新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形核心考点3恒等变换与解三角形的综合问题教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形核心考点3恒等变换与解三角形的综合问题教师用书，共3页。
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a＋c)(sin A－sin C)＋bsin B＝asin B，b＋2a＝4，eq \(CA,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))－2eq \(CB,\s\up6(→))，则线段CD长度的最小值为( D )
A．2 B．eq \f(2\r(2),3)
C．3 D．eq \f(2\r(3),3)
【解析】 由(a＋c)(sin A－sin C)＋bsin B＝asin B及正弦定理，得(a＋c)(a－c)＋b2＝ab，即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3).由eq \(CA,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))－2eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，两边平方，得eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,9)eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(CB,\s\up6(→))2，即eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,9)b2＋eq \f(4,9)a2＋eq \f(4,9)abcs C＝eq \f(1,9)b2＋eq \f(4,9)a2＋eq \f(2,9)ab＝eq \f(1,9)(b＋2a)2－eq \f(2,9)ab≥eq \f(1,9)(b＋2a)2－eq \f(1,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋2a,2)))2＝eq \f(1,12)(b＋2a)2，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝2a，,b＋2a＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2，))时取等号，即eq \(CD,\s\up6(→))2≥eq \f(1,12)(b＋2a)2＝eq \f(4,3)，∴线段CD长度的最小值为eq \f(2\r(3),3).故选D．
2. (2023·广东模拟)在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，且eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \r(3)，则△ABC的面积是_6__.
【解析】 由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \r(3)，得到ac·cs eq \f(π,3)＝4eq \r(3)，解得：ac＝8eq \r(3)，则S△ABC＝eq \f(1,2)acsin eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)·8eq \r(3)·eq \f(\r(3),2)＝6.故答案为6.
角度2：数列与解三角形相结合问题
3. (2023·鹰潭二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，C＝2(A＋B)，则eq \f(b＋c,a)＝( B )
A．eq \f(7,5) B．4
C．eq \f(5,3) D．eq \f(7,4)
【解析】 由C＝2(A＋B)，A＋B＋C＝π，得C＝eq \f(2π,3)，由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c，由余弦定理，得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，即－eq \f(1,2)＝eq \f(a2＋b2－2b－a2,2ab)，整理，得5ab－3b2＝0，由b≠0得5a－3b＝0，由a≠0得eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，则a＝3k，b＝5k，c＝2b－a＝7k，所以eq \f(b＋c,a)＝eq \f(12k,3k)＝4.故选B．
4. (2023·南昌二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，b2，c2成等差数列，且△ABC的面积为eq \f(b2,3)，则tan B＝( C )
A．eq \f(1,2) B．2
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,4)
【解析】 若a2，b2，c2成等差数列，则a2＋c2＝2b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B，∴accs B＝eq \f(b2,2)①，又△ABC的面积为eq \f(b2,3)，∴S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(b2,3)，∴acsin B＝eq \f(2b2,3)②，由②÷①得tan B＝eq \f(4,3).故选C．
方法技巧·精提炼
1．解三角形与向量的综合题时，一般通过向量的运算把向量问题转化为三角函数或解三角形问题，再利用三角变换或正(余)弦定理综合解决．
2．处理解三角形和数列问题，要充分利用三角形中的边角关系及正、余弦定理．
加固训练·促提高
1. (2023·武汉期中)如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝eq \f(π,3)，若eq \f(cs B,sin C)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(cs C,sin B)eq \(AC,\s\up6(→))＝2meq \(AO,\s\up6(→))，则m＝( C )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2) D．1
【解析】 因为O为△ABC外接圆的圆心，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AO,\s\up6(→))|cs∠BAO＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2)c2，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|·|eq \(AO,\s\up6(→))|cs∠CAO＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2)b2，由正弦定理知，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin∠BAC)＝2R(其中R为外接圆半径)，所以b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，因为eq \f(cs B,sin C)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(cs C,sin B)eq \(AC,\s\up6(→))＝2meq \(AO,\s\up6(→))，所以eq \f(cs B,sin C)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(cs C,sin B)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝2meq \(AO,\s\up6(→))2，所以eq \f(1,2)·eq \f(c,sin C)·ccs B＋eq \f(1,2)·eq \f(b,sin B)·bcs C＝2mR2，即eq \f(1,2)·2R(ccs B＋bcs C)＝2mR2，又b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以2Rsin Ccs B＋2Rsin Bcs C＝2mR，即sin(B＋C)＝sin A＝m，所以m＝sin A＝eq \f(\r(3),2).故选C．
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(1,tan A)，eq \f(1,tan B)，eq \f(1,tan C)依次成等差数列，则( C )
A．a，b，c依次成等差数列
B．eq \r(a)，eq \r(b)，eq \r(c)依次成等差数列
C．a2，b2，c2依次成等差数列
D．a3，b3，c3依次成等差数列
【解析】 △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(1,tan A)，eq \f(1,tan B)，eq \f(1,tan C)依次成等差数列，则：eq \f(2,tan B)＝eq \f(1,tan A)＋eq \f(1,tan C)，利用tan α＝eq \f(sin α,cs α)，整理得：eq \f(2cs B,sin B)＝eq \f(cs C,sin C)＋eq \f(cs A,sin A)，利用正弦和余弦定理得：2·eq \f(a2＋c2－b2,2abc)＝eq \f(a2＋b2－c2,2abc)＋eq \f(b2＋c2－a2,2abc)，整理得：2b2＝a2＋c2，即：a2，b2，c2依次成等差数列．故选C．