2022-2023学年安徽省六安市金寨县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省六安市金寨县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.低碳环保理念深入人心，下列共享单车图标，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )
A. 5cm，6cm，10cmB. 三条线段之比为：4：3：2
C. 30cm，8cm，10cmD. a+1，a+2，a+3(a>0)
3.已知正比例函数y=(k2+3)x的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，且x1>x2，则下列不等式中一定成立的是( )
A. y1+y2>0B. y1+y2<0C. y1−y2>0D. y1−y2<0
4.如图，AC与BD交于点O，若OA=OD，要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是( )
A. OB=OCB. AB=DCC. ∠A=∠DD. ∠B=∠C
5.飞飞将一副三角板按图中方式叠放，则∠EFA等于( )
A. 10°B. 15°C. 30°D. 45°
6.点M(1−a,12−4a)在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则a=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
7.如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，则DE的长是( )
A. 2
B. 5
C. 7
D. 9
8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )
A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°
9.火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为100米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为1050米．
其中正确的结论是( )
A. ②③B. ①②C. ③④D. ①④
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.函数y= 2x+4x−1的自变量x的取值范围是______．
12.如果函数y=kx+b的图象平行于直线y=3x−1且在y轴上的截距为2，那么函数y=kx+b的解析式是______．
13.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形ABCD的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(−3,0)，则点C的坐标为______ ．
14.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP/​/AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS.其中正确结论的序号是______(请将所有正确结论的序号都填上)．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知y与x+2成正比例，当x=4时，y=−18．
(1)求y与x之间的函数关系式：
(2)判断点P(7,−25)是否是函数图象上的点，并说明理由．
16.(本小题8分)
如图是9×9的正方形网格，按下列要求操作并计算．
(1)在9×9的正方形网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(−2,4)，点B的坐标为(−4,3)．
(2)先作点A关于y轴的对称点A1，然后点A1再向下平移5个单位得到点C，画出三角形ABC，并写出点C的坐标．
(3)填空：△ABC的面积为______ ．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数．
18.(本小题8分)
如图，正比例函数y1的图象和一次函数y2的图象交于点A(−1,2)，点B为一次函数y2的图象与x轴负半轴交点，且△ABO的面积为3．
(1)求这两个函数的解析式．
(2)根据图象，写出当019.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
(1)若∠ABC=65°，则∠MNA的度数是______ ．
(2)连接NB，若AB=10cm，△NBC的周长是17cm，求BC的长．
20.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，AD//BC，且AD=BE．
(1)证明：△ABD≌△ECB；
(2)若BC=15，AD=6，请求出DE的长度．
21.(本小题12分)
如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD/​/BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
(1)求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE；
(2)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
22.(本小题12分)
某公司需要购买甲、乙两种商品共200件，甲、乙两种商品的价格分别为600元和800元，且要求乙种商品的件数不少于甲种商品件数的3倍.设购买甲种商品x件，购买两种商品共花费y元．
(1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围．
(2)试利用函数的性质说明，当购买多少件甲种商品时，所需要的费用最少？
23.(本小题14分)
在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点(不与点B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= ______ 度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形．故选项正确，符合题意；
B、不是轴对称图形．故选项错误，不合题意；
C、不是轴对称图形．故选项错误，不合题意；
D、不是轴对称图形．故选项错误，不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、5+6>10，可以构成三角形，不符合题意；
B、2+3>4，可以构成三角形，不符合题意；
C、8+10<30，不满足三边关系定理，因而不能构成三角形，符合题意；
D、(a+1)+(a+2)=2a+3>a+3，可以构成三角形，不符合题意；
故选：C．
根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可．
本题主要考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵y=(k2+3)x中，k2+3>0，
∴y随x增大而增大，
∵x1>x2，
∴y1>y2，
∴y1−y2>0，
故选：C．
