2023-2024学年贵州省六盘水市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省六盘水市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若线段a，b，c，d是成比例线段，且a=2cm，b=4cm，c=3cm，则d=( )
A. 6cmB. 83cmC. 1.5cmD. 3cm
2.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x−1)2=6C. (x+2)2=9D. (x−1)2=9
3.如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”对这条信息的下列说法中，正确的是( )
A. 仙游明天将有85%的时间下雨B. 仙游明天将有85%的地区下雨
C. 仙游明天下雨的可能性较大D. 仙游明天下雨的可能性较小
4.如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F，已知a/​/b/​/c，且ACCE=45，DF=10，则BF的长是( )
A. 8
B. 10
C. 16
D. 18
5.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是( )
A. ①，对角相等B. ③，有一组邻边相等
C. ②，对角线互相垂直D. ④，有一个角是直角
6.如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A、C两点坐标分别为(−2,2)、(1,−1)，则点B的坐标是( )
A. (−1,−2)
B. (−1,−3)
C. (−2,−1)
D. (−3,−1)
7.如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为( )
A. ±2B. ±3C. 3或−1D. 2或−1
8.对于实数a，b定义新运算：a⊗b=ab2−b，若关于x的方程1⊗x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围( )
A. k>−14B. k<−14C. k>−14且k≠0D. k≥−14且k≠0
9.“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6)，是采用“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是( )
A. 125B. 120C. 110D. 15
10.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A. 3(x+1)x=6210B. 3 (x−1)=6210
C. (3x−1)x=6210D. 3(x−1)x=6210
11.如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点E、F，直线EF交AD于点M，交BC于点N，若AM=8，DM=2，则边AB的长为( )
A. 6
B. 10
C. 2 5
D. 2 15
12.如图所示，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，在下列结论中错误的是( )
A. S△ADE=S△EOD
B. 四边形BFDE是中心对称图形
C. △DEF是轴对称图形
D. ∠ADE=∠EDO
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.在比例尺是1：20的图纸上，量得一个零件的长是16cm，则它的实际长是______ cm．
14.老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别的卡片(如图).从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是______．
15.已知矩形ABCD的周长为12，面积为5，且AB和BC的长恰好是方程x2+mx+n=0的两根，则mn= ______ ．
16.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点在OM上运动时，点C随之在ON上运动，矩形ABCD的形状保持不变其中CD=5，BC=24，运动过程中，点D到点O的最大距离是______ ．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x−3)=(x−3)2的过程如下．
(1)嘉嘉的解法______ ，淇淇的解法______ .(填“正确”或“不正确”)
(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．
18.(本小题10分)
为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下的游戏：在三张完全相同的卡片上分别写上字母A，B，B，背面朝上，每次抽取之前先洗匀，甲说：“我随机抽取一张，抽到字母B，电影票归我．”乙说：“我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同，电影票归我．”试问：此游戏对谁更有利？并说明理由．
19.(本小题10分)
如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．
(1)如果______，那么四边形ABCD为正方形(请你填上能使结论成立的一个条件)；
(2)根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．
20.(本小题10分)
某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？
解：设……
根据题意，得(80−50−x)(200+x2×40)=7920
……
根据上面所列方程，完成下列任务：
(1)数学问题中括号处短缺的条件是______；
(2)所列方程中未知数x的实际意义是______；
(3)请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程．
21.(本小题10分)
在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别.每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回.在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验.如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．

(1)根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是______ ，其中红球的个数是______ ；
(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．
22.(本小题10分)
如图，已知在△ABC中，EF//CD，AF=3，AD=5，AE=4．
(1)求AC的长；
(2)当AB=253时，求证：DE/​/BC．
23.(本小题12分)
