2022-2023学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线yx+2的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）若向量（1，1，2），（2，x，y），且，则||＝（ ）
A．2B．2C．D．2
3．（5分）“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M（x0，y0）是C上一点，|MF|，则x0＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4，a3＝9，且{an+1﹣an}是等差数列，则a6＝（ ）
A．36B．37C．38D．39
7．（5分）已知曲线C：y1（y≥0），若存在斜率为﹣2的直线与曲线C有两个交点，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
8．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB，AB＝2，BC＝1，AB⊥BC，若SC与面SAB所成角的最大值为θ，则tan2θ的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A＝“掷到的点数为5”，事件B＝“掷到的点数小于或等于3”，事件C＝“掷到的点数为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．P（B）B．P（A∪B）
C．A与B是互斥事件D．A与C是对立事件
（多选）10．（5分）已知直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．l1在x轴上的截距为﹣1
B．l2能表示过点（0，﹣1）的任意直线
C．若l1∥l2，则a＝﹣1或a＝2
D．若l1⊥l2，则a
（多选）11．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为△B1CD1内的任意一点（含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥P﹣A1BD的体积为定值
B．点P到直线BD的距离的最小值为
C．向量与夹角的取值范围是[0，]
D．若线段BD的中点为F，当PF⊥BD时，点P的轨迹为线段
（多选）12．（5分）台州府城墙是临海5A级旅游景点之一，该景点的入口处有一段台阶，共198级．若某游客登台阶时每步只向上登一级或两级，设该游客从底下开始登上第n级台阶的不同走法种数记为an，（n∈N*且n≤198），则下列结论正确的是（ ）
A．an+2＝an+1+an
B．1
C．a2i﹣1＝a198
D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知双曲线C与双曲线x2﹣y2＝1有相同渐近线，但焦点不同，则C的方程可以是 ．（写出一个即可）
14．（5分）已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
15．（5分）已知等差数列{an}满足a1＝2，an＝4，6（n≥3，n∈N*），则n＝ ．
16．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，B是椭圆C的下顶点，点A在椭圆C上且位于第一象限．若|F1A|＝3|F2A|，且AB平分∠F1AF2，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）为积极参与校运动会，某班要从A，B，C三位同学中任意抽取两位参加400米比赛．
（1）请写出不放回简单随机抽样的样本空间，并求出抽中A的概率；
（2）若抽中的两位同学参加400米预赛后能进入决赛的概率都是，请求出两人中恰好一人进决赛的概率．
18．（12分）从①②这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答该题．
①经过点（4，1）； ②圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上．
已知圆心为C的圆经过（0，1），（2，3）两点，且_____．
（1）求该圆的标准方程；
（2）若过点（﹣2，﹣3）的直线l与该圆有交点，求直线l的斜率的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）已知数列{an}为等比数列，且a1＝2，a3a4＝a7，数列{bn}的前n项和记为Sn，满足2Sn＝n2+n（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若对任意n∈N*，an＞λbn恒成立，求实数λ的取值范围．
20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2，AB＝AD＝DC＝1，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点A′的位置，连接A′C．
（1）若点E在线段BC上，使得A′E⊥BD，试确定E的位置，并说明理由；
（2）当A′C时，求平面A′BC与平面BCD夹角的余弦值．
