2022-2023学年湖南省娄底市涟源市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省娄底市涟源市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=3x+1B. y=3x2C. y=3xD. y=x3
2.一元二次方程x2+2x−1=0中，下列说法错误的是( )
A. 二次项系数是1B. 一次项系数是2C. 一次项是2xD. 常数项是1
3.求方程x2−3x−5=0的根的情况是( )
A. 没有实根B. 两个不相等的实数根
C. 两个相等的实数根D. 无法确定
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3，则tanB的值是( )
A. 3B. 13C. 10D. 1010
5.甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是( )
A. 1：200B. 1：20000C. 20000：1D. 1：4000
6.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为3：5，点A，B的对应点，分别为点A′，B′.若AB=6，则A′B′的长为( )
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10
7.如图，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是( )
A. AB2=AC⋅AD
B. AB2=AC⋅BD
C. AB⋅AD=BC⋅BD
D. AB⋅AD=AD⋅CD
8.函数y=kx和y=−kx+2(k≠0)，在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.小颖初一时体重是30kg，到初三时体重增加到43.2kg，则她的体重平均每年增加的百分率为( )
A. 10%B. 15%C. 20%D. 22%
10.如图，AB是河堤横断面的迎水坡.坡高AC= 3，水平距离BC=1，则斜坡AB的坡度为( )
A. 3
B. 33
C. 30°
D. 60°
11.随机抽查某商场四月份5天的营业额分别如下(单位：万元)3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，试估计这个商场四月份的营业额约是( )
A. 90万元B. 450万元C. 3万元D. 15万元
12.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB= 6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A. 3+1
B. 2
C. 2
D. 6− 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.已知a，b是方程x2−2022x+1=0的两个根，则a+b的值为 ．
14.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，则csB的值为______．
15.点P在线段AB上，且BP2=AP⋅AB，AB=6，那么BP的长为______．
16.学习委员调查本班学生一周内课外阅读情况，按照课外阅读时间进行统计结果如下表：
则表中a的值是______ ．
17.如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为______ ．
18.一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数，当V=20m3时，ρ=1.36kg/m3，当V=40m3时，ρ=______kg/m3．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：cs60°−2sin245°+32tan230°−sin30°．
20.(本小题6分)
解方程：4x2−(x−2)2=3．
21.(本小题8分)
芙蓉学校组织学生参加慈善捐款活动，为了解学生捐款情况，随机调查了该校部分学生，根据调查结果，绘制了统计图1和图2.请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次调查了多少名学生？
(2)求这部分学生的捐款平均数．
(3)若该校共有1000名学生，请估计该校捐款数．
22.(本小题8分)
如图，建筑物的高CD为10m.在北楼顶C处测得旗杆底部B的俯角α为45°，旗杆顶部A的仰角β为20°.求旗杆AB的高度.(结果精确到0.1m，参考数据：sin20°=0.34、cs20°=0.94，tan20°=0.36)
23.(本小题9分)
如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙(墙长15米)，另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？
24.(本小题9分)
如图，已知河宽AB=100m，在河的两岸各取一点A，E，AE与BC相交于点D，AB⊥BC于点B，EC⊥BC于点C，测得BC=180m，EC=50m，求BD的长．
25.(本小题10分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A(2,3)，B(−6,n)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t(s)．
(1)当t为多少时，△PBQ的面积是9cm2？
(2)当t为多少时，△PBQ与△ABC是相似三角形？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、y=3x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y=3x2是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=3x，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
D、y=x3是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y=kx(k≠0)，即可判定各函数的类型是否符合题意．
本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式的一般形式：y=kx(k≠0)是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：一元二次方程x2+2x−1=0中，二次项系数是1，一次项系数是2，一次项是2x，常数项是−1，
