2023-2024学年江苏省南京市江宁区南京师范大学附属中学江宁分校九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市江宁区南京师范大学附属中学江宁分校九年级上册12月月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了已知，则下列变形不正确的是，方程x2﹣2x＝0的根是，若抛物线经过点，则的值是，二次函数，一组数据，抛物线的顶点坐标是 ，如图，等内容，欢迎下载使用。

1．已知，则下列变形不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x＝﹣2B．x1＝0，x2＝2C．x＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
3．若抛物线经过点，则的值是（ ）
A．7B．-1C．-2D．3
4．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25°B．20°C．30°D．35°
5．如图，在中，点D、E分别在边上，连接交于点O，且，，则的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
6．二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（每题2分，合计20分）
7．一组数据：8，，，5的极差为 ．
8．抛物线的顶点坐标是 ．
9．如图，．若，，则的长为 ．
10．四边形为的内接四边形，已知，则 度．
11．若方程的两根是x1，x2，则的值为 ．
12．一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ．
13．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 ．
14．已知二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表：
则m的值为 ．
15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．

16．已知二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，顶点为，对称轴与轴的交点为，点与点关于对称轴对称，直线与轴交于点，直线与直线交于点，当点在第一象限，且时， ．
三．解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为，求的值．
19．已知二次函数．
(1)直接写出抛物线与x轴交点坐标_____、_____；与y轴交点坐标_____；顶点坐标为_____；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围是_______．
20．求证：两角分别相等的两三角形相似
21．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
22．为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个20元．某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个．
(1)求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(3)若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，，为直线上一点．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作，使得经过点且与直线相切于点不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，随着点的运动，点始终在某个函数上运动，设的坐标为，请求出关于的函数表达式．
24．已知二次函数（m是常数）．
(1)若该函数图象与x轴有且仅有一个公共点，则m＝ ；
(2)求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上；
(3)是该二次函数图象上的点，当时，都有，则m的取值范围是 ．
25．如图，A、B是上的两个定点，P是上的动点（P不与A、B重合）
(1)若是的直径，则 °；
(2)若的半径是1，，求的度数；
(3)已知 是外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，P是上的动点（P不与A、B重合），直线分别交于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接，试探索与之间的数量关系．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A． ∵，∴，故该选项错误，符合题意；
B． ，故该选项正确，不符合题意；
C． ，则，故该选项正确，不符合题意；
D． ，故该选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键，如果，那么，反之亦然．
2．B
【分析】用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x(x﹣2)＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
3．A
【分析】把（-2，3）代入即可解得的值
【详解】把（-2，3）代入可得-2b+c=7,即=7
故选A.
【点睛】本题考查二次函数，解题关键在于熟练掌握计算法则.
4．C
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：为圆的切线，
，即，
，
，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
5．C
【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，则，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
故选：C．
6．C
【分析】根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．
【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，故abc＞0，因此①错误，
对称轴为x= -= - 1，即b=2a，也就是 2a-b=0，所以②正确,
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，即 a−b+c ＞0，所以③ 正确，
由图象可知,当x=-3时，y=9a-3b+c＜0，所以④ 正确，
所以正确的个数有3个，
故答案为：C
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围.
7．
【分析】根据极差的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴数据：8，，，5的极差为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求极差，熟知极差的定义是解题的关键：一组数据中的最大值与最小值的差为极差．
8．（-2，5）
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（-2，5）．
故答案为：（-2，5）
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
9．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解．
【详解】解：．
，
又，
，
解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键．
10．80
【分析】根据圆的内接四边形对角互补解答即可．
【详解】解：四边形为的内接四边形，
，
，
，
故答案为：80．
【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
11．5
【详解】解：根据题意得
所以
故答案为5．
12．1
【分析】先求出方程的解，根据勾股定理求出斜边边长，即可求解．
【详解】解：，
解得：，，
∴斜边边长为，
∴直角三角形内切圆的半径是．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，勾股定理，三角形的内切圆，熟练掌握一元一次方程的解法，勾股定理，三角形的内切圆的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据抛物线平移的规律即可得出解析式．
【详解】 抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位

