2023-2024学年吉林省松原市乾安一中、实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省松原市乾安一中、实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是( )
A. B. C. D.
2.如图，为估计湖岸边A、B两点之间的距离，小华在湖的一侧选取一点O，测得OA=150米，OB=100米，则A、B间的距离可能是( )
A. 50米B. 150米C. 250米D. 300米
3.在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是( )
A. △ACF
B. △ACE
C. △ABD
D. △CEF
4.如图，点A，点B分别在x轴和y轴上，AB=4，∠OAB=30°，则点B的坐标为( )
A. (0,4)
B. (4,0)
C. (0,2)
D. (2,0)
5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是
( )
A. 15°B. 20°C. 65°D. 100°
6.如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有( )
①(2a+b)(m+n)；
②2a(m+n)+b(m+n)；
③m(2a+b)+n(2a+b)；
④2am+2an+bm+bn．
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.−(a3)4= ______ ．
8.如果分式2x−1有意义，那么x的取值范围是______．
9.分解因式：a3+2a2b+ab2= ______ ．
10.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD的度数为______ ．
11.如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD= ．
12.如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线DE折叠．使点A落在BC边上F处，若∠B=65°，则∠BDF=______°.
13.如图，AC/​/BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D=______．
14.为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解分式方程：2x2x−3−12x+3=1．
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
因式分解：6xy2−9x2y−y3
17.(本小题5分)
如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？请你画出点P.(不写作法，保留痕迹)
18.(本小题5分)
先化简再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，其中x=3．
19.(本小题7分)
宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，成品宣纸一般分生宣和熟宣两类.已知某宣纸厂一个工人平均每天生产生宣数量是生产熟宣数量的2倍，生产800张熟宣比生产600张生宣多用1天.求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
20.(本小题7分)
如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AB=AC，BE⊥AC于点E，AE=AD．
求证：AC平分∠DAB．
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)，C(2,3)均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
(2)求△A1B1C1的面积．
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE/​/BC，交AC于点E．
(1)求证：DE=CE．
(2)若∠CDE=35°，求∠A的度数．
23.(本小题8分)
如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形(有关线段的长如图所示)，留下一个“T”型的图形(阴影部分)．
(1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
(2)若x=7米，y=21米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
24.(本小题8分)
如图，已知△ABC，∠A=∠B=70°.请按如下要求操作并解答：
(1)在图中，过点A画直线MP/​/BC，过点C画直线NP⊥AB，直线MP与NP交于点P，求∠APC的度数；
(2)在(1)的前提下，直线PM上存在点D，且∠ABD=∠ADB，求直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数．
25.(本小题10分)
阅读理解：
例：已知：m2+2mn+2n2−6n+9=0，
求：m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0，∴(m+n)2+(n−3)2=0，∴m+n=0，n−3=0，∴m=−3，n=3，
解决问题：
(1)若x2−4xy+5y2+2y+1=0，求x、y的值；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长且满足a2+b2=10a+12b−61，
①直接写出a=______.b=______．
②若c是△ABC中最短边的边长(即c26.(本小题10分)
规定概念：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念：(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用：(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°.求证：CD为△ABC的等角分割线．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A，B关于直线l对称，
∴直线l垂直平分线段AB，
故选项C符合题意，
故选：C．
根据轴对称的性质一一判断即可．
本题考查轴对称的性质，解题的关键是连接轴对称的性质，即直线l垂直平分线段AB．
2.【答案】B
【解析】解：OA−OB则150−100则符合条件的只有B．
故选：B．
根据三角形的三边关系确定AB的范围，据此即可判断．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，AB= 32+12= 10，BC= 2，AC=2 2．
A、在△ACF中，AF= 22+12= 5≠ 10， 5≠ 2， 5≠2 2，则△ACF与△ABC不全等，故本选项错误；
B、在△ACE中，AE=3≠ 10，3≠ 2，3≠2 2，则△ACE与△ABC不全等，故本选项错误；
C、在△ABD中，AB=AB，AD= 2=BC，BD=AC=2 2，则由SSS推知△ACF与△ABC全等，故本选项正确；
