举一反三：六年级数学上册第六单元《百分数（一）》（2）-期末重难点题型（原卷版+解析版）人教版

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【题型12 分量÷对应分率=单位“1”（工作量问题）】
【例12】小明打一份稿件，第一天完成全部工作量的15％，第二天完成了25页，还剩下总工作量的60％没有完成，这份稿件有多少页？
解：
25÷（1-60％-15％）
=25÷（40％-15％）
=25÷25％
=100（页）。
答：这份稿件有100页
【变式12-1】（1）一个打字员打一篇稿件，第一天打了总数的，第二天打了总数的40%，第二天比第一天多打18页。这篇稿件有多少页？
解：
18÷（40%- ）
=18÷15%
=120（页）。
答：这篇稿件有120页。
点拨：第一天打了总数的，第二天打了总数的40%，根据分数减法的意义，第二天比第一天多打了全部的（40%-），又第二天比第一天多打18页，根据分数除法的意义，这篇文章共有18÷（40%-）页．
（2）一份稿件，甲独打印10天完成，乙单独打印5天只能完成这份稿件的，现在两人合作，几天可打印完这份稿件的50%？
解：
50%÷（+÷5）
=÷（+）
=÷
=3（天）。
答：两人合作，3天可打印完这份稿件。
【变式12-2】有一桶油，第一次取出全桶油的25%，第二次比第一次多取5千克，还剩20千克。这桶油原有多少千克？
解：
（20+5）÷（1-25%-25%）
=25÷0.5
=50（千克）。
答：这桶油原有50千克。
点拨：
一桶油总重：单位“1”，第一次取出：25%，第二次取出：25%+5千克，剩余：20千克。
找到分量对应的分率，利用分量÷对应的分率=单位“1”，进行解答。
【变式12-3】六年级三个班级同学植树，六①班植树棵数占总棵数的40%，六②班和六③班植树棵数的比是2：3，六①班比六②班多植树48棵，六③班植树多少棵？
解：
设总棵数为单位“1”，
则六②班和六③班植树棵数总数为：
1-40%=60%，
所以，六②班：
60%÷（2+3）×2=0.24，
六③班:
60%÷（2+3）×3=0.36，
六①：六②班:六③班
=0.4：0.24：0.36
=10：6：9。
六③班植树:
48÷（10-6）×9
=108（棵）。
答：六③班植树108棵．
点拨：把总棵数看成单位“1”，六①班植树棵数占总棵数的40%，六②班和六③班植树的总棵数就占60%；六①班、六②班和六③班植树棵数的比是10：6：9，求出六①班比六②班多植总棵数的几份对应的数量是48棵，由此用除法求出总棵数，进而求出六③班植树的棵数。
【题型13 百分数的应用（反比关系问题）】
【例13】走一段路，爸爸用15分，明明用12分，明明的速度比爸爸快（ C ）%。
A.125 B.80 C.25 D.20
解：
（ - ）÷
=25%。
故选：C。
点拨：本题考查的主要内容是路程、时间和速度的应用问题；根据“一个数比另一个数多或少几分之几”的应用题进行分析；
【解题方法提示】
把这段路的长度看作单位“1”，则明明每小时行全程，爸爸每小时行全程的；那么明明的速度比爸爸的速度快：（ - ）÷，解决问题。
提示：本题出错率极高。往往误写算式为：（15-12）÷15。
【变式13-1】电视台派人前往现场采访，如果速度提高25%，可比原定时间提前6分钟到达；如果每小时少行10千米，则将多用的时间才能到达，那么电视台与采访现场相距多少千米？
解：
路程一定，速度与时间成反比关系，
由“如果每小时少行10千米，则将多用的时间才能到达”，知，
原来速度：每小时少行10千米的速度比：
（1+）：1
=4：3，
原来速度：
10÷（4-3）×4
=40（千米/时），
由“如果速度提高25%，可比原定时间提前6分钟到达”，知，
原来时间：速度提高25%后的时间：
（1+25%）：1
=5：4，
原来用时：
6÷60÷（5-4）×5
=0.5（小时），
电视台与采访现场相距：
40×0.5
=20（千米）。
答：相距20千米。
点拨：认真体会两个条件的同价应用技巧。
【变式13-2】
相同一段路程，轿车3小时行完，客车4小时行完，客车的速度比轿车的速度慢（ ）。
A.75% B.33.3% C.25%
解：
同一路程，轿车要3小时，则每小时行总路程，
客车要4小时，则每小时行总路程。
客车的速度比轿车的速度慢：
（ - ）÷
=÷
=25%。
故答案为：C.
