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江苏省南京市江宁区南京师范大学附属中学江宁分校2023-2024学年八年级上学期12月学科阶段调研数学试卷（月考）
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这是一份江苏省南京市江宁区南京师范大学附属中学江宁分校2023-2024学年八年级上学期12月学科阶段调研数学试卷（月考），文件包含八年级数学学科阶段调研教师版docx、八年级数学学科阶段调研学生版docx、八年级数学学科阶段调研学生版pdf、八年级数学学科阶段调研答题卡pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1．下列各数中，是无理数的为（ ）
A．B．3.14C．D．﹣
2．下列各式成立的是（ ）
A．＝﹣2B．（ ）2＝2C．＝aD．＝3
3．一次函数y＝x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8
C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8
5．下列整数中，与﹣1最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣2，1）
7．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点A'处，则∠A'EB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．40°
8．已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2．当x＜1时，y1＞y2，则k的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．4
二．填空题（共10小题）
9．若x2﹣9＝0，则x＝ ．
10．南京市总面积6587.02平方公里．用四舍五入法取近似数，6587.02≈ （精确到百位）．
11．比较大小：﹣1 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．如图，数轴上点C所表示的数是 ．
13．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1 y2．（填“＞”“＜”“＝”）
14．在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点逆时针旋转90°，则点A'的坐标为 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③AB∥CD；④△ABD≌△CBD．其中所有正确结论的序号是 ．
16．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 ．
17．如图，将边长为2的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，则FG＝ ．
18．已知点A（m，m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为 ．
三．解答题（共8小题）
19．求下列各式中的x：
（1）2x2﹣1＝9；
（2）（x+1）3+27＝0．
20．计算：
（1）++（﹣）0
（2）（﹣）2++
21．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD．
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证：△ABC≌△EDC；
（3）求∠BAC的大小．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；
（2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣3，0）与点B（0，4）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）点P为x轴上一动点，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
24．已知关于x的一次函数y＝kx+2k（k为常数，k≠0）．
（1）不论k为何值，该函数图象都经过一个定点，这个定点的坐标为 ；
（2）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值；
25．用函数方法研究动点到定点的距离问题．
借助小明的研究经验，解决下列问题：
（1）写出动点P（x，0）到定点B（﹣2，0）的距离S的函数表达式，并求当x取何值时，S取最小值？
（2）设动点P（x，0）到两个定点M（1，0）、N（5，0）的距离和为y．写出y与x的函数表达式，结合函数图像，说出随着x增大，y怎样变化？
26．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”．
（1）请在图2两个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
（图2）
（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 ．
（3）如图3，△ABC中，∠C＝∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
2023年12月13日魏巍的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2分）下列各数中，是无理数的为（ ）
A．B．3.14C．D．﹣
【解答】解：A、是无限不循环小数，故A正确；
B、3.14是有限小数，故B错误；
C、＝2是有限小数，故C错误；
D、﹣是无限循环小数，故D错误；
故选：A．
2．（2分）下列各式成立的是（ ）
A．＝﹣2B．（ ）2＝2C．＝aD．＝3
【解答】解：A、＝2，故此选项错误；
B、（ ）2＝4，故此选项错误；
C、＝|a|，故此选项错误；
D、＝3，正确．
故选：D．
3．（2分）一次函数y＝x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵k＝1＞0，图象过一三象限，b＝2＞0，图象过第二象限，
∴直线y＝x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
4．（2分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8
C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝50°，∠A＝∠D＝60°，AB＝DE＝8，
∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝70°，
故选：C．
5．（2分）下列整数中，与﹣1最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴＜，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∵3.52＝12.25，