下面是多媒体上的一道试题：
如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF=CE，连接BD，DF.求证：四边形BFDE是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路．
小星：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
(1)请你选择一位同学的思路，并进行证明；
(2)若BD=2 5，BE=4，求BC的长．
24.(本小题12分)
阅读下列材料，并完成相应任务．
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x−35=0为例，说明如下：将方程x2+2x−35=0变形为x(x+2)=35，然后画四个长为(x+2)，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形.图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4=144，可得新方程(x+x+2)2=144，
∵x表示边长，
∴2x+2=12，
∴x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
任务一：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是______ ；
A.分类讨论思想
B.数形结合思想
C.演绎思想
D.公理化思想
任务二：请根据赵爽的办法求方程x2+3x−4=0的正根，需要在图②中画出相应的图形标明各边长，并写出完整的解答过程．
25.(本小题14分)
【课本再现】
(1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分.正方形A1B1C1O可绕点O转动.则下列结论正确的是______ (填序号即可)．
①△AEO≌△BFO；
②OE=OF；
③四边形OEBF的面积总等于14S正方形ABCD；
④连接EF，总有AE2+CF2=EF2．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=2cm时，求线段EF的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
即2：4=3：d，
解得d=6(cm)．
故选：A．
根据成比例线段的定义得到a：b=c：d，然后利用比例的性质可求出d．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键．
首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解．
【解答】
解：x2−2x−5=0，
x2−2x=5，
x2−2x+1=5+1，
∴(x−1)2=6．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：如上图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”，对这条信息的上列说法中，正确的是仙游明天下雨的可能性较大，
故选：C．
根据概率的意义，即可解答．
本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵a/​/b/​/c，
∴BDDF=ACCE，即BD10=45，
解得：BD=8，
∴BF=BD+DF=10+8=18，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC/​/AD，AB/​/CD，
∵A、C两点坐标分别为(−2,2)、(1,−1)，
∴点B坐标为(−2,−1)，
故选：C．
由正方形的性质可得BC/​/AD，AB/​/CD，即可求解．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意2(x−1)2=8，
∴(x−1)2=4，
∴x−1=±2，
∴x1=3，x2=−1．
故选：C．
利用运算程序得到2(x−1)2=8，利用直接开平方法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
8.【答案】A
【解析】解：∵1⊗x=k，
∴x2−x=k，
方程化为一般式为x2−x−k=0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1)2−4×(−k)>0，
解得k>−14．
故选：A．
先利用新定义得到x2−x=k，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到Δ=(−1)2−4×(−k)>0，再解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是125．
故选：A．
画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意得：
3(x−1)x=6210．
故选：D．
根据”少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱“和总价=单价×数量可得出相应的方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：连接CM，
由题意知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM=CM=8，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，AB=CD，
∴CD= CM2−DM2= 82−22=2 15．
∴AB=2 15．
故选：D．
连接CM，由题意知，EF是线段AC的垂直平分线，则AM=CM=8，由矩形的性质可知，∠D=90°，AB=CD，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查线段垂直平分线的性质、矩形的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：A、∵E是OA的中点，
∴AE=OE，
∵△ADE与△EOD等高，
∴S△ADE=S△EOD，
故本选项正确；
B、∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是中心对称图形；
故本选项正确；
C、∵OE=OF，AC⊥BD，
∴△DEF是等腰三角形，
∴△DEF是轴对称图形；
故本选项正确；
D、∵AD>OD，AE=OE，
∴∠ADE≠∠ODE，
故本选项错误．
故选：D．
由O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，易证得四边形BFDE是菱形，△DEF是等腰三角形，即可判定B，D正确；又由等底等高三角形的面积相等，即可判定A正确，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质与判定、轴对称性与中心对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13.【答案】320
【解析】解：∵比例尺是1：20，一个零件的图上距离是16cm，