【变式13-3】一件工作，计划5天完成，实际只用4天完成，工作效率提高了（ ）%．
解：
（ - ）
= ÷
=25%。
答：工作效率提高了25%，
【题型14 百分数的应用（寻找不变量，统一单位“1”）】
【例14】某校原有科技书、文艺书共6300本，其中文艺书占20%。后来又买进一些文艺书，这时文艺书占总数的30%，又买来文艺书多少本？
解：
科技书：
6300×（1-20%）
=6300×80%
=5040（本），
后来，文艺书、科技书共：
5040÷（1﹣30%）
=5040÷70%
=7200（本），
买进的文艺书：
7200-6300
=900（本）。
答：后来又买进900本文艺书。
点拨：原来文艺书占6300本的20%，则科技书点（1﹣20%），利用已知单位“1”用乘法，求出科技书本数；这些科技书，占后来总本数的（1﹣30%），利用未知单位“1”用除法，求出后来的总本数；后来的总本数减去原来的总本数就是后来买进的文艺书的本数。
【变式14-1】（1）养兔场养的黑兔和白兔共64只，其中黑兔占25%，后来又买进一些黑兔，现在黑兔数量占黑白兔总数的40%，又买进多少只黑兔？
解：
64×（1-25%）÷（1-40%）-64
=16（只）。
答：又买进16只黑兔。
点拨：买进一些黑兔后，白兔的数量没有发生变化。白兔的只数占原来黑兔和白兔总只数的（1-25%），求白兔的只数用乘法。
（2）一个装有彩球的口袋，红球占总数量的，后来又放进18个红球，这时红球占现在总量的，现在共有彩球多少个？
解：
开始，红球占其他彩球的：，
后来，红球占其他彩球的：。
其他彩球：
18÷（2-）
=18÷
=14（个）。
红球：
2×14=28（个），
共：14+28=42（个）。
答：现有彩球42个。
点拨：利用不变量其他彩球的个数，进行解答。
【变式14-2】一棵桃树上有若干个桃子，一只猴子偷吃桃子。第一天偷吃这棵桃树上桃子的；第二天偷吃了剩下的，第三天偷吃了剩下的，…，第九天偷吃了剩下的，这时，树上还剩10个桃子。原来桃树上有多少个桃子？
解：
10÷[（1-）×（1-）×（1-）×…（1-）]
=10÷[××××××××]
=10÷
=10×10
=100（个）。
答：原来桃树上有100个桃子。
点拨：10个桃子对应[（1-）×（1-）×（1-）×…（1-）]，利用未知单位“1”用除法，分量÷对应分率=单位“1”，求解最后结果。
【变式14-3】学校里买回四种图书，科技书的本数是文艺书的本数的（或改成75%），连环画的本数是其余三种书的本数的，史地书的本数是其余三种书的本数的（或改成25%），史地书比文艺少80本。买回的四种书共多少本？
解：文艺书占总数的：
（1 - - ）÷（1 + ）
=（1- - ）÷
=×
=，
四种书共有：
80÷（ - ）
=80÷
=80×
=700（本）。
答：买回的四种书共有700本。
点拨：四种书的总数是单位“1”，先将题中的分数根据分数的意义进行转化，连环画是其余三种书的，则连环画占总数的；史地书是其余三种书的，则史地书占总数的；那么科技书和文艺书共占总数的1- - =；
根据科技书是文艺书的，求出文艺书占总数的× = ；
根据“已知一个数的几分之几，求这个数”，用比较量÷对应分率=单位“1”的量，求出四种书共有：80÷（ - ），计算即可。
【题型15 百分数的应用（盐水或糖水浓度问题）】
【例15】一种盐水的含盐率是10%，盐与水的比是（ ）
A. 1：10
B. 1：11
C. 1：9
解：
含盐率10%，
表示：盐10，盐水100，盐100-10=90。
盐：水
=10：90
=1：9。
答：盐与水的比是1：9;
故选C．
点拨：根据“盐水的含盐率是10%，”把盐看做10份，盐水是100份，则水是（100-10）份，盐和盐水的比即可求出．