∴最接近的整数是3，
∴﹣1最接近的整数是2，
故选：A．
6．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣2，1）
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，
∴A′（1，2），
∵将点A'向下平移4个单位，得到点A″，
∴点A″的坐标是：（1，﹣2）．
故选：C．
7．（2分）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点A'处，则∠A'EB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．40°
【解答】解：∵CE是AB上的中线，∠ACB＝90°，
∴EA＝EB＝EC，
∴∠ECA＝∠A＝50°，
∴∠CEA＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
由翻折的性质可知：∠A′EC＝∠CEA＝80°．
∴∠A'EB＝180°﹣2×80°＝20°．
故选：C．
8．（2分）已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2．当x＜1时，y1＞y2，则k的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．4
【解答】解：把x＝1代入y2＝x﹣2得，y＝﹣1，
把x＝1，y＝﹣1代入y1＝kx+1得﹣1＝k+1，解得k＝﹣2，
由一次函数y2＝x﹣2可知，y随x的增大而增大，
∵当x＜1时，y1＞y2，
∴﹣2≤k＜0或0＜k≤1
故选：B．
二．填空题（共10小题）
9．（2分）若x2﹣9＝0，则x＝ ±3 ．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x＝±3．
故答案为：±3．
10．（2分）南京市总面积6587.02平方公里．用四舍五入法取近似数，6587.02≈ 6.6×103 （精确到百位）．
【解答】解：6587.02≈6.6×103（精确到百位），
故答案为：6.6×103．
11．（2分）比较大小：﹣1 ＜ 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴＜＜，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
故答案为：＜．
12．（2分）如图，数轴上点C所表示的数是 ．
【解答】解：由题意可得：OA⊥AB，OA＝3，AB＝2，OC＝OB，
由勾股定理可得：．
故答案为：．
13．（2分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1 ＞ y2．（填“＞”“＜”“＝”）
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
14．（2分）在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点逆时针旋转90°，则点A'的坐标为 （，1） ．
【解答】解：如图，
∵B（2，0），
∴OB＝2，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝2，
∵△A′OB′是等边三角形，
∴OA′＝A′B′＝OB′＝2，
∵A′H⊥OB′，
∴OH＝HB′＝1，
∴A′H＝＝＝，
∴A′（﹣，1）．
故答案为：（﹣，1）．
15．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③AB∥CD；④△ABD≌△CBD．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】解：∵AD＝CD，AB＝CB，
∴D、B都在线段AC的垂直平分线上，即BD垂直平分AC，故①正确；
在△ABD和△CBD中，
，
∴∠ABD≌△CBD（SSS），故④正确；
∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，
即BD平分∠ADC，故②正确；
∵∠ADC和∠ABC不一定相等，
∴∠ABD和∠CDB不一定相等，
即AB和CD不一定平行，故③错误；
即正确的结论序号是①②④，
故答案为：①②④．
16．（2分）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 20 ．
【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，DE＝CD＝CE，
∵BC＝10，BE＝2
∴CE＝8，
∴CD＝DE＝4，BD＝6，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2＝20，
故答案为：20
17．（2分）如图，将边长为2的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，则FG＝ ．
【解答】解：如图，连接AE，过点G作GM⊥AD于M，则四边形ABGM中，MG＝AB，
由翻折变换的性质得GF⊥AE，
∵∠AFG+∠DAE＝90°，∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AFG＝∠AED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴MG＝AD，
∴△ADE≌△GMF（AAS），
∴GF＝AE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CD＝1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝，
∴GF的长为．
故答案为：．
18．（2分）已知点A（m，m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为 ．
【解答】解：如图，作点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，连接EF，过点O作OH⊥EF于H，
故答案为：
三．解答题（共8小题）
19．(6分)求下列各式中的x：
（1）2x2﹣1＝9；
（2）（x+1）3+27＝0．
【解答】解（1）2x2＝10，
x2＝5，
x＝±；
（2）（x+1）3＝﹣27，
x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
20．（8分）计算：
（1）++（﹣）0
（2）（﹣）2++
【解答】解：（1）原式＝8﹣3+1
＝6；
（2）原式＝2+2﹣10
＝﹣6．
21．（7分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD．
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证：△ABC≌△EDC；
（3）∠BAC的大小：__________．
【解答】（1）解：如图即为所求；
（2）证明：在四边形ABCD中，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠EDC+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠EDC，
