浙江省杭州市西湖区西溪中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份浙江省杭州市西湖区西溪中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卷两部分等内容，欢迎下载使用。

出卷人：初三数学备课组 审核人：初三数学备课组 校对人：初三数学备课组
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．
2．答题时，必须在答题卷密封区内写明考场、座位号、姓名．考号等内容．答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效．
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 下列函数一定属于二次函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．
【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
B、不二次函数，不符合题意；
C、，是二次函数，符合题意；
D、不是二次函数，不符合题意；
故选C．
2. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为5的面朝上”是（ ）
A. 确定事件B. 随机事件
C. 必然事件D. 不可能事件
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，必然事件和不可能事件都叫确定事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【详解】解：事件“任意抛掷一枚骰子，点数为5的面朝上”可能发生，也可能不发生，该事件是随机事件，
故选B．
3. 正五边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】n边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】（5﹣2）×180°=540°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
4. 在中，，，，以C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（ ）
A. 点A在内B. 点A在上C. 点A在外D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论．
【详解】解：中，，，，
，
，
∴点A在内，
故选：A
5. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A. 图象的开口向上B. 图象与x轴有唯一交点
C. 当时，y随x的增大而减小D. 图象的顶点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与x轴的交点问题，根据二次项系数为，得到二次函数图象开口向下，根据解析式得到对称轴为直线，顶点坐标为，则当时，y随x的增大而增大，求出当时，解得，则二次函数图象与x轴有两个交点，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，y随x的增大而增大，
当时，解得，
∴二次函数图象与x轴有两个交点，
∴四个选项中只有D选项说法正确，符合题意，
故选D．
6. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，，由三角形内角和可求，即可求∠BOC的度数．
【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴,
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
7. 如图，是的直径，弦于点，cm，cm，则半径为（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 5cmD. 8cm
【答案】C
【解析】
【分析】设半径为cm，则cm，根据垂径定理得出cm，根据勾股定理得出，代入求出答案即可．
【详解】解：设半径为cm，则cm，cm，
，cm，过圆心，
cm，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径为5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
8. 已知二次函数， 其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：
点在函数的图象上， 当时， 与的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由表格中的点坐标，运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数开口方向和对称轴，结合二次函数图象对称性，得出结论．
【详解】解：从表中可知，二次函数过点，，，
则有，，
解得，，
即二次函数为：，
该二次函数开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴由二次函数对称性得到，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象对称性是解题的关键．
9 抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A. 12＜t≤3B. 12＜t＜4C. 12＜t≤4D. 12＜t＜3
【答案】C
【解析】
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.
【详解】解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，
∴b＝−2，
∴y＝－x2−2x＋3，
∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，
∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，
∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4，
∴－12＜t≤4，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．
10. 在矩形中，已知，，现有一根长为的木棒紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了扇形的面积计算以及矩形的性质．根据题意得出木棒的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A，B，C，D为圆心，为半径的弧，进而得出扇形面积，即可得出阴影部分面积．
【详解】解：如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出P到B点距离始终为1，
则木棒的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A，B，C，D为圆心，为半径的弧，
故所围成的图形的面积为：
矩形面积-4个扇形面积．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的两个内项的积等于两个外项的积进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 某超市质检人员为了检测某品牌产品的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品一件，由此估计这批产品中的次品件数是______件．
【答案】20
【解析】
【分析】先求出次品所占的百分比，再根据共2000件产品，直接相乘得出答案即可．
【详解】解：∵随机抽取100件进行检测，检测出次品1件，
∴次品所占的百分比是：，
∴这一批产品中的次品件数是：2000×＝20（件），
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键．
13. 扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式，代入计算即可．
【详解】解：扇形的面积=
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握公式是解决问题的关键．
14. 将二次函数y=2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：横坐标左加右减，纵坐标上加上减.解题即可.
【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到．
【点睛】本题考查二次函数的性质.正确运用抛物线的平移规律是解题的关键.