【变式15-1】甲容器盛有4千克含盐15%的盐水，乙容器盛有6千克含盐10%的盐水．把两个容器的盐水混合在一起，含盐率是多少？
解：
甲容器含盐：
4×15%=4×0.15=0.6（千克），
乙容器含盐：
6×10%=6×0.1=0.6（千克），
混合在一起共含盐：
0.6+0.6=1.2（千克），
混合在一起总重量：
4+6=10（千克），
混合在一起含盐率：
1.2÷10×100%
=0.12×100%
=12%。
答：含盐率是12%。
【变式15-2】下面四杯糖水中，最甜的一杯是（ D ）。
A.糖和水的比是1:9 B.20克糖配成200克糖水
C.200克水中加入20克糖 D.含糖率12%
解：
A：1÷（1+9）×100%=10%
B：20÷200×100%=10%
C：20÷（20+200）≈9%
D：12%
故D中的糖水，所以糖水最甜。
点拨：最甜，就是含糖率最高。
【变式15-3】有一杯300g的糖水，含糖率是60%。明明觉得这杯糖水太甜了，想再加一些水变成含糖率是40%的糖水，需要加水多少克？（说明：含糖率指糖占糖水的百分之几）
解：
300×60%=180（克），
180÷40%-300=150（克），
答：需要加水150克。
点拨：首先，根据求一个数的百分之几是多少用乘法计算，用300g乘以60%即可得到这杯水含多少g糖；然后，用糖的克数除以最终的含糖率40%可得最终糖水的总量，进而得到加水量。
【题型16 百分数的应用（盈亏问题）】
【例16】一件商品的进价加上40元是定价，一位顾客买这种商品打九折（按定价的90%出售），商场还赚12元，这种商品的进价是多少钱？
解法1：
定价：
（40-12）÷（1-90%）
=28÷10%
=280（元）。
进价：280-40=240（元）。
答：这种商品的进价是240元。
点拨：盈亏问题中的“盈、盈”型，（大盈-小盈）÷分配差=定价。
如果不打折（即按定价100%出售），那么盈利40元；打九折（按定价90%），盈利12元。按盈盈问题公式，求出定价，定价减40元，得进价。
解法2：
（40×90%-12）÷（1-90%）
=24÷10%
=240（元）。
答：这种商品的进价是240元。
点拨：分量÷对应分率=单位“1”。公式简单，解答过程不容易思考与理解。
解法3：
设进价为x元，则
（x+4）×90%-x=12，
x=240。
答：这种商品的进价是240元。
点拨：方程法，小学阶段列方程简单，解方程难。
综上，利用盈亏问题解答问题，比较简单。
【变式16-1】
有一种商品如果按现价降低10%出售，盈利200元；如果按现价降低20%出售后，则亏损220元。这种商品的进价是多少元？
解：
现价：
（200+220）÷[（1-10%）-（1-20%）]
=420÷0.1
=4200（元）；
进价：
4200×（1-20%）+220
=3360+220
=3580（元）。
答：这种商品的进价是3580元。
点拨：盈亏问题中的“盈、亏”型，（盈+亏）÷分配差=现价。分配差为[（1-10%）-（1-20%）]，而不是（20%-10%），虽然值相等，但含义不同。
【变式16-2】百货商场出售一台洗衣机，如果按定价的90%出售，商场赚80元；如果按定价的75%出售，商场赔70元。这台洗衣机的定价是多少元？
解：
（80+70）÷（90%-75%）
=150÷15%
=1000（元）。
答：这台洗衣机的定价是1000元。
点拨：思考，如何求进价？
【变式16-3】苏宁电器商场处理一批TCL电视机，如果打七五折销售，就要亏损750元；如果降价15%，还可盈利350元，这种TCL电视机进价是多少元？
解：
定价：