∴这个零件的实际长是16÷120=320(cm)．
故答案为：320．
根据比例尺=图上距离实际距离得出这个零件的实际长是16÷120，再求出答案即可．
本题考查了比例尺，能熟记比例尺=图上距离实际距离是解此题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果，
所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为26=13，
故答案为：13．
用物理变化的张数除以总张数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15.【答案】−30
【解析】解：∵AB和BC的长恰好是方程x2+mx+n=0的两根，
∴AB+BC=−m，AB⋅BC=n，
∵矩形ABCD的周长为12，面积为5，
∴AB+BC=6，AB⋅BC=5，
∴m=−6，n=5，
∴mn=−6×5=−30，
故答案为：−30．
根据根与系数的关系可得AB+BC=−m，AB⋅BC=n，由此解答即可．
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
16.【答案】25
【解析】解：如图，取BC的中点E，连接OD、OE、DE，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE，
∵∠MON=90°，
∴△BOC是直角三角形，
∵△BOC是直角三角形，点E是BC的中点，BC=24，
∴OE=CE=BC=×24=12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ECD=90°，由勾股定理得：DE= CD2+CE2= 25+144=13，
∴OD的最大值为OE+DE=12+13=25，
故答案为：25．
取BC的中点E，连接OD、OE、DE，由三角形的三边关系可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，然后由勾股定理求出DE的长，即可得出答案．
本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系、矩形的性质、勾股定理等知识，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
17.【答案】不正确 不正确
【解析】解：(1)嘉嘉的解法不正确，淇淇的解法不正确，
故答案为：不正确，不正确；
(2)正确的解法是：3(x−3)=(x−3)2，
移项，得3(x−3)−(x−3)2=0，
提取公因式，得(x−3)(3−x+3)=0，
则x−3=0或3−x+3=0，
解得x1=3，x2=6，
在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解．
(1)根据等式的性质即可得出答案；
(2)利用因式分解法解答即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18.【答案】解：此游戏对乙更有利，理由如下：
甲获得电影票的概率=23；
画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的字母相同的结果数为5，
所以乙获得电影票的概率=59．
∵23<59，
∴此游戏对乙更有利．
【解析】分别利用概率公式和画树状图计算各自的概率，然后比较即可．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
19.【答案】AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一)
【解析】解：(1)如果AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一)那么四边形ABCD为正方形；
故答案为：AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一)；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，
①添加条件AB=AD，
∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
②∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
(1)根据题意添加条件即可；
(2)根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明，根据正方形的判定方法即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
20.【答案】售价每降低2元时，月销售量可增加40件 单价每降低2元时，月销售量可增加40件 单价降低了x元
【解析】解：(1)根据所列方程，可知问题中括号处短缺的条件是：单价每降低2元时，月销售量可增加40件．
故答案为：单价每降低2元时，月销售量可增加40件．
(2)根据所列方程，可知所列方程中未知数x的实际意义是单价降低了x元．
故答案为：单价降低了x元；
(3)根据题意，得(80−50−x)(200+x2×40)=7920，
整理，得x2−20x+96=0，
解之，得x1=8，x2=12，
又∵要让顾客得到更大的实惠，
∴x=12，
∴80−x=80−12=68．
答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到7920元．
(1)根据所列方程，可得出题干中缺失的条件；
(2)根据所列方程，可找出未知数x的实际意义；
(3)利用月销售总利润=每件的销售利润×月销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合要让顾客得到更大的实惠，可确定x的值，再将其代入(80−x)中，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】0.75 3
【解析】解：(1)从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是0.75，
4×0.75=3(个)，
答：红球的个数是3个．
故答案为：0.75，3；
(2)由(1)可知帆布袋中有3个红球和1个白球．
列表如下：
可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即(白，红1)，(白，红2)，(白，红3)，(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球(记为事件A)共有3种结果，即(白，红1)，(白，红2)，(白，红3)，
所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是36=12．
(1)通过图中的数据，随着次数的增多，摸到红球的频率越稳定在0.75左右，得出红球的概率，再用红球的概率乘以总球数，即可得出红球的个数；
(2)画树状图，得出所有等可能的情况是，找出符合条件的情况是，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)解：∵EF/​/CD，
∴AFAD=AEAC，
∵AF=3，AD=5，AE=4，
∴35=4AC，