故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的平移规律，即“左加右减，上加下减”，熟练掌握平移规律并能够应用数形结合的思想是解题的关键．
14．
【分析】先把和代入二次函数解析式求出b、c，确定二次函数解析式，然后计算出自变量为2的函数值即可．
【详解】解：把和代入得：
，解得，
∴二次函数为，
当时，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15．，
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．由关于x的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，，
∴联立二次函数及一次函数解析式可得，即，
∴关于x的方程的解为，；
故答案为，．
16．
【分析】根据题意得出，则，根据，则，作垂直于点，设，则，根据，进而即可求解．
【详解】解：∵
令，解得，则，
∵，
对称轴为直线，
∴，，
∵点与点关于对称轴对称，
∴，
∴，
，，
，
如图所示，
作垂直于点，设，则，
∴
∵
∴，
∵，，
∴
即，
解得：
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，正切的定义，得出是解题的关键．
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
，．
（2）解：
，
，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和配方法求解一元二次方程是解答本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）要证明一元二次方程有两个实数根，只要证明根的判别式即可．
（2）将方程已知根代入方程即可．
【详解】（1）解：由一元二次方程的根的判别式，
取任意实数时，，即，
无论取何值，方程总有两个实数根，
故命题得证．
（2）把代入方程，得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是要理解方程的根只与系数有关，（2）题也可以使用韦达定理解题．
19．(1)（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）
(2)见解析
(3)﹣1≤y＜3
【分析】（1）令二次函数=0，解方程即可求得与x轴的交点，令x=0，即可求得与y轴的交点，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据列表，描点连线的方法画出二次函数图象即可；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）令y=0，即
解得
抛物线与x轴的交点为：（1，0），（3，0），
令x=0，解得y=3
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1；
∴顶点坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）
（2）列表如下，
函数图象如图
（3）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：-1≤y＜3．
故答案是：-1≤y＜3．
【点睛】本题考查l 抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标画二次函数图象，二次函数的性质．
20．见解析
【分析】根据题意作图，在线段上截取，过点D作，交于点E．可证，再证即可．
【详解】已知：如图，在和中，
求证．
证明：在线段上截取，过点D作，交于点E．

则：．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．作辅助线借助全等证相似是解题关键．
21．（1)证明见解析；（2）3.
【分析】（1）根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，即可得出结论；
（2）与相似三角形的性质得出比例式，代入求出AB即可．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°﹣60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°﹣60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：∵△ABP∽△PCD，
∴,
∵CD=，CP=BC﹣BP=x﹣1，BP=1，
即，
解得：AB=3．
即△ABC的边长为3
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
22．(1)
(2)
(3)销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．
【分析】（1）根据“销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个”可得函数解析式；
（2）由（1）及题意可进行求解；
（3）由题意可得，然后根据（2）及二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：由（1）及题意得：
；
（3）解：由题意可得，
解得：，
由（2）可知，
∵，即开口向下，对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当x=30时，所获利润最大，最大利润为；
答：销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数中的销售问题是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先过点作直线的垂线，再作的垂直平分线交垂线于，半径为，则即为所求；
（2）根据题意，，， 在中，根据勾股定理得出，化简即可求解．
【详解】（1）解：如图所示先过点作直线的垂线，再作的垂直平分线交垂线于，半径为，则即为所求．
（2）如图2，过作轴垂线，垂足为，
∵经过点且与直线相切于点，为直线，，
设的坐标为，
∴，，，
在中，，
化简得．
【点睛】本题考查了确定圆心，垂径定理，切线的性质，勾股定理，函数关系式，坐标与图形，数形结合是解题的关键．
24．(1)
(2)见详解
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象与系数和方程的关系，
（1）函数图象与轴有有且仅有一个公共点即方程有两个不同的实数根，由判别式即可求得的值；
（2）先有二次函数解析式求出顶点坐标，再把，代入直线解析式即可得证；
（3）当时，都有，说明随的增大而减小，抛物线开口向下所以对称轴，要使恒成立，则，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：令，则，
，，，
，
函数图象与轴有两个不同的公共点，
方程有且仅有一个实数根，
，即，
解得：，
时该函数图象与轴有且仅有一个公共点；
（2）证明：二次函数，
得顶点坐标为，
将代入得：，
不论为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上；
（3）由（2）可知抛物线的顶点为，
当时，都有，
当时，随的增大而减小，
又抛物线开口向下，对称轴为直线，
得出，
当时，．
要使恒成立，
则，
，
解得：（舍去）或，
综上所述：或．
故答案为：或．
25．(1)
(2)或
(3)①，②，③，④
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角进行作答即可；
（2）如图1，连接，作于，由垂径定理得，由勾股定理得，则，，分当为优弧上一点时，由圆周角定理求解；当为劣弧上一点时，如图1，由圆内接四边形对互补求解即可；
（3）由在上的位置，分图2中四种情况，根据三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可；
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图1，连接，作于，
由题意知，，
∴，
由垂径定理得，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
当为优弧上一点时，如图1，
∵，
∴，
当为劣弧上一点时，如图1，
∴，
综上所述，的度数为或；
（3）解：由在上的位置，分图2中四种情况求解；
如图2①，由三角形外角的性质可得，；
如图2②，由三角形外角的性质可得，；
如图2③，由三角形内角和定理可得，；
如图2④，由三角形外角的性质可得，；
综上所述，与之间的数量关系为：①，②，③，④．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．对知识的熟练掌握并分类讨论是解题的关键．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
2
m
2
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
1
-1
0
3
…