15. 如图，一张扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于弧OD、线段OC和CD所围成的图形的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，能进而求出答案．
【详解】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD3×36π，
∴阴影部分的面积为2×（6π）＝93π，
故答案：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S．
16. 已知一次函数，二次函数．
（1）当时，则的最小值为______．
（2）若，若点都在函数y的图象上，且，则a的取值范围______．（用含k的式子表示）
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】（1）本题主要考查二次函数求最值问题，根据二次函数在对称轴处取得最小值，将对称轴处的自变量代入函数解析式即可．
（2）本题考查二次函数性质与不等式的问题，点、都在函数图象上将点带入解析式，根据解不等式求解即可，解答本题的关键在于结合二次函数性质解不等式．
【详解】解：（1）∵，
∴二次函数解析式为
函数对称轴：，
将，代入函数解析式得到
．
故答案为：．
（2）∵
∴
又∵点都在函数图象上，
∴
，
又∵
即
又∵当时，
解得，或，
∴或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17. 已知二次函数，当时，求函数的最小值和最大值．圆圆的解答过程如下：解：当时，；当时，；所以函数的最小值为0，最大值为3．圆圆的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程不正确，正确的解答过程见解析
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可判断圆圆的求解过程是否正确，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：圆圆的解答过程不正确．正确的解答过程为：
根据题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴当时，y取得最小值，此时，
当时，y取得最大值，此时，
∴当时，函数的最小值为，最大值为3．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答的关键是熟练掌握二次函数性质，特别要注意x的取值范围．
18. 的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．
（1）将绕点A顺时针方向旋转得到(点对应点)， 画出．
（2）请找出过三点的圆的圆心， 标明圆心的位置．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质画出对应的图形即可得到答案；
（2）过三点的圆的圆心，就是到三点距离相等的点，也就是线段和线段的垂直平分线的交点．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
解：作线段和线段的垂直平分线，交点标为点O，点O就是要所求作的点，如图所示：
【点睛】本题主要考查了旋转作图和线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19. 在一个不透明的口袋里装有分别标注1、2的两个小球（小球除数字外，其余都相同），另有背面完全一样、正面分别写有3、4、5的三张卡片，现从口袋中任意摸出一个小球，再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张，则：
（1）共有多少种结果？（请用列表或者画树状图的方法表示说明）
（2）小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：
①若两次摸出的数字，和为奇数，则小方赢，否则小圆赢；
②若两次摸出的数字，积为奇数，则小方赢，否则小圆赢．
小方想要在游戏中获胜机会更大些，他应选择哪一条规则，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）小方应选择规则①，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果．
（2）从表格中找到和为奇数与积为奇数的结果数，根据概率公式求解即可得出答案．
【小问1详解】
有6种等可能结果，
列表如下：
【小问2详解】小方应选择规则①，理由如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中和为奇数的有3种结果，积为奇数的有2种结果，
所以按规则①小方获胜的概率为，
按规则②小方获胜的概率为，
∵，
∴小方应选择规则①．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率．
20. 如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．
（1）求证：；
（2）连接，若，的半径为2，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧、线与圆周角之间的关系，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可；
（2）根据圆周角定理求出，根据勾股定理即可求出答案．
【小问1详解】
证：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为2，
∴．
21. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证；
（2）设半径为r，再根据勾股定理列出方程求出r，从而求出直径AB的值，再次根据勾股定理可求出BC即可．
【详解】解：（1），
∴=
又为半径，
，
为直径，
，
（2）设圆的半径为r
，，
，
在中，
即，所以，
，O是AC，AB的中点
，
【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理的推论，掌握相关知识是解题的关键．
22. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】（1）y关于x的函数表达式为；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【小问1详解】
解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
【小问2详解】
解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
23. 已知二次函数．
（1）若图象过点，求抛物线顶点坐标；
（2）若图象与坐标轴只有两个交点，求的值；
（3）若函数图象上有两个不同的点，且，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）把代入求出a值，从而得到解析式，再把解析式化成顶点式即可得出答案；
（2）根据图象与坐标轴有两个交点，则图象与x轴只有一个交点，所以，求解即可；
（3）把分别代入得，，则，再根据，所以，根据二次函数的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：把代入得
，
解得：，
∴，
∴抛物线顶点坐标；
【小问2详解】
解：∵图象与坐标轴有两个交点，
∴与x轴只有一个交点，
∴，
解得：；
【小问3详解】
证明：把分别代入得
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值为，
但是，∵，不同的点，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标交点问题，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程关系是解题的关键．
24. 已知为的外接圆，．
（1）如图1，连接交于点，过作的垂线交延长线于点．
①求证：平分；
②设，请用含的代数式表示；
（2）如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．
【答案】（1）①见解析；②
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）①证明，可得，即可得证；②首先求出，得到，根据等边对等角得到，，在四边形中，利用内角和列出关系式，化简即可；
（2）猜想，，三者之间的数量关系为：，交于点，连接，，由已知可得；利用同弧所对的圆周角相等，得到，，由于与关于对称，于是，则得为等腰直角三角形，为直角三角形；利用勾股定理可得：，；利用得到，等量代换可得结论．
【小问1详解】
解：①连接，
则，
在和中，
，
∴，
∴，即平分；
②∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
四边形中，，
即，
化简得：；
【小问2详解】
，，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
，即．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质．根据图形的
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1
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4


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