（750+350）÷[（1-15%）-75%]
=1100÷10%
=11000（元），
进价：
11000×75%+750
=8250+750
=9000（元）。
答：这种TCL电视机进价是9000元。
点拨：盈亏问题中的“盈、亏”型，（盈+亏）÷分配差=定价。注意，分配差为[（1-15%）-75%]，求出定价后，再求进价。
【题型17 百分数的应用（一倍量问题）】
【例17】的分子、分母同时加上一个什么数后变成60%？
解：
60%=，
（15-7）÷（5-3）=4，
同时加的数为：
3×4-7=5，
或 5×4-15=5。
答：分子、分母同时加的这个数为5。
点拨：的分子、分母同时加上一个数后，差仍然是15-7=8，60%=的分母、分子差为5-3=2，8÷2得到一份为4，所在约分前的分子为：3×4=12，减去7，得加的这个数为5。
【变式17-1】把一个数去掉百分号，就比原来增加49.5，这个数原来是多少？
解法1：
49.5÷（100-1）
=0.5。
答：这个数原来是0.5。
点拨：把一个数的百分号去掉后，扩大到原来的100倍，根据差倍问题公式，求解答案。
附：差倍问题公式 较小数=差÷（倍数-1） 较大数=较小数×倍数
解法2：
设这个数原来是x，去掉百分号为100x，
100x-x=49.5
99x=49.5
x=0.5。
答：这个数原来是0.5。
【变式17-1】甲、乙两桶油，甲桶中的油相当于乙桶的50%，从乙桶倒3升油给甲桶，此时，甲桶中的油相当于乙桶的80%，那么原来甲桶中有油多少升？
解：
原来甲桶油相当于两桶油和的：
50%÷（1+50%）=，
后来甲桶油相当于两桶油和的：
80%÷（1+80%）=，
两桶油的质量：
3÷（）=27（升）
原来甲桶油重：27×=9（升）。
答：原来甲桶油有9升。
【变式17-3】同学们从学校往景点走，这段路分为上坡、平路、下坡三段，各占全程的10%、20%、30%。走这三段路所用时间比是4 : 5 :
6。已知上坡速度是每小时3千米，路程全长12千米，问：到达目的地一共要多少小时？
解：
上坡、平路、下坡三段路程之比：
10%：20%：30=1：2：3，
上坡：
12÷（1+2+3）×1
=2（千米）。
上坡路用时：
2÷3=（小时），
全程用时：
÷4×（4+5+6）
=××15
=2.5（小时）。
答：到达目的地一共要2.5小时。
点拨：上坡、平路、下坡三段各段路程的长度比是1 : 2 : 3，不妨把上坡、平路、下坡三段路程分别看作是1份，2份，3份。那么一共全长是（1+2+3）份，对应总长度12千米，所以每1份长度是： 12÷（1+2+3）=2（千米）。 则上坡的路程长2千米。因为上坡速度是每小时3千米，可求出上坡的时间，再根据走这三段路所用时间比是4 : 5 : 6，求用的总时间。
【题型18 百分数的应用（容斥原理）】
【例18】五年级同学订阅《中国少年报》和《作文辅导报》这两种报纸，订阅报纸的人数占年级总人数的40%。订阅《中国少年报》的人数占订阅人数的40%，订阅《作文辅导报》的人数占订阅人数的（或改成75%），两种报纸都订阅的有15人。五年级共有多少人？
解：
=75%，
15÷（75%+40%-1）÷40%
=15÷15%÷40%
=250（人）。
答：五年级有250人．
点拨：根据容斥原理求出15人对应的分率，未知单位“1”用除法，利用分量÷对应的分率=单位“1”，求出订报纸人数，再用订阅报纸的人数除以40%就是全年级的人数。
【变式18-1】某电视机厂计划五月份生产5000台电视机，实际上半月生产了计划的，下半月生产了计划的，这个月实际超额生产电视机多少台？
解：
5000×（ + -1）=1500（台）
答：这个月实际超额生产电视机1500台。