在△ABC和△EDC中，
，
△ABC≌△EDC（SAS）；
（3）解：∵△ABC≌△EDC，
∴∠BAC＝∠E，AC＝CE，∠ACB＝∠DCE，
∵∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠E＝45°，
∴∠BAC＝45°．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；
（2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离．
【解答】解：（1）如图①，点P为所作；
（2）如图②，点Q为所作．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣3，0）与点B（0，4）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）点P为x轴上一动点，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，
把点A（﹣3，0）与点B（0，4）代入得：，
解得：，
此一次函数的表达式为：y＝x+4；
（2）∵点A（﹣3，0），点B（0，4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
当PA＝AB时，P的坐标为（﹣8，0）或（2，0）；
当PB＝AB时，P的坐标为（3，0）；
当PA＝PB时，设P为（m，0），则（m+3）2＝m2+42，
解得m＝，
∴P的坐标为（，0）；
综上，P点的坐标为（﹣8，0）或（2，0）或（3，0）或（，0）．
24．（8分）已知关于x的一次函数y＝kx+2k（k为常数，k≠0）．
（1）不论k为何值，该函数图象都经过一个定点，这个定点的坐标为 （﹣2，0） ；
（2）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值．
【解答】解：（1）y＝kx+2k＝k（x+2），
可知当x＝﹣2时，y＝0，
即不论k为何值，该函数图象都经过一个定点（﹣2，0）；
故答案为：（﹣2，0）；
（2）当x＝0时，y＝2k．
由题意得 ．
解得．
25．（10分）用函数方法研究动点到定点的距离问题．
借助小明的研究经验，解决下列问题：
（1）写出动点P（x，0）到定点B（﹣2，0）的距离S的函数表达式，并求当x取何值时，S取最小值？
（2）设动点P（x，0）到两个定点M（1，0）、N（5，0）的距离和为y．写出y与x的函数表达式，结合函数图像，说出随着x增大，y怎样变化？
【解答】解：（1）S＝|x+2|；当x＝﹣2时，S的最小值为0．
（2）图象如图：
由题意得y＝|x﹣1|+|x﹣5|，根据绝对值的意义，
可转化为y＝
当x＜1时，y随x增大而减小；
当1≤x≤5时，y是一个固定的值；
当x＞5时，y随x增大而增大．
26．（10分）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”．
（1）请在图2两个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
（图2）
（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 72°或36°或45°或（）° ．
（3）如图3，△ABC中，∠C＝∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
【解答】解：（1）
（2）①设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图5，
当AD＝BD，BD＝BC时，
设∠A＝x°，则∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x°+2x°+2x°＝180°，
∴x＝36°，2x＝72°，
∴∠C＝72°，
②设△ABC是以AB、AC为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图6，
当AB＝BD，AD＝CD时，
设∠B＝y°，则∠C＝y°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝y°，
∴∠ADB＝2y°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝2y°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴y°+2y°+2y°＝180°，
∴y＝36°，
∴∠B＝∠C＝36°，
③设△ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”，如图7，
当AB＝BD，AD＝CD时，AD为BC的垂直平分线，
设∠B＝z°，则∠C＝z°，∠BAD＝z°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴z°+z°＝90°，
∴z＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
④设顶角为x，
可得，x+3x+3x＝180°
解得：x＝（）°，
∴∠C＝3x＝（）°，
故答案为：72°或36°或45°或（）°；
（3）∵要画出使得对∠B取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
∴不能使∠B等于具体的数值，
∴值需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可，
第一种画法：如图8，
∵∠C＝∠B，
设∠B＝2x°，∠C＝3x°，
当AD、DE将△ABC分成BD＝DE，DE＝AE，AD＝AC的三个等腰三角形时，
则有∠BED＝∠B＝2x°，∠ADC＝∠C＝3x°，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝4x°，
∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝x°，
∴∠EAD＝x°，
∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠EDA＝2：3：1，
即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立，
第二种画法：
∵∠C＝∠B，
设∠B＝2x°，∠C＝3x°，
当AD、DE将△ABC分成BE＝DE，AD＝AE，AD＝CD的三个等腰三角形时，
则∠EDB＝∠B＝2x°，∠DAC＝∠C＝3x°，
∵∠AED＝∠B+∠BDE＝4x°，
∴∠EDA＝4x°，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠AED＝2：3：4，即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立，
综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对∠B取值范围内的任意值都成立．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/13 20:10:29；用户：魏巍；邮箱：13814121350；学号：30085069在研究一个动点P（x，0）到定点A（1，0）的距离S时，小明发现：
