新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点3三角形中的证明问题教师用书

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(1)证明：A＝2B；
(2)若b＝1，求a＋c的取值范围．
【解析】 (1)证明：在△ABC中，由b＝eq \f(c,1＋2cs A)得c＝b＋2bcs A，
由正弦定理得：sin C＝sin B＋2sin Bcs A，
又因为A＝π－(B＋C)，
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，
所以sin Acs B＋cs Asin B＝sin B＋2sin Bcs A，即sin Acs B－cs Asin B＝sin B，
所以sin(A－B)＝sin B，
因为0所以0因为B＋(A－B)＝A<π，
所以B＝A－B，即A＝2B，得证．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0所以eq \f(1,2)所以a＋c＝eq \f(sin A＋sin C,sin B)＝eq \f(sin 2B＋sin C,sin B)＝eq \f(sin 2B＋sin 3B,sin B)
＝eq \f(2sin Bcs B＋4cs2Bsin B－sin B,sin B)＝4cs2B＋2cs B－1＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs B＋\f(1,4)))2－eq \f(5,4)，
因为eq \f(1,2)所以1<4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs B＋\f(1,4)))2－eq \f(5,4)<5，即1方法技巧·精提炼
三角形中的证明问题分两类：一是角的关系，可以利用三角恒等变换、转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角；二是边的关系，可利用正余弦定理转化边的关系，得到角的关系，再利用三角恒等变换从复杂的一边入手，证明两边相等，也可以利用比较法，左边减右边等于0.
加固训练·促提高
(2023·福建模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C．
(1)证明：3c2＋3b2＝5a2；
(2)若a＝eq \r(15)，当A取最大值时，求△ABC的面积．
【解析】 (1)证明：∵tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C，
∴eq \f(sin A,cs A)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin B,cs B)＋\f(sin C,cs C)))＝3×eq \f(sin Bsin C,cs Bcs C)，
∴sin A(sin Bcs C＋cs Bsin C)
＝3sin Bsin Ccs A，
∴sin(B＋C)sin A＝3sin Bsin Ccs A，
又sin(B＋C)＝sin A，∴sin2A＝3sin Bsin Ccs A，
由正弦定理可得a2＝3bccs A，
由余弦定理可得a2＝3bccs A＝eq \f(3,2)(b2＋c2－a2)，
整理得3b2＋3c2＝5a2.
(2)由(1)可得：3b2＋3c2＝5a2，即a2＝eq \f(3,5)(b2＋c2)，
则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－\f(3,5)b2＋c2,2bc)＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥eq \f(2,5)，
当且仅当eq \f(c,b)＝eq \f(b,c)，即b＝c时，∠A取最大值，
此时3b2＋3c2＝6b2＝5a2＝75，则b2＝eq \f(25,2)，
∵cs A＝eq \f(2,5)>0，则A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，可得sin A＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2)＝eq \f(\r(21),5)，
故S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)b2×eq \f(\r(21),5)＝eq \f(1,2)×eq \f(25,2)×eq \f(\r(21),5)＝eq \f(5\r(21),4).