实数是．
故答案为：．
16．
【分析】过点C作，取，连接，，交于点H，过点H作于点I，证明，得出，求出，说明当A、F、G在同一直线上时，最小，即最小，证明，得出，求出，根据直角三角形性质求出．
【详解】解：过点C作，取，连接，，交于点H，过点H作于点I，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当A、F、G在同一直线上时，最小，即最小，
∴点最小时，点F于点H重合，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
即当的值最小时，点F到的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
17．
【分析】本题考查利用立方根解方程，掌握立方根的定义是解题关键．根据立方根的定义可将原方程化为一元一次方程，再求解即可．
【详解】解：，
，
，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握其运算法则是解题关键．
（1）先计算有理数的乘方，化简绝对值，计算立方根，平方根，最后计算加减即可；
（2）先根据平方差公式计算，再计算乘法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；
（2）根据要求画出图形即可；
（3）根据要求画出图形即可．
【详解】（1）如图①中，直线m即为所求；
（2）如图②中，图形即为所求；
（3）如图③中，图形即为所求．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据正比例的定义设出函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【详解】（1）解：设函数解析式为，
∵当，
∴，
∴
∴解析式为，即
（2）解：∵在函数图象上，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
21．(1)5
(2)24
【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其 逆定理是解题关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理逆定理可证为直角三角形，且，再根据，结合三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
∵，
∴．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分子、分母都乘，再进行计算即可；
（2）分式的分子和分母都乘，再进行计算即可；
（3）先分母有理化，再根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算，能正确分母有理化是解此题的关键，注意运算顺序．
23．(1)（x是正整数）
(2)
(3)22个
【分析】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．而它通过所有学生都熟悉的摞碗现象构造问题，将有关数据以直观的形象呈现给学生，让人耳目一新．从以上例子我们看到，数学就在我们身边，只要我们去观察、发现，便能找到它的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活、生产中的不少问题．
（1）可设，由图示可知，时，；时，，由此可列方程组，进而求解；
（2）令，求出相应的y值即可；
（3）令，求出相应的x的值即可．
【详解】（1）解：设．
由图可知：当时，；时，．
把它们分别代入上式，得，
解得，．
∴一次函数的解析式是（x是正整数）
故答案为：（x是正整数）；
（2）解：当时，．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是；
（3）解：把代入得：，
解得：，
答：碗的个数为22个．
24．(1)
(2)3
【分析】（1）把三角形的三边的长代入p，然后代入S，计算即可得解；
（2）把三角形的三边的长代入S，计算即可得解．
【详解】（1）解：，
；
故答案为：；
（2）解：
．
【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．
25．14.5尺
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，一元一次方程的实际应用．根据勾股定理列出方程是解题关键．由题意可求出尺，设尺，则尺，勾股定理可列出关于x的方程，解出x的值即可．
【详解】解：由题意可知尺，
∴尺．
设尺，则尺，
在中，，
∴，
解得：，
∴尺．
26．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识：
（1）先证，再由证，即可得出结论；
（2）过点A作于点H，设，由勾股定理得，，再证，然后由勾股定理得，则，进而由等腰三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点A作于点H，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
设，
∵
∴
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴（负值已舍去），
∵，
∴，
∴．
27．(1)见解析
(2)见解析；
(3)或或或
【分析】（1）根据点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，求出、即可；
（2）根据角平分线上点的特点和作一个角等于已知的方法，作的平分线即可；过点P作于点D，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，利用三角形面积公式求出结果即可；
（3）分四种情况：当，点在时，当，点在时，当时，当时，分别画出图形，求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）证明：∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：∵角平分线上的点到角的两边距离相等，
∴作的平分线，与的交点，即为点P，如图所示：
过点P作于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
解得：，
∴．
（3）解：当，点在时，点Q的坐标为；
当，点在时，过点Q作于点H，过点O作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴此时点Q的坐标为；
当时，过点Q作于点D，如图所示：
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时点Q的坐标为；
当时，过点Q作于点M，于点N，过点O作于点D，如图所示：
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴此时点Q的坐标为：；
综上分析可知，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了坐标图形，勾股定理，三角形面积的计算，角平分线的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．
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