2021-2022学年贵州省六盘水市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年贵州省六盘水市七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 已知，则的补角等于

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，用大小不同的个长方形拼成一个大长方形，则图中阴影部分的面积是

A.
B.
C.
D.

5. 下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

6. 下列说法中正确的是

A. 两点之间所有的连线中，直线最短
B. 射线和射线是同一条射线
C. 一个角的余角一定比这个角大
D. 一个锐角的补角比这个角的余角大

7. 已知为任意实数，有多项式，，且，当多项式中不含次项时，的值为

A.  B.  C.  D.

8. 已知是完全平方式，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，若，用含、、的式子表示，应为

A.
B.
C.
D.
 

10. 若三角形的底边为，对应高为，则此三角形的面积为

A.  B.  C.  D.

11. 已知，，，，均为负数，，，则与的大小关系是

A.  B.  C.  D. 无法确定

12. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律：
    以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 已知，则的余角等于______度．
14. 已知，则______用含的代数式表示．
15. 计算的结果是______．
16. 如图，两个正方形的边长分别为，若，，则图中阴影部分的面积为______．
    
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共98分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，已知点，，，是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．
    画直线和射线；
    连接，过点画直线的垂线，垂足为；
    在直线上找一点，连接、，使的和最短．

20. 街心花园有一块长为米，宽为米的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少米，宽增加米，改造后仍得到一块长方形的草坪．
    求改造后长方形草坪的面积；
    小明认为无论取何值，改造前与改造后两块长方形草坪的面积相同．你认为小明的观点正确吗？请说明理由．
21. 如图，，，平分，，求的度数．

22. 图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
    
    观察图，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为______；
    运用你在中得到的关系式，计算：若、为实数，且，，试求值；
    如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
23. 已知：如图，点是直线上一动点，是直线外一点．连接，过点作交直线于点．
    
    如图，当点在线段上时，
    依题意，在图中补全图形；
    若，，求的度数；
    当点在直线上时，请写出、、的数量关系，请任选一个结论证明．
24. 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成是整数的形式，则称这个数为“完美数”例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”．
    解决问题：
    下列各数中，“完美数”有______填序号；
    
    
    
    
    探究问题：
    若可配方成为常数，则的值为______；
    已知是整数，是常数，要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
    拓展应用：
    已知实数，满足，求的最小值．
25. 如图，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
    根据图填空：______，______；
    现把三角板绕点逆时针旋转．
    如图，当，且点恰好落在边上时，求、的度数；
    当时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺有四条边某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
的补角为：．
故答案为：．
根据补角定义可求．
本题考查补角定义，正确进行角度的减法运算是求解本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，多项式乘多项式的法则，整式的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】

【解析】解：，
将代入，
得原式．
故选：．
先将利用平方差公式进行因式分解，然后将代入即可求解．
本题考查了因式分解，将代数式先进行因式分解再代入已知条件是解决本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：阴影面积：；
故选：．
根据阴影部分面四个长方形阴影面积之和列式计算．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则，根据题意列出算是是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
不符合平方差公式的特点，
选项D不符合题意；
故选：．
利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：、两点之间所有的连线中，线段最短，原说法错误，故A不符合题意；
B、射线和射线，端点不同，不是是同一条射线，原说法错误，故B不符合题意；
C、的余角是，两个角一样大，原说法错误，故C不符合题意；
D、设这个角的余角为，则这个角为，这个角的补角为，原说法正确，故D符合题意．
故选：．
分别根据“线段最短”，“射线的定义”，“余角的定义”和“补角的定义”分别判断即可．
本题主要考查线段最短，射线的定义，余角的定义和补角的定义，熟知相关定义是解题基础．
 

7.【答案】

【解析】解：，
多项式中不含次项，
，
．
故选：．
先计算的结果，再根据多项式中不含次项可得方程，求解可得的值．
此题考查的是合并同类项及多项式的乘法运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
故选：．
根据完全平方式的特点即可得出答案．
本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键，不要漏解．
 