解得：AC=203；
(2)证明：∵AD=5，AE=4，AB=253，AC=203
∴ADAB=5253=35，AEAC=4203=35，
∴ADAB=AEAC，
∴DE/​/BC．
【解析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
(1)根据平行线分线段成比例成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可；
(2)根据题意得出ADAB=AEAC，进而证明结论．
23.【答案】解：(1)选择小星的思路．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB/​/CD．
∵AF=CE，
∴BF=DE，
∴四边形DFBE是平行四边形．
∵CD⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴四边形DFBE是矩形；
选择小红的思路．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，∠A=∠C．
∵AF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴∠AFD=∠CEB=90°，
∴∠DFB=90°．
∵CD//AB，
∴∠FBE=∠CEB=90°，
∴∠DFB=∠FBE=∠BED=90°，
∴.四边形DFBE是矩形；
(2)在Rt△BDE中，DE= BD2−BE2= (2 5)2−42=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∴CE=CD−DE=BC−2．
在Rt△BCE中，BC2=CE2+BE2，
∴BC2=(BC−2)2+42，
解得BC=5．
∴BC的长为5．
【解析】(1)小星的思路．先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红的思路．由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得∠AFD=∠CEB=90°，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证；
(2)由勾股定理可求BC的长．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】B
【解析】解：任务一：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想；
故选：B；
任务二：将方程x2+3x−4=0变形为x(x+3)=4，
画四个长为x，宽为x+3的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积从整体看可表示为(x+x+3)2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x(x+3)+32=4×4+9=25，
因此，可得新的一元二次方程(x+x+3)2=25，
∵x表示边长，
∴2x+3=5，
即x=1．
∴方程的一个正根为x=1．
任务一：观察构造图形的方法判断即可；
任务二：将方程x2+3x−4=0=0变形为x(x+3)=4，画四个长为x，宽为x+3的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
25.【答案】①②③④
【解析】解：(1)在正方形和正方形A1B1C1O中，AB=BC，OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO，故①正确；
∴OE=OF，S△AEO=S△BFO，故②正确；
∴四边形OEBF的面积=S△BOE+S△BOF=S△BOE+S△AOE=S△AOB=14S正方形ABCD，
四边形OEBF的面积总等于14S正方形ABCD，故③正确；
如图，
，
∵△AEO≌△BFO，
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴BE=CF，
∵∠ABC=90°，
∴BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2，故④正确；
故答案为：①②③④
(2)AE2+CF2=EF2，理由如下：
连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点．
∴AO=CO，
∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，AB/​/CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CGO，
∴△AEO≌△CGO，
∴AE=CG，OE=OG，
在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1=90°，
∴EF=FG，
在Rt△FCG中，CG2+CF2=GF2
∴AE2+CF2=EF2；
(3)设CF=x cm．
①当点E在线段AC上时，
∵AE=2cm，
∴CE=1cm
∵在Rt△FCE中，∠C=90°，
∴CE2+CF2=EF2，
∴12+x2=EF2，
又由(2)得：EF2=AE2+BF2，
∴EF2=22+BF2
∴12+x2=22+(4−x)2，
解得x=198．
∴EF= 12+(198)2=5 178．
②当点E在CA延长线上时，同理可证EF2=AE2+BF2
∴EF2=22+(4+x)2，
又在Rt△FCE中，EF2=x2+(3+2)2．
∴x2+(3+2)2=22+(4+x)2
解得x=58．
∴EF= 52+(58)2=5 658
故EF的长度为5 178cm或5 658cm．
(1)先证明△AEO≌△BFO，再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，逐项判断即可求解；
(2)连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，根据矩形的性质可得点O是AC的中点，再证明△AEO≌△CGO，可得AE=CG，OE=OG，再由线段垂直平分线的性质可得EF=FG，在Rt△FCG中，根据勾股定理，即可求解；
(3)设CF=x cm.分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上时，结合勾股定理，即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．嘉嘉：两边同时除以(x−3)，得3=x−3，
解得x=6．
淇淇：移项，得3(x−3)−(x−3)2=0，
提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．
则x−3=0或3−x−3=0，
解得x1=3，x2=0．
白
红1
红2
红3
白
白，红1
白，红2
白，红3
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红1，红3
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红2，红3
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