S与x的函数关系为S＝|x﹣1|＝并画出图象如图：
在研究一个动点P（x，0）到定点A（1，0）的距离S时，小明发现：
S与x的函数关系为S＝|x﹣1|＝并画出图象如图：
1．下列各数中，是无理数的为（ ）
A．B．3.14C．D．﹣
2．下列各式成立的是（ ）
A．＝﹣2B．（ ）2＝2C．＝aD．＝3
3．一次函数y＝x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8
C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8
5．下列整数中，与﹣1最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣2，1）
7．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点A'处，则∠A'EB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．40°
8．已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2．当x＜1时，y1＞y2，则k的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．4
二．填空题（共10小题）
9．若x2﹣9＝0，则x＝ ．
10．南京市总面积6587.02平方公里．用四舍五入法取近似数，6587.02≈ （精确到百位）．
11．比较大小：﹣1 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．如图，数轴上点C所表示的数是 ．
13．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1 y2．（填“＞”“＜”“＝”）
14．在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点逆时针旋转90°，则点A'的坐标为 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③AB∥CD；④△ABD≌△CBD．其中所有正确结论的序号是 ．
16．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 ．
17．如图，将边长为2的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，则FG＝ ．
18．已知点A（m，m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为 ．
三．解答题（共8小题）
19．求下列各式中的x：
（1）2x2﹣1＝9；
（2）（x+1）3+27＝0．
20．计算：
（1）++（﹣）0
（2）（﹣）2++
21．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD．
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证：△ABC≌△EDC；
（3）求∠BAC的大小．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；
（2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣3，0）与点B（0，4）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）点P为x轴上一动点，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
24．已知关于x的一次函数y＝kx+2k（k为常数，k≠0）．
（1）不论k为何值，该函数图象都经过一个定点，这个定点的坐标为 ；
（2）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值；
25．用函数方法研究动点到定点的距离问题．
借助小明的研究经验，解决下列问题：
（1）写出动点P（x，0）到定点B（﹣2，0）的距离S的函数表达式，并求当x取何值时，S取最小值？
（2）设动点P（x，0）到两个定点M（1，0）、N（5，0）的距离和为y．写出y与x的函数表达式，结合函数图像，说出随着x增大，y怎样变化？
26．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”．
（1）请在图2两个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
（图2）
（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 ．
（3）如图3，△ABC中，∠C＝∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
2023年12月13日魏巍的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2分）下列各数中，是无理数的为（ ）
A．B．3.14C．D．﹣
【解答】解：A、是无限不循环小数，故A正确；
B、3.14是有限小数，故B错误；
C、＝2是有限小数，故C错误；
D、﹣是无限循环小数，故D错误；
故选：A．
2．（2分）下列各式成立的是（ ）
A．＝﹣2B．（ ）2＝2C．＝aD．＝3
【解答】解：A、＝2，故此选项错误；
B、（ ）2＝4，故此选项错误；
C、＝|a|，故此选项错误；
D、＝3，正确．
故选：D．
3．（2分）一次函数y＝x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵k＝1＞0，图象过一三象限，b＝2＞0，图象过第二象限，
∴直线y＝x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
4．（2分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8
C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝50°，∠A＝∠D＝60°，AB＝DE＝8，
∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝70°，
故选：C．
5．（2分）下列整数中，与﹣1最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴＜，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∵3.52＝12.25，
∴最接近的整数是3，
∴﹣1最接近的整数是2，
故选：A．
6．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣2，1）
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，
∴A′（1，2），
∵将点A'向下平移4个单位，得到点A″，
∴点A″的坐标是：（1，﹣2）．
故选：C．