9.【答案】

【解析】解：
过作，过作，
，
，
，，，
，，
，
故选：．
过作，过作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．
 

10.【答案】

【解析】解：，
故选：．
利用三角形的面积公式列出算式，再利用单项式乘多项式的法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：令，
，
，
，为负数，
，
，
故选：．
令，则，，再由，即可求解．
本题考查数字的变化规律，观察所求式子，并根据式子的特点，灵活地换元是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：由“杨辉三角”的规律可知，展开式中所有项的系数和为．
故选：．
由“杨辉三角”的规律可知，令，代入计算可得所有项的系数和．
本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，需要知道取值代入即可求得．
 

13.【答案】

【解析】解：的余角为．
故答案为：．
根据余角的计算方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了余角的计算，熟练掌握余角的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，，，

，
故答案为：．
根据已知可得，，，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了列代数式，单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：




，
故答案为：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：；
     ；
     ；
     ；
     ；
     ；
      ．
故答案为：．
把求不规则图形面积的问题转化为求规则图形面积的和或差的问题，阴影部分的面积等于大正方形面积的一半减去小正方形面积的一半，再减去上下两个相等三角形的面积．把含有字母、的代数式化成含有或的式子．
考查学生对图形面积的计算以及把不规则图形问题转化成规则图形问题，涉及到三角形和正方形面积，再一个难点就是怎样利用完全平方公式把代数式化成含有或的式子，考查学生对完全平方公式运用的熟练程度．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式

．

【解析】先展开，再去括号，合并同类项，化简后将的值代入．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
 

19.【答案】解：如图，直线和射线为所作；
如图，、为所作；
如图，点为所作．
 

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；
连接交于，根据两点之间线段最短可判断点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．
 

20.【答案】解：依题意得：改造后长方形草坪的面积米．
小明的观点不正确，理由如下：
解法一：
设改造前长方形草坪的面积为，改造后长方形草坪的面积为，
则．
，，
当，即时，，即；
当，即时，，即；
当，即时，，即．
解法二：如图，设的面积为，的面积为，的面积为，则，

，，
当，即时，，即；
，即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积大．
当，即时，，即；
，即改造后长方形草坪的面积与改造前长方形草坪的面积相等．
当，即时，，即．
，即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积小．

【解析】根据长宽可得面积；
根据矩形的面积公式和作差法比较大小可得结论．
本题考查了列代数式和多项式乘以多项式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
 

21.【答案】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
．

【解析】求出，证明即可解决问题．
本题考查平行线的判定知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】

【解析】解：运用完全平方公式展开得：；
         故答案为：；
        ；

．
     所以，
   令，
所以
又因为即；即
所以，
所以
答：图中阴影部分面积是．
通过完全平方公式很快得出，，之间的等量关系．运用的结果导出的值，再求用字母代替线段长度，把问题转到完全平方公式中来，解决问题．
图形变化，求面积，列代数式，反复运用完全平方公式，运用符号把问题简单化．
 

23.【答案】解：如图，

，
，，
；
当点在的延长线上时，如图，，

理由如下：
，
，，
；
当点在的延长线上时，如图，，

理由如下：
，
，，
，
，
综上，或．

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；
根据平行线的性质得到，，所以；
当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，，然后根据平行线的性质分别进行证明．
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，，和不能表示成两个数的平方和，
“完美数”有和，
故答案为：；
，
，，
，
．
故答案为：；
当时，是“完美数”，
理由如下：


，
，是整数，
和也是整数，
当时，是“完美数”；
，

，
，
，
的最小值为．
根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
利用完全平方式把原式变形，根据“完美数”的定义，即可证明结论；
利用配方法和非负数的性质，即可求得的最小值．
本题考查了配方法的应用，理解新定义“完美数”并会把算式灵活配方是解决问题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：，
；
故答案为：，；

如图，，，
，
，
，
，
，


；

当时，；
当时，，；
当时，．
根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；
结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解．
本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．