则说法错误的是D．
故选：D．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意得：Δ=(−3)2−4×1×(−5)=29>0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
∵tanA=3=ab，
∴tanB=ba=1tanA=13，
故选：B．
根据直角三角形中两锐角三角函数之间的关系进行计算即可．
本题考查互余两角三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
5.【答案】B
【解析】解：∵1600米=160000厘米，
∴这幅地图的比例尺是8：160000=1：20000，
故选：B．
先把1600米化成160000厘米，再根据比例尺的定义求出答案即可．
本题考查比例尺的定义，正确理解比例定义是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为3：5，
∴AB：A′B′=3：5，
∵AB=6，
∴A′B′=10，
故选：D．
根据位似比的概念计算即可．
本题考查的是位似变换的概念，掌握位似比的概念是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵△ABC∽△DBA，
∴ABAD=ACAB，
∴AB2=AC⋅AD．
故选：A．
根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在函数y=kx(k≠0)和y=−kx+2(k≠0)中，
当k>0时，函数y=kx(k≠0)的图象位于第一、三象限，函数y=−kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项B错误，选项A正确，
当k<0时，函数y=kx(k≠0)的图象位于第二、四象限，函数y=−kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C，D错误，
故选：A．
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
9.【答案】C
【解析】解：设她的体重平均每年增加的百分率为x，
依题意得：30(1+x)2=43.2，
∴1+x=±1.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，
∴她的体重平均每年增加的百分率为20%．
故选：C．
设她的体重平均每年增加的百分率为x，利用小颖初三时的体重=小颖初一时的体重×(1+她的体重平均每年增加的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵坡高AC= 3，水平距离BC=1，
∴tanB=ACBC= 31= 3，
∴斜坡AB的坡度为 3．
故选：A．
根据坡度的定义直接得出答案即可．
本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】【分析】
先计算出四月份5天的平均营业额，再乘以30得到四月份的营业额．
本题考查了平均数的概念和用样本估计总体的思想运用能力．
【解答】
解：四月份5天的营业额总和为(3.4+2.9+3.0+3.1+2.6)=15(万元)，四月份共30天；由此可估计这个商场四月份的营业额约是305×15=90(万元)．
故选：A．
12.【答案】B
【解析】解：如图，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
在Rt△ABD中，
BD=AD=AB⋅sinB= 6× 22= 3，
在Rt△ADC中，∠DAC=90°−∠ACB=30°，
CD=AD⋅tan30°= 3× 33=1，
∴BC= 3+1，
在Rt△BEF中，设BF=EF=x，
在Rt△EFC中，∠FEC=90°−∠BCE=60°，
CF=EF⋅tan60°= 3x，
由CF+BF=BC得，
3x+x= 3+1，
∴x=1，
∴EC=2EF=2，
故答案为：B．
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF=BC列出方程求得x，进而求得结果．
本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
13.【答案】2022
【解析】解：根据根与系数的关系得a+b=2022．
故答案为：2022．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
14.【答案】 55
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，
∴设BC=x，则AC=2x，
∴AB= 5x，
则csB=BCAB=x 5x= 55．
故答案为： 55．
直接利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键．
15.【答案】3 5−3
【解析】解：∵点P在线段AB上，BP2=AP⋅AB，
∴点P为线段AB的黄金分割点，
∴BP= 5−12AB= 5−12×6=3 5−3，
故答案为：3 5−3．
根据黄金分割点的定义，得BP= 5−12AB，代入数据即可得出BP的长度．
此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．
16.【答案】20
【解析】解：根据题意可知阅读时间为2小时以下及2～4小时的学生人数所占百分比为：b+c=100%−25%=75%，
∴本班调查总人数为：(26+34)÷75%=80(名)，
∴a=80−26−34=20(名)．
故答案为：20．
根据表格可知阅读时间为2小时以下及2～4小时人数占总人数的百分比为75%，再根据：频率═频数÷总数，求得本班调查的总人数为80名，从而求得a的值．
本题考查统计表，解此类型的题目应仔细观察表格中各行各列中的元素，从表格中寻找等量关系，从而求解．
17.【答案】0.5cm
【解析】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD=3，
∵CD=3cm，
∴AB=9cm，
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：(10−9)÷2=1÷2=0.5(cm)，
故答案为：0.5cm．
根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
18.【答案】0.68
【解析】解：设ρ与V的函数关系式为ρ=kv，
当V=20m3时，ρ=1.36kg/m3，
∴1.36=k20，
∴k=1.36×20=27.2，
∴ρ与V的函数关系式是ρ=27.2v；
当V=40m3时，ρ=27.240=0.68(kg/m3).