7．（2分）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点A'处，则∠A'EB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．40°
【解答】解：∵CE是AB上的中线，∠ACB＝90°，
∴EA＝EB＝EC，
∴∠ECA＝∠A＝50°，
∴∠CEA＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
由翻折的性质可知：∠A′EC＝∠CEA＝80°．
∴∠A'EB＝180°﹣2×80°＝20°．
故选：C．
8．（2分）已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2．当x＜1时，y1＞y2，则k的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．4
【解答】解：把x＝1代入y2＝x﹣2得，y＝﹣1，
把x＝1，y＝﹣1代入y1＝kx+1得﹣1＝k+1，解得k＝﹣2，
由一次函数y2＝x﹣2可知，y随x的增大而增大，
∵当x＜1时，y1＞y2，
∴﹣2≤k＜0或0＜k≤1
故选：B．
二．填空题（共10小题）
9．（2分）若x2﹣9＝0，则x＝ ±3 ．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x＝±3．
故答案为：±3．
10．（2分）南京市总面积6587.02平方公里．用四舍五入法取近似数，6587.02≈ 6.6×103 （精确到百位）．
【解答】解：6587.02≈6.6×103（精确到百位），
故答案为：6.6×103．
11．（2分）比较大小：﹣1 ＜ 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴＜＜，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
故答案为：＜．
12．（2分）如图，数轴上点C所表示的数是 ．
【解答】解：由题意可得：OA⊥AB，OA＝3，AB＝2，OC＝OB，
由勾股定理可得：．
故答案为：．
13．（2分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1 ＞ y2．（填“＞”“＜”“＝”）
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
14．（2分）在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点逆时针旋转90°，则点A'的坐标为 （，1） ．
【解答】解：如图，
∵B（2，0），
∴OB＝2，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝2，
∵△A′OB′是等边三角形，
∴OA′＝A′B′＝OB′＝2，
∵A′H⊥OB′，
∴OH＝HB′＝1，
∴A′H＝＝＝，
∴A′（﹣，1）．
故答案为：（﹣，1）．
15．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③AB∥CD；④△ABD≌△CBD．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】解：∵AD＝CD，AB＝CB，
∴D、B都在线段AC的垂直平分线上，即BD垂直平分AC，故①正确；
在△ABD和△CBD中，
，
∴∠ABD≌△CBD（SSS），故④正确；
∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，
即BD平分∠ADC，故②正确；
∵∠ADC和∠ABC不一定相等，
∴∠ABD和∠CDB不一定相等，
即AB和CD不一定平行，故③错误；
即正确的结论序号是①②④，
故答案为：①②④．
16．（2分）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 20 ．
【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，DE＝CD＝CE，
∵BC＝10，BE＝2
∴CE＝8，
∴CD＝DE＝4，BD＝6，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2＝20，
故答案为：20
17．（2分）如图，将边长为2的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，则FG＝ ．
【解答】解：如图，连接AE，过点G作GM⊥AD于M，则四边形ABGM中，MG＝AB，
由翻折变换的性质得GF⊥AE，
∵∠AFG+∠DAE＝90°，∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AFG＝∠AED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴MG＝AD，
∴△ADE≌△GMF（AAS），
∴GF＝AE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CD＝1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝，
∴GF的长为．
故答案为：．
18．（2分）已知点A（m，m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB周长的最小值为 ．
【解答】解：如图，作点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，连接EF，过点O作OH⊥EF于H，
故答案为：
三．解答题（共8小题）
19．(6分)求下列各式中的x：
（1）2x2﹣1＝9；
（2）（x+1）3+27＝0．
【解答】解（1）2x2＝10，
x2＝5，
x＝±；
（2）（x+1）3＝﹣27，
x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
20．（8分）计算：
（1）++（﹣）0
（2）（﹣）2++
【解答】解：（1）原式＝8﹣3+1
＝6；
（2）原式＝2+2﹣10
＝﹣6．
21．（7分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD．
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证：△ABC≌△EDC；
（3）∠BAC的大小：__________．
【解答】（1）解：如图即为所求；
（2）证明：在四边形ABCD中，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠EDC+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠EDC，
在△ABC和△EDC中，
，
△ABC≌△EDC（SAS）；
（3）解：∵△ABC≌△EDC，
∴∠BAC＝∠E，AC＝CE，∠ACB＝∠DCE，
∵∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠E＝45°，
∴∠BAC＝45°．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；