根据一次函数图象上点的坐标特征，由k2+3>0得出y随x增大而增大解答即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，由k2+3>0得出y随x增大而增大是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是OB=OC，
在△AOB和△DOC中，
OA=OD∠AOB=∠DOCOB=OD，
∴△AOB≌△DOC(SAS)，
故选：A．
根据全等三角形的判定定理“SAS”求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∠EFA=∠BFD=∠CDE−∠B=60°−45°=15°，
故选：B．
利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角板各角的度数是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵点M(1−a,12−4a)在第二象限内，
∴1−a<012−4a>0，
解得：1∵纵、横坐标均为整数，
∴a=2，
故选：C．
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC=∠D=90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中，
AC=BCAE=CD，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL)，
∴CE=BD=2，CD=AE=7，
∴DE=CD−CE=7−2=5，
故选：B．
根据垂直的定义得到∠AEC=∠D=90°，证明Rt△AEC≌Rt△CDB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．
8.【答案】D
【解析】解：当高在三角形内部时(如图1)，顶角是60°；
当高在三角形外部时(如图2)，顶角是120°．
故选：D．
等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．
9.【答案】A
【解析】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
火车的长度是150米，故①错误；
整个火车都在隧道内的时间是：35−5−5=25秒，故③正确；
隧道长是：35×30−150=1050−150=900米，故④错误．
故正确的是：②③．
故选：A．
根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．
本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
10.【答案】D
【解析】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，
在△AQP和△AQP′中，
AP=AP′∠QAP=∠QAP′AQ=AQ，
∴△AQP≌△AQP′(SAS)，
∴PQ=QP′，
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，
∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，∠BAC=30°，
∴BC=12AB=7，
∴PQ+BQ的最小值是7，
故选：D．
作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，证明△AQP≌△AQP′(SAS)，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．
11.【答案】x≥−2且x≠1
【解析】解：根据题意得，2x+4≥0且x−1≠0，
解得x≥−2且x≠1．
故答案为：x≥−2且x≠1．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
12.【答案】y=3x+2
【解析】【分析】
本题考查了两条直线的平行问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
利用两直线平行得到k的值，利用在y轴上的截距的意义得到b的值，从而可确定函数y=kx+b的解析式．
【解答】
解：∵函数y=kx+b的图象平行于直线y=3x−1且在y轴上的截距为2，
∴k=3，b=2，
∴函数y=kx+b的解析式为y=3x+2．
故答案为y=3x+2．
13.【答案】(−5,3)
【解析】解：作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°，BC=AB，
∴∠EBC=∠OAB=90°−∠OBA，
在△BEC和△AOB中，
∠BEC=∠AOB∠EBC=∠OABBC=AB，
∴△BEC≌△AOB(AAS)，
∵A(0,2)，B(−3,0)，
∴EB=OA=2，EC=OB=3，
∴OE=OB+EB=5，
∴C(−5,3)，
故答案为：(−5,3)．
作CE⊥x轴于点E，则∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°，所以∠EBC=∠OAB=90°−∠OBA，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△BEC≌△AOB，因为A(0,2)，B(−3,0)，所以EB=OA=2，EC=OB=3，可得点C的坐标．
此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14.【答案】①②④
【解析】解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2−PR2，AS2=AP2−PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP/​/AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误；
④如图，连接RS，与AP交于点D．
在△ARD和△ASD中，
AR=AS∠RAP=∠SAPAD=AD，
所以△ARD≌△ASD．
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
所以AP垂直平分RS，故④正确．
故答案为：①②④．
根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP//AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断△BRP≌△QSP；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，则RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15.【答案】解：(1)设y=k(x+2)，
把x=4，y=−18代入得−18=k(4+2)，
解得k=−3，
∴y=−3(x+2)=−3x−6，
即y与x之间的函数关系式为y=−3x−6；
(2)点P(7,−25)不是函数图象上的点．
理由如下：
当x=7时，y=−3×7−6=−27≠−25，
∴点P(7,−25)不是函数图象上的点．
【解析】(1)利用正比例函数的定义设y=k(x+2)，然后把已知对应的值代入求出k，从而得到y与x之间的函数关系式；
(2)通过一次函数图象上的坐标特征进行判断．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