D、在△CEF中，CF=3≠ 10，3≠ 2，3≠2 2，则△CEF与△ABC不全等，故本选项错误；
故选：C．
根据全等三角形的对应边相等得到相关线段间的等量关系．然后利用勾股定理进行验证．
本题考查了勾股定理和全等三角形的判定．此题利用了全等三角形的判定定理SSS进行证明的．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB=4，∠OAB=30°，
∴BO=12AB=2，
∴点B(0,2)，
故选：C．
由直角三角形的性质可求OB=2，即可求解．
本题考查了坐标与图形的性质，直角三角形的性质，求出OB的长是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
先根据△ABC中，AB=AC，∠A=50°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=50°即可解答．
【解析】
解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=180°−50°2=65°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠A=∠ABE=50°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=65°−50°=15°．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：表示该长方形面积的多项式
①(2a+b)(m+n)正确；
②2a(m+n)+b(m+n)正确；
③m(2a+b)+n(2a+b)正确；
④2am+2an+bm+bn正确．
故选：D．
根据图中长方形的面积可表示为总长×总宽，也可表示成各长方形的面积和，
此题主要考查了多项式乘以多项式，关键是正确掌握图形的面积表示方法．
7.【答案】−a12
【解析】解：−(a3)4=−a12．
根据幂的乘方法则进行计算即可．
主要考查幂的乘方，底数不变，指数相乘．
8.【答案】x≠1
【解析】解：由题意，得
x−1≠0，
解得，x≠1，
故答案为：x≠1．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
9.【答案】a(a+b)2
【解析】解：a3+2a2b+ab2
=a(a2+2ab+b2)
=a(a+b)2．
故答案为：a(a+b)2．
先提取公因式a，再运用完全平方公式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10.【答案】29°
【解析】解：∵∠A=50°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C
=180°−50°−72°
=58°．
∵BD是△ABC的一条角平分线，
∴∠ABD=12∠ABC=29°．
故答案为：29°．
先利用三角形的内角和求出∠ABC，再利用角平分线的定义求出∠ABD即可．
本题主要考查了三角形的内角和定理及推论，掌握“三角形的内角和是180°”及三角形角平分线的定义是解决本题的关键．
11.【答案】30°
【解析】【分析】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形中心角的计算方法得出∠AOB，∠AOD，最后根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】
解：连接OB、OC，
正多边形的每个外角都相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：360∘40∘=9，
∴∠AOB=360∘9=40°，
∴∠AOD=40°×3=120°，
∴∠OAD=180∘−∠AOD2=30°．
故答案为：30°．
12.【答案】50
【解析】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD=DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD=BD，
∴BD=DF，
∴∠B=∠BFD，
∵∠B=65°，
∴∠BDF=180°−∠B−∠BFD=180°−65°−65°=50°．
故答案为：50．
先根据图形翻折不变性的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
13.【答案】66°
【解析】解：∵OA=AC，
∴∠ACO=∠AOC=12×(180°−∠A)=12×(180°−48°)=66°．
∵AC/​/BD，
∴∠D=∠C=66°．
故答案为：66°．
依据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠AOC，依据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后依据平行线的性质可得∠D的度数．
本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质的应用，三角形的内角和定理，求得∠C的度数是解题的关键．
14.【答案】600x=450x−10
【解析】解：设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为(x−10)元，所以用600元购买A种树苗的棵数是600x，用450元购买B种树苗的棵数是450x−10．
由题意，得600x=450x−10．
故答案是：600x=450x−10．
设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为(x−10)元，根据“用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同”列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15.【答案】解：方程的两边同乘(2x−3)(2x+3)，得
2x(2x+3)−(2x−3)=(2x−3)(2x+3)，
解得x=−3．
检验：把x=−3代入(2x−3)(2x+3)得(2x−3)(2x+3)=27≠0．
所以原方程的解为：x=−3．
【解析】本题考查了分式方程的解法．(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
观察可得最简公分母是(2x−3)(2x+3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入最简公分母检验即可．
16.【答案】解：原式=(6xy−9x2−y2)y=−(9x2−6xy+y2)y=−y(3x−y)2．
【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17.【答案】解：如图，点P即为所求．

【解析】作线段AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：当x=3时，
原式=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x+1x−2
=4
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19.【答案】解：设该厂一个工人平均每天生产熟宣x张，