（2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离．
【解答】解：（1）如图①，点P为所作；
（2）如图②，点Q为所作．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣3，0）与点B（0，4）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）点P为x轴上一动点，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，
把点A（﹣3，0）与点B（0，4）代入得：，
解得：，
此一次函数的表达式为：y＝x+4；
（2）∵点A（﹣3，0），点B（0，4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
当PA＝AB时，P的坐标为（﹣8，0）或（2，0）；
当PB＝AB时，P的坐标为（3，0）；
当PA＝PB时，设P为（m，0），则（m+3）2＝m2+42，
解得m＝，
∴P的坐标为（，0）；
综上，P点的坐标为（﹣8，0）或（2，0）或（3，0）或（，0）．
24．（8分）已知关于x的一次函数y＝kx+2k（k为常数，k≠0）．
（1）不论k为何值，该函数图象都经过一个定点，这个定点的坐标为 （﹣2，0） ；
（2）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值．
【解答】解：（1）y＝kx+2k＝k（x+2），
可知当x＝﹣2时，y＝0，
即不论k为何值，该函数图象都经过一个定点（﹣2，0）；
故答案为：（﹣2，0）；
（2）当x＝0时，y＝2k．
由题意得 ．
解得．
25．（10分）用函数方法研究动点到定点的距离问题．
借助小明的研究经验，解决下列问题：
（1）写出动点P（x，0）到定点B（﹣2，0）的距离S的函数表达式，并求当x取何值时，S取最小值？
（2）设动点P（x，0）到两个定点M（1，0）、N（5，0）的距离和为y．写出y与x的函数表达式，结合函数图像，说出随着x增大，y怎样变化？
【解答】解：（1）S＝|x+2|；当x＝﹣2时，S的最小值为0．
（2）图象如图：
由题意得y＝|x﹣1|+|x﹣5|，根据绝对值的意义，
可转化为y＝
当x＜1时，y随x增大而减小；
当1≤x≤5时，y是一个固定的值；
当x＞5时，y随x增大而增大．
26．（10分）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”．
（1）请在图2两个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
（图2）
（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 72°或36°或45°或（）° ．
（3）如图3，△ABC中，∠C＝∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
【解答】解：（1）
（2）①设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图5，
当AD＝BD，BD＝BC时，
设∠A＝x°，则∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x°+2x°+2x°＝180°，
∴x＝36°，2x＝72°，
∴∠C＝72°，
②设△ABC是以AB、AC为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图6，
当AB＝BD，AD＝CD时，
设∠B＝y°，则∠C＝y°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝y°，
∴∠ADB＝2y°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝2y°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴y°+2y°+2y°＝180°，
∴y＝36°，
∴∠B＝∠C＝36°，
③设△ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”，如图7，
当AB＝BD，AD＝CD时，AD为BC的垂直平分线，
设∠B＝z°，则∠C＝z°，∠BAD＝z°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴z°+z°＝90°，
∴z＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
④设顶角为x，
可得，x+3x+3x＝180°
解得：x＝（）°，
∴∠C＝3x＝（）°，
故答案为：72°或36°或45°或（）°；
（3）∵要画出使得对∠B取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
∴不能使∠B等于具体的数值，
∴值需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可，
第一种画法：如图8，
∵∠C＝∠B，
设∠B＝2x°，∠C＝3x°，
当AD、DE将△ABC分成BD＝DE，DE＝AE，AD＝AC的三个等腰三角形时，
则有∠BED＝∠B＝2x°，∠ADC＝∠C＝3x°，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝4x°，
∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝x°，
∴∠EAD＝x°，
∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠EDA＝2：3：1，
即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立，
第二种画法：
∵∠C＝∠B，
设∠B＝2x°，∠C＝3x°，
当AD、DE将△ABC分成BE＝DE，AD＝AE，AD＝CD的三个等腰三角形时，
则∠EDB＝∠B＝2x°，∠DAC＝∠C＝3x°，
∵∠AED＝∠B+∠BDE＝4x°，
∴∠EDA＝4x°，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠AED＝2：3：4，即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立，
综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对∠B取值范围内的任意值都成立．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/13 20:10:29；用户：魏巍；邮箱：13814121350；学号：30085069在研究一个动点P（x，0）到定点A（1，0）的距离S时，小明发现：
S与x的函数关系为S＝|x﹣1|＝并画出图象如图：
在研究一个动点P（x，0）到定点A（1，0）的距离S时，小明发现：
S与x的函数关系为S＝|x﹣1|＝并画出图象如图：
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