16.【答案】7
【解析】解：(1)如图，即为所求；
(2)如图，即为所求；
其中C(2,−1)；
(3)△ABC的面积=5×6−12×2×1−12×4×5−12×4×6=7．
(1)根据点A的坐标确定平面直角坐标系即可；
(2)利用平移变换，轴对称变换的性质分别作出A1，C和△ABC即可；
(3)三角形的面积=长方形形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
17.【答案】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x，
∵∠BAC=60°，∠2+∠4+∠BAC=180°，
∴∠2+∠4=180°−60°=120°，即x+2x=120°，解得x=40°，
∴∠DAC=∠BAC−∠1=60°−40°=20°．
【解析】设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x，再由三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)设正比例函数y1=kx，
∵正比例函数y1的图象过点A(−1,2)，
∴2=k×(−1)，得k=−2，
即正比例函数y1=−2x，
设一次函数y2=ax+b，
∵一次函数y2的图象过点A(−1,2)，点B为一次函数y2的图象与x轴负半轴交点，且△ABO的面积为3，
∴OB×22=3，得OB=3，
∴点B的坐标为(−3,0)，
∴−a+b=2−3a+b=0，得a=1b=3，
即一次函数y2=x+3；
(2)由图象可得，
当0−1．
【解析】(1)根据题意，可以求得点B的坐标，从而可以得到这两个函数的解析式；
(2)根据题意和函数图象可以直接写出当0本题考查两条直线相交或平行问题、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
19.【答案】40°
【解析】解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=50°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∴∠ABN=∠A=50°，
∴∠ANB=80°，
∴∠MNA=40°；
(2)∵AN=BN，
∴BN+CN=AN+CN=AC，
∵AB=AC=10cm，
∴BN+CN=10cm，
∵△NBC的周长是17cm．
∴BC=17−10=7cm．
(1)根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，求得∠A=50°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN=BN，进而得出∠ABN=∠A=50°，根据三角形内角和定理就可得出∠ANB=80°，根据等腰三角形三线合一就可求得∠MNA=40°；
(2)根据△NBC的周长=BN+CN+BC=AN+NC+BC=AC+BC就可求得．
本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及轴对称的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
∠A=∠BECAD=EB∠ADB=∠EBC，
∴△ABD≌△ECB(ASA)．
(2)解：△ABD≌△ECB，
∴DB=BC=15，AD=EB=6，
∴DE=DB−EB=15−6=9，
∴DE的长度是9．
【解析】(1)由AD//BC，得∠ADB=∠EBC，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≌△ECB；
(2)由△ABD≌△ECB，得DB=BC=15，AD=EB=6，即可由DE=DB−EB求得DE的长度为9．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明∠ADB=∠EBC是解题的关键．
21.【答案】解：(1)①∵AD//BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
②∵AD//BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
(2)∠BDC=12∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，
∴∠BDC+12∠ABC=12∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+12∠ABC=12∠ABC+12∠BAC，
∴∠BDC=12∠BAC．
【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
(1)①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
(2)根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+12∠ABC=12∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+12∠ABC=12∠ABC+12∠BAC，即可得到结论．
22.【答案】解：(1)设甲商品有x件，则乙商品则有(200−x)件，
根据题意得：200−x≥3xx>0，
解得：0则y与x的函数关系式是：y=600x+800(200−x)=−200x+160000(0(2)∵k=−200<0，
∴一次函数y随x的增大而减少，
∴当x=50时，y最小=−200×50+160000=150000(元)．
答：购买50件甲种商品时，所需要的费用最少．
【解析】(1)设甲商品有x件，则乙商品则有(200−x)件，根据甲、乙两种商品共200件和乙种商品的件数不少于甲种商品件数的3倍，列出不等式组，求出x的取值范围，再根据甲、乙两种商品的价格列出一次函数关系式即可；
(2)根据(1)得出一次函数y随x的增大而减少，即可得出当x=50时，所需要的费用最少．
本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组应用，关键是根据商品的价格列出函数关系式，再根据题意求出自变量的取值范围．
23.【答案】解：(1)90
(2)①∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°−α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°−α=β，
∴α+β=180°；
②作出图形，
∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，
∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
【解析】解：(1)∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为90．
(2)见答案
(1)易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；
(2)易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°−α即可解题；
(3)易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．