2023-2024学年江苏省镇江市京口区九年级（上）数学期中数学试题（含解析）

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1．已知是一元二次方程的一个解，则m的值是 ．
2．方程的根是 ．
3．已知点，若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与x轴的位置关系为 ．
4．已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ．
5．2023年，某省新能源汽车产能达到万辆．到了2025年，该省新能源汽车产能将达到万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列方程为 ．
6．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，如图，锯口深寸，锯道长尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材直径是 寸．
7．如图，四边形ABCD中，，，则的度数为 ．
8．已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是 ．
9．如图，扇形圆心角为直角，，点在上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为 ．

10．如图是由三个边长分别为6、10、x的正方形组成的图形，若线段AB将它们分成面积相等的两部分，则x的值是 ．
11．如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=3，则阴影部分周长的最小值为 ．
12．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙当⊙与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
二．选择题（6小题，每小题3分，共计18分）
13．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
14．将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（ ）
A．(x+4)2=2B．(x+2)2=2C．(x+4)2=－3D．(x+2)2=－5
15．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（ ）
A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2
16．如图，四边形内接于是的直径，连接．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
17．如图，圆内接正六边形的周长为，则该正六边形的内切圆半径为（ ）

A． B．C． D．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A．B．C．D．
三．解答题（8小题，共计72分）
19．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
20．如图，是的两条直径．

(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若的直径为8，，求四边形的周长和面积．
21．如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱． 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元．
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？
24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是___________；
① ② ③
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________；
(3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
25．在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．

(1)问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为；
(2)操作实践：如图，是边上一点，请用无刻度的直尺与圆规在矩形内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)迁移应用：已知，在中，，，，则的取值范围为
26．如图①，一张半径为的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点．

(1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，此时线段的长度为___________．
(2)已知M是内一点，．
①若折叠后的圆弧经过点M，则线段长度的最大值是___________，最小值是___________；
②若折叠后的圆弧与直线相切于点M，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出折痕，此时线段的长度为___________．
参考答案与解析
1．-3
【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，解得即可．
【详解】根据题意，将x=1代入方程得到：1+m+2=0，
解得：m=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
2．，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法—因式分解法，由的形式可得或，即可求解；能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键．
【详解】解：或，
，；
故答案：，．
3．相离
【分析】先由点的坐标得到点到轴的距离、点到轴的距离，然后判定与轴的位置关系．
【详解】解∶∵，以点为圆心，个单位长度为半径作圆，
∴点到轴的距离为，
∴与轴相离，
故答案为∶相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点的坐标得到点到轴的距离．
4．
【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案．
【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为，母线长为
∴圆锥的侧面积
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解．
5．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：由题意可列方程为；
故答案为．
6．26
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，可得，，由即可求解；能构建由半径、弦的一半、弦心距组成的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
在中：
，
，
解得：，
，
故答案：．
7．
【分析】利用等腰三角形的性质和四边形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵AB=BC=BD，
∴∠A=∠ADB，∠BDC=∠C，
∵∠A+∠ADB+∠C+∠BDC+∠ABD+∠CBD=360°，
∴2∠ADB+2∠CDB+∠ABC=360°，
∴2（∠ADB+∠CDB）+100°=360°，
∴∠ADB+∠CDB=130°，
即∠ADC=130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，运用整体思想是解题的关键．
8．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，通过适当变形进行计算即可．解题的关键是熟知根与系数的关系与因式分解．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根，
∴
∴
故答案为：．
9．##
【分析】连接，由勾股定理可求出的长，再计算扇形面积和梯形并作差即可．
【详解】解：连接
在中，

故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，扇形面积计算以及梯形面积计算，熟练掌握扇形面积计算以及勾股定理是解决本题的关键．
10．4或6
【分析】延长AE，BG交于点C，延长AN，BH交于点D，可得四边形ADBC是矩形，依据△ABD与△ABC面积相等，线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分，即可得到四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等，进而得到x的值．
【详解】如图所示，延长AE，BG交于点C，延长AN，BH交于点D，则四边形ADBC是矩形，
∴△ABD与△ABC面积相等，
又∵线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分，
∴四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等，
∴6×（10﹣6）＝x（10﹣x），
解得x＝4或6，
故答案为：4或6．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，矩形的性质，正方形的性质，题中的辅助线的引入是难点.
11．+
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【详解】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′．
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′=，
∴的长l=，
∴阴影部分周长的最小值为+．
故答案为：+．
【点睛】本题考查了与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
12．3或
【分析】分两种情况：⊙与直线CD相切、⊙与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得．
【详解】如图1中，当⊙与直线CD相切时，设，
在中，，
，
，
，；
如图2中当⊙与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形，
，
，，
在中，，
综上所述，BP的长为3或．
【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键．
13．D
【分析】分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【详解】解：A．此选项方程根的判别式Δ=02-4×1×1=-4＜0，此方程没有实数根；
B．此选项方程根的判别式Δ=12-4×1×1=-3＜0，此方程没有实数根；
C．此选项方程根的判别式Δ=（-1）2-4×1×1=-3＜0，此方程没有实数根；
D．此选项方程根的判别式Δ=32-4×1×1=5＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故选：D．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
14．B
【分析】方程常数项移到右边，两边加上2变形即可得到结果．
【详解】试题分析：∵x2+4x+2=0，
∴x2+4x=﹣2，
∴x2+4x+4=﹣2+4，
∴（x+2）2=2．
故选B．
15．D
【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解．
【详解】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c-10=-4.75，
当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c-10=3，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解．
16．A
【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
【详解】解：∵四边形内接与，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
17．A
【分析】根据已知条件先求出正六边形的边长以及对应角度，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出答案.
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，