【变式18-2】某电视机厂计划五月份生产6000台电视机，实际上半月完成了计划的，下半月完成了计划的62%。该厂这个月实际超额生产电视机多少台？
解：
6000×（ +62%-1）
=6000×22%
=1320（台）。
答：该厂这个月实际超额生产电视机1320台。
【变式18-3】商店对某饮料提出“第二杯半价”的促销办法，那么，若卖出两杯这种饮料，就相当于按原件的（ 75 ）%销售。
答案：75。
解：
根据题意可知，第二杯饮料半价，所以买两杯饮料共付1.5杯饮料的钱。而按原价需付2杯饮料的钱，则：1.5÷2=75%。
即：卖出两杯这种饮料，就相当于按原价的75%销售。
【题型19 百分数的应用（方程思想）】
【例19】某商场购进西瓜500个，运输途中破裂一些，未破裂的西瓜卖完后，利润率为40%，破裂的西瓜只能降价出售，亏了60%。最后发现，总利润为32%， 破裂了多少个西瓜？
解：
设碰裂了x个西瓜，由题意得：
（500-x）×（1+40%）+（1-60%）x=500×（1+32%）
解得，
x=40。
答：运输过程中破裂了40个西瓜。
【变式19-1】某店原来将一批苹果按100%的利润定价出售。由于定价过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样售出了其中的40%。此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果，结果实际获得的总利润是原定利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原定价的百分之几？
解：
设第二次降价后，按x%的利润定价，则
38%×40%+（1-40%）x%=100%×30.2%
0.152+0.6x%=0.302
0.6x%=0.15
x=25，
所以此时的定价是：1+25% =125%，
125%÷200%=62.5%。
答∶第二次降价后的价格是原来定价的62.5%。
【变式19-2】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2，他们第一次相遇后，甲速度提高了20%，乙速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有28千米，那么A、B两地相距多少千米？
解：
相遇前甲、乙速度比为3:2，
相遇时甲、乙分别走了全程的和，
相遇后，甲、乙速度比为（3×120%）:（2×130%）=18:13，
A、B两地间的距离为：
28÷（-×）
=28÷
=90（千米）
答：A、B两地间的距离是90千米。
【变式19-3】成本是0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售，售完80%后，剩下的练习本打折销售，售完全部练习本，结果获得的利润是预定的86%．剩下的练习本是打几折出售的？
解：
设剩下的练习本是打x折出售的，可得：
0.25×1200×40%×80%+[0.25×（1+40%）×x-0.25]×1200×（1-80%）=0.25×40%×1200×86%
96+（0.35x-0.25）×1200×20%=103.2
96+（0.35x-0.25）×240=103.2
96+84x-60=103.2
84x=67.2
x=80%．
答：剩下的练习本是打8折出售的．
【题型20 百分数的应用（连比问题）】
【例20】甲与乙的比是5:6，乙与丙的比是4:5，乙比丙少百分之几？丙比甲多百分之几？
解：
依据题意得知，
5:6=10:12，
4:5=12:15。
甲、乙、丙之比是10:12:15，
乙比甲少：
（15-12）÷15=3÷15=0.2=20%，