根据题意，得800x−1=6002x，
解得x=500，
经检验，x=500是原分式方程的根，且符合题意，
2×500=1000(张)，
答：该厂一个工人平均每天生产熟宣500张，生产生宣1000张．
【解析】设该厂一个工人平均每天生产熟宣x张，根据生产800张熟宣比生产600张生宣多用1天，列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
20.【答案】证明：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠D=90°，
在Rt△ADC与Rt△AEB中，AD=AEAC=AB，
∴Rt△ADC≌Rt△AEB(HL)，
∴∠DAC=∠BAC，
∴AC平分∠DAB．
【解析】根据全等三角形的判定和性质和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；A1(0,−1)，B1(3,−2)，C1(2,−3)；
(2)△A1B1C1的面积=2×3−12×2×2−12×3×1−12×1×1=2．
【解析】(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征写出顶点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
本题考查了轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22.【答案】(1)证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ECD．
∵DE/​/BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE．
(2)解：∵∠ECD=∠EDC=35°，
∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°−70°−70°=40°．
【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线，解题的关键是：(1)根据平行线的性质结合角平分线的定义找出∠EDC=∠ECD；(2)利用角平分线的定义结合等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=70°．
(1)根据角平分线的定义可得出∠BCD=∠ECD，由DE/​/BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE；
(2)由(1)可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
23.【答案】解：(1)(2x+y)(x+2y)−2y2
=2x2+4xy+xy+2y2−2y2
=2x2+5xy；
(2)∵x=7米，y=21米，
∴2x2+5xy=2×49+5×7×21=833(平方米)，
∴20×833=16660(元)，
答：草坪的造价为16660元．
【解析】(1)用大长方形面积减去两个小正方形面积；
(2)先求出x，然后将x、y的值代入即可．
本题考查了整式的混合运算，正确运用运算法则计算是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图所示，
∵PC⊥AB，
∴∠CNB=90°，
∵∠ABC=70°，
∴∠BCN=20°，
∵MP//BC，
∴∠APC=∠BCN=20°；
(2)∵MP//BC，
∴∠ADB+∠CBD=180°，
∵∠ABD=∠ADB，∠ABC=70°，
∴∠ABD=∠ADB=55°，
∵∠BNE=90°，
∴∠BEN=90°−55°=35°，
∴直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数为35°．
【解析】(1)由垂直的定义得到∠CNB=90°，根据三角形的内角和得到∠BCN=20°，根据平行线的性质即可得到结论；
(2)根据平行线的性质得到∠ADB+∠CBD=180°，得到∠ABD=∠ADB=55°，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和，平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵x2−4xy+5y2+2y+1=0，
∴x2−4xy+4y2+y2+2y+1=0，
即 (x−2y)2+(y+1)2=0，
∴(x−2y)2=0；(y+1)2=0，
解得x=−2，y=−1，
(2)①5，6．
②∵a2+b2=10a+12b−61，
∴(a−5)2+(b−6)2=0，
∴a=5，b=6，
∴1∵c为最短边，且c为整数，
∴1∴c为2或3或4．
【解析】【分析】
此题考查了因式分解的实际运用，非负数的性质以及三角形的三边关系，分组利用完全平方公式分解因式是解决问题的关键．
(1)已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出x、y的值；
(2)由a2+b2=10a+12b−61，得a，b的值．进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，则b−a【解答】
解：(1)见答案；
(2)①∵a2+b2=10a+12b−61，
∴a2−10a+25+b2−12b+36=0，
∴(a−5)2+(b−6)2=0，
∴a=5，b=6，
故答案为5，6；
②见答案．
26.【答案】(1)解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，∠BCD=∠A，
在△ACD和△ABC中，
∠A=∠A，∠ACD=∠B，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD和△ABC是互为“等角三角形”；
在△ACD和△BCD中，
∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，∠ADC=∠BCD=90°，
∴△ACD和△BCD是互为“等角三角形”；
(2)证明：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，
则∠ACB=180°−40°−60°=80°，
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=12×80°=40°，
∴∠A=∠ACD，
∴DA=DC，
∴△ACD为等腰三角形，
在△DBC中，∠BCD=40°，∠B=60°，
则∠BDC=180°−40°−60°=80°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A=∠BCD，∠ACB=∠CDB，∠B=∠B，
∴△ACB和△CDB是互为“等角三角形”，
∴CD为△ABC的等角分割线．
【解析】(1)根据直角三角形的性质、同角的余角相等以及互为“等角三角形”的定义解答；
(2)根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD=40°，再根据“等角分割线”的定义证明．
本题考查的是互为“等角三角形”的定义、“等角分割线”的定义、三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质，正确理解互为“等角三角形”和“等角分割线”的定义是解题的关键．