圆内接正六边形的周长为，
圆内接正六边形的边长为：.
，
.
，
，
在中， ，
.
正六边形的内切圆半径为：.
故选：A.
【点睛】本题考查了正多边形和圆，垂径定理，勾股定理，解题的关键在于正确掌握正六边形的性质.
18．A
【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+=，
故选A．
19．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查了一元二次方程的不同解法；
（1）根据的形式，当时，直接开平方；当时，原方程无实根；据此即可求解．
（2）将方程化成一般形式，对左边进行因式分解，化为的形式，即可求解；
（3）将方程左边进行因式分解，化为的形式，即可求解；
能根据一元二次方程的不同形式选择恰当的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，，
，；
（2）解：，
或，
，；
（3）解：，
或
，．
20．(1)四边形是矩形，理由见解析；
(2)， ．
【分析】（1）由是的两条直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得，则可判定四边形是矩形；
（2）根据直角三角形的性质和矩形的周长和面积解答即可．
【详解】（1）四边形是矩形．
理由：∵是的两条直径，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）∵，
∴，
在中，，
∴，，
∴四边形的周长，
面积．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及矩形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．(1)详见解析
(2)3
【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线；
（2）利用勾股定理即可求出半径．
【详解】（1）证明：连接．

平分，
．
又，
，
，
，
．
又点在上，
是的切线．
（2）解：设的半径为，
，
，
即，
解得，
的半径为3．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理．
22．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
【详解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
23．（1）10元或30元； （2）80元
【分析】（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，根据月销售利润＝每件利润×销售数量结合每月销售利润为8000元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再计算涨价的数量即可；
（2）利用月销售成本＝每件成本×月销售数量结合月销售成本不超过10000元，即可确定定价的值．
【详解】（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，
根据题意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80．
∴单价上涨：60－50＝10（元）或80－50＝30（元）．
（2）∵销售成本不超过10000元，
当x1＝60时，成本：40×[500﹣10×（60﹣50）]＝16000＞10000，故舍去；
当x2＝80时，成本：40×[500﹣10×（80﹣50）]＝8000＜10000．
∴该商品的销售单价应定为80元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
24．(1)③
(2)
(3)
【分析】（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；
（2）设关于x的方程的两个根为，然后根据“三倍根方程”可令，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；
（3）先把一元二次方程进行因式分解变形，然后根据“三倍根方程”的关系可进行求解．
【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，满足“三倍根方程”的定义；
故答案为③；
（2）解：设关于x的方程的两个根为，由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
令，则有，
∴，，
∴；
（3）解：由可得：，
∴，
令，则有：
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解法，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
25．(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）连接、，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案；
（2）作的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径画圆，交垂直平分线于点，可得图；
（3）作的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：连接、，

∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的外接圆的半径为．
故答案为∶．
（2）解：如图，作的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径画圆，交垂直平分线于点，则点为所求作的点；

（3）解：如图，作的外接圆，

∵，，
当时，为最长弦，即直径，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，是等边三角形，
∴，
∵，
∴的取值范围为∶．
【点睛】此题考查的是圆的综合题目，涉及圆的性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
26．(1)
(2)①，；②
【分析】（1）连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，直线l垂直平分．，在中即可求解；
（2）①根据题意分两种情况画出图形，然后根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而可得弦长度的取值范围；②如图，连接并延长，交与点E，过M作的垂线，在的垂线上取一点使得，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，连接，交与点C，交与点D， 得到垂直平分，，在中即可求解；
【详解】（1）解：如图，连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，

∵点P与点O关于直线l对称，半径为，
∴直线l垂直平分．，
．
在中，
，
．
在中，
，
，
故答案为：；
（2）解：①如图1，点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D，

∵弧翻折与M重合，
当P，D，M三点共线时，有最大值，此时有最小值，即有最小值，
，，
，，
，
在中，，，
，
；
如图2：点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D，

∵弧翻折与M重合，
当P，D，M三点共线时，有最小值，此时有最大值，即有最大值，
，，
，，
在中，，
，
；
②如图，连接并延长，交与点E，过点M作的画弧，交射线与点F，过点O作的画弧，交的垂线与点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，连接，交与点C，交与点D，

得到垂直平分，
，在中，，
，
在中，，，
，
；
故答案为：，，；
【点睛】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键．
x
0
0.5
1
1.5
2
ax2+bx+c
﹣15
﹣8.75
﹣2
5.25
13