21．（12分）我们知道，在平面中，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线．如点A（1，2）在直线l上，a＝（1，3）为直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点B（x，y）满足：a，化简可得3x﹣y﹣1＝0，即为直线l的方程．类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面．
（1）若在空间直角坐标系中，P（1，3，﹣1），M（2，1，0），N（3，2，﹣1），请利用平面PMN的法向量求出平面PMN的方程；
（2）试写出平面Ax+By+Cz+D＝0（A，B，C不同时为0）的一个法向量（无需证明），并证明点（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D＝0的距离为．
22．（12分）已知双曲线x21，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点．
（1）若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形OMAN的面积为定值；
（2）若OA⊥OB，OD⊥AB，D为垂足，求点D的轨迹的长度．
2022-2023学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）直线yx+2的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：直线yx+2的斜率为，
设其倾斜角为α（0≤α＜π），
则tanα．
∴．
故选：B．
2．（5分）若向量（1，1，2），（2，x，y），且，则||＝（ ）
A．2B．2C．D．2
【解答】解：向量（1，1，2），（2，x，y），且，
则，解得x＝2，y＝4，
故，
所以．
故选：D．
3．（5分）“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：方程mx2+ny2＝1表示椭圆⇔1表示椭圆，
则，∴m＞0，n＞0且m≠n，
∴mn＞0是方程mx2+ny2＝1表示椭圆的必要不充分条件，
故选：B．
4．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，
则．
故选：A．
5．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M（x0，y0）是C上一点，|MF|，则x0＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），
∵M（x0，y0）是C上一点，，|MF|，
∴x0+1，
解得x0＝3．
故选：C．
6．（5分）已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4，a3＝9，且{an+1﹣an}是等差数列，则a6＝（ ）
A．36B．37C．38D．39
【解答】解：根据题意，数列{an}中，a1＝1，a2＝4，a3＝9，则a2﹣a1＝4﹣1＝3，a3﹣a2＝9﹣4＝5，
而{an+1﹣an}是等差数列，则其首项为3，公差为2，
则an+1﹣an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，
则a6＝（a6﹣a5）+（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝11+9+7+5+3+1＝36，
故选：A．
7．（5分）已知曲线C：y1（y≥0），若存在斜率为﹣2的直线与曲线C有两个交点，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【解答】解：由y1（y≥0），得x2+（y+1）2＝1+m2，
则曲线C的轨迹是以（0，﹣1）为圆心，半径R的圆在x轴上方部分，
当y＝0时，得x＝±m，设B（|m|，0），
当斜率为﹣2的直线和圆相切时，CB的斜率为，
若存在斜率为﹣2的直线与曲线C有两个交点，
则只需要即可，
得，得|m|＞2，得m＞2或m＜﹣2，
即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：D．
8．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB，AB＝2，BC＝1，AB⊥BC，若SC与面SAB所成角的最大值为θ，则tan2θ的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，取AB的中点E，AC的中点F，则EF∥BC，
又AB⊥BC，∴AB⊥EF，
又SA＝SB，E为AB的中点，
∴AB⊥SE，又AB⊥EF，EF∩SE＝E，
∴AB⊥平面SEF，
设∠SEF＝α，则α∈（0，π），
如图，分别以BC，BA所在直线为x轴，y轴，以过B且垂直平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
根据题意易知AEAB＝1，又AB＝2，BC＝1，
∴B（0，0，0），A（0，2，0），C（1，0，0），S（csα，1，sinα），
∴，，，
设平面SAB的法向量为，
则，取，
∴SC与平面SAB所成角的正弦值为：
|cs，|，α∈（0，π），
令t＝3﹣2csα，则csα，
∵α∈（0，π），∴csα∈（﹣1，1），∴t∈（1，5），
设SC与平面SAB所成角的正弦值为f（t），
则f（t），
当且仅当，即t时，等号成立，
又SC与平面SAB所成角的最大值为θ，∴sinθ，
∴tan2θ，
故选：C．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A＝“掷到的点数为5”，事件B＝“掷到的点数小于或等于3”，事件C＝“掷到的点数为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．P（B）B．P（A∪B）
C．A与B是互斥事件D．A与C是对立事件
【解答】解：由题意可知，P（B），故A正确；
P（A），P（B），事件A，事件B不能同时发生，为互斥事件，
故P（A∪B）＝P（A）+P（B），故BC正确，
A与C为互斥事件，不为对立事件，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（5分）已知直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．l1在x轴上的截距为﹣1
B．l2能表示过点（0，﹣1）的任意直线
C．若l1∥l2，则a＝﹣1或a＝2
D．若l1⊥l2，则a
【解答】解：对于直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，
在直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0中，令y＝0，可得x＝﹣1，
故它在x轴上的截距为﹣1，故A正确；
直线l2：ax+2y+2＝0表示过点（0，﹣1）的任意直线（除去y轴），故B错误；
由于当a＝2时，l1与l2重合，故C错误；
若l1⊥l2，则a+（2a﹣2）＝0，求得a，故D正确，
故选：AD．
（多选）11．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为△B1CD1内的任意一点（含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥P﹣A1BD的体积为定值
B．点P到直线BD的距离的最小值为
C．向量与夹角的取值范围是[0，]
D．若线段BD的中点为F，当PF⊥BD时，点P的轨迹为线段
【解答】解：连接A1D，A1B，可证平面A1BD∥平面B1CD1，故P到平面A1BD的距离为定值，
∴三棱锥P﹣A1BD的体积为定值，故A正确；
∵BD⊥AC，BD⊥CC1，CC1∩AC＝C，
∴BD⊥平面ACC1A1，∵PF⊥BD，∴PF⊂平面ACC1A1，
∵P为△B1CD1内的任意一点（含边界），
∴PF为两平面ACC1A1与平B1CD1的交线MC，故D正确；
∵B1D1∥BD，∴B1D1⊥平面ACC1A1，∵B1D1⊂平面B1CD1，∴平面B1CD1⊥平面ACC1A，
∴点P到直线BD的距离的最小值即为F到CM的距离，设F到CM的距离为d，
由CF×MFMC×d，又CF，MF＝2，MC，
∴2d，∴d，故B错误；
∵，∴向量与夹角为向量与的夹角，
当P在B1D1上时，向量与夹角为0，
当P在CD1上时，向量与夹角为，
∴向量与夹角的取值范围是[0，]，故C正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）台州府城墙是临海5A级旅游景点之一，该景点的入口处有一段台阶，共198级．若某游客登台阶时每步只向上登一级或两级，设该游客从底下开始登上第n级台阶的不同走法种数记为an，（n∈N*且n≤198），则下列结论正确的是（ ）
A．an+2＝an+1+an
B．1
C．a2i﹣1＝a198
D．
【解答】解：易知a1＝1，a2＝2，a3＝3，
最后一步有两种途径，只登一级与登两级，故an+2＝an+1+an，故A正确；

a2n﹣2（a2n﹣1+a2n﹣2）＝a2n﹣1•a2n﹣3...＝a1a31，
∴a2n+1•a2n﹣11，故B正确；
由an+2＝an+1+an，则a3＝a4﹣a2，a5＝a6﹣a4，a7＝a8﹣a6，…，a197＝a198﹣a196，
则a1+a3+...+a197＝a1+（a4﹣a2）+（a6﹣a4）+（a8﹣a6）+...+（a198﹣a196）
＝a198﹣a2+1
＝a198﹣1，故C错误；
，
∴（a2a3﹣a1a2）+（a3a4﹣a3a2）+...+anan+1﹣anan﹣1，
∴，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知双曲线C与双曲线x2﹣y2＝1有相同渐近线，但焦点不同，则C的方程可以是 x2﹣y2＝m（m≠0，m≠1），例如x2﹣y2＝2 ．（写出一个即可）
【解答】解：双曲线C与双曲线x2﹣y2＝1有相同渐近线，但焦点不同，
可得x2﹣y2＝m（m≠0，m≠1），
故答案为：x2﹣y2＝m（m≠0，m≠1），例如x2﹣y2＝2．
14．（5分）已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，则两圆公共弦所在直线的方程为 x+y﹣1＝0 ．
【解答】解：由（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，得x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0，
∵圆C1：x2+y2＝1，
∴两式作差得﹣4x﹣4y+3＝﹣1，得x+y﹣1＝0，
即公共弦的方程为x+y﹣1＝0，
故答案为：