丙比甲多：
（15-10）÷10=5÷10=0.5=50%。
答：乙比丙少20%，丙比甲多50%。
点拨：依据比的基本性质，比的前后项同时乘2，得出甲:乙:丙=10:12:15，那么就可以分别把甲、乙、丙看作10、12、15；要求乙比丙少百分之几，就是乙、丙之差再除以丙，据此解答；要求丙比甲多百分之几，就是甲、丙之差再除以甲，据此解答。
【变式20-1】一个水果店购进苹果的重量比橘子的多25%，橘子与菠萝的重量之比是6:5，苹果比菠萝多160千克，商店购进菠萝多少千克？
解：
苹果：橘子：菠萝=6（1+25%）：6：5
=15：12：10。
菠萝：
160÷（15-10）×10
=320（千克）。
答：商店购进菠萝320千克。
点拨：思维顺序如下，
先排序：估计就是比橘子多，橘子比菠萝重；
找单位“1”：设菠萝为“5”；
再用单位“1”表示其他量：橘子为6，苹果为6（1+25%）=7.5；
然后求三个量连比：苹果：橘子：菠萝=7.5：6：5=15：12：10。
再求出一份量，乘所占份数，即得答案。
【变式20-2】甲、乙、丙三人合购一台空调，甲付钱数的等于乙付钱数的，等于丙付钱数的。已知丙比甲少付140元，这台空调多少元？
解：
甲:乙:丙=6:8:5，
140÷（6-5）×（6+8+5）
=2660（元）。
答：这台空调2660元。
【变式20-3】六年级三个班共收集废纸396kg，其中一班收集的比二班多20%，二班收集的比三班少，每个班各收集废纸多少千克？
解：
设二班为单位“1”，
则一班为：1+20%=1.2=，
三班：1÷（1-）
=1÷
=，
一班、二班、三班之比：
：1：=12：10：11，
396÷（12+10+11）=12（千克），
一班：12×12=144（千克），
二班：12×10=120（千克），
三班：12×11=132（千克）。
答：一班、二班、三班各收集废纸144千克、120千克、132千克。
【题型21 其他易考类型】
【例21】一捆电线用去全长的，再接上80米，结果比原来长30%，这捆电线现在长多少米？
解：
80÷（1+30% - ）×（1+30%）
=80÷×1.3
=160×1.3
=208（米）。
答：这捆电线现在长208米。
点拨：将原长当作单位“1”，一根电线用去后再接上80米，现在的电线比原来长30%，即现在长度是在来的（1+30%），根据分数减法的意义，这80米占原长的（1+30%-），根据分数除法的意义，原长是80÷（1+30%-）米，进而根据分数乘法的意义求出现在多少米即可．
【变式21-1】某少年宫合唱团男生人数是女生人数的，后来又招来1名男生后，这时男生人数是女生人数的70%，现在合唱团有多少人？
解：
1÷（70% - ）
=30（人），
30+30×70%
=51（人）。
答：现在合唱团有51人。
点拨：1名男生占女生人数的（70%-），用除法求女生人数。女生人数×70%=现在男生的人数。
【变式21-2】如果甲数的60%等于乙数的（甲、乙两数均不为0），那么（ A ）。
A.甲数＞乙数 B.甲数＜乙数 C.甲数=乙数 D.无法确定
解：
甲数×60%=乙数×，
假设乙数为1，
则甲数：
1×÷60%
=，
＞1，
所以，甲数＞乙数。
故选A。
点拨：先列出等积式，再假设一个数为1，求出另一个数，进行比较 。
【变式21-3】如下图所示，将一个长方形分成四个不同的三角形，绿色三角形的面积占长方形面积的15%，黄色三角形比绿色三角形的面积多12m2。绿色三角形的面积是多少平方米？
解：
12÷（50%-15%-15%）
=12÷20%
=60（m2），
60×15%=9（m2）。
答：绿色三角形的面积是9m2。
点拨：S红+S蓝=S黄+S绿；分量÷对应分率=单位“1”。