故答案为：0.68．
根据题意可知一定质量的氧气，它的密度ρ是它的体积V的反比例函数，且已知当V=20m3时，ρ=1.36kg/m3，故p与V的函数关系式是ρ=27.2v，把V=40m3代入解析式求解即可求得ρ的值．
本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
19.【答案】解：原式=12−2×( 22)2+32×( 33)2−12
=12−2×12+32×13−12
=12−1+12−12
=−12．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20.【答案】解：4x2−(x−2)2=3，
整理得：3x2+4x−7=0，
(x−1)(3x+7)=0，
x−1=0或3x+7=0，
x1=1，x2=−73．
【解析】先将原方程化简整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握解一元二次方程−因式分解法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由条形图可知捐款金额为10元的有5人，由扇形图可知捐款金额为10元的占10%，
∴5÷10%=50(名)，
答：本次调查了50名学生；
(2)捐款金额为40元的人数为：30%×50=15(名)，
x−=10×5+20×8+30×12+40×15+50×1050=33.4(元)，
答：这部分学生的捐款平均数是33.4元；
(3)∵这部分学生的捐款平均数是33.4元，
∴33.4×1000=33400(元)，
答：估计该校捐款33400元．
【解析】(1)根据条形统计图和扇形统计图信息即可解答；
(2)根据条形统计图和扇形统计图信息可知捐款金额为40元的人数为15名即可解答；
(3)根据这部分学生的捐款平均数是33.4元即可解答．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数的定义，读懂条形统计图和扇形统计图是解题的关键．
22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，则四边形CDBE是矩形，
∴CE=BD，BE=CD=10m，
在Rt△BCE中，∠BEC=90°，α=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BE=10m，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tanβ=AECE，
∴AE=10⋅tan20°，
∴AB=AE+BE≈10×0.36+10=13.6(m)，
故旗杆AB的高度约为13.6m．
【解析】作CE⊥AB于E，先证△BCE是等腰直角三角形，得BE=CD=10m，再在Rt△AEC中，由锐角三角函数定义求出AE，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为(25+1−2x)米，
依题意得：x(25+1−2x)=80，
整理得：x2−13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8．
当x=5时，25+1−2x=25+1−2×5=16>15，不符合题意，舍去；
当x=8时，25+1−2x=25+1−2×8=10<15，符合题意．
答：车棚垂直于墙的一边的长为8米．
【解析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为(25+1−2x)米，根据电动车充电棚的面积为80平方米，列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长15米，即可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：∵AB⊥BC于点B，EC⊥BC于点C，
∴AB//CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴ABCE=BDCD，
∴10050=BD180−BD，
∴BD=12m，
答：BD的长为12m．
【解析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵反比例函数y=mx(m≠0)的图象过点A(2,3)，
∴m=2×3=6，
∴反比例函数关系式为y=6x，
当x=−6时，y=6−6=−1，
∴点B(−6,−1)．
又∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点A(2,3)，B(−6,−1)．
∴2k+b=3−6k+b=−1，
解得k=12b=2，
∴一次函数的关系式为：y=12x+2，
∴反比例函数关系式为y=6x，一次函数关系式为y=12x+2；
(2)如图，直线AB与y轴的交点C(0,2)，即OC=2，
∴S△AOB=S△BOC+S△AOC
=12×2×6+12×2×2
=6+2
=8，
即：△AOB的面积为8．
【解析】(1)把点A(2,3)代入反比例函数关系式可求出k的值，确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；
(2)求出直线AB与y轴的交点坐标，再利用三角形面积公式进行计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
26.【答案】解：(1)∵点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，
∴AP=t，BQ=2t，
∴BP=AB−AP=6−t；
∵△PBQ的面积是9cm2，
∴12⋅2t⋅(6−t)=9，
解得，t=3．
即当t为3时，△PBQ的面积是9cm2；
(2)由运动知，BQ=2t，PB=6−t，
∵△PQB、△ABC是直角三角形，
∴当△PQB与△ABC相似时有两种情况，
即BPAB=BQBC或BPBC=BQAB，
当BPAB=BQBC时，则有6−t6=2t12，解得t=3；
当BPBC=BQAB时，则有6−t12=2t6，解得t=1.2；
∴当t=1.2或3时，△PQB与△ABC相似．
【解析】(1)用含t的代数式表示线段BP和BQ，根据△PBQ的面积是9cm2列出关于t的方程，解方程即可求得答案；
(2)由于两三角形都是直角三角形，所有分两种情况分别利用相似三角形的对应边成比例可得到关于t的方程，可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积及分类讨论思想．在(1)中求得BP、BQ的长是解题的关键，在(2)中分两种情况进行求解是解题的关键．阅读时间
2小时以下
2～4小时
4小时以上
人数/名
26
34
a
百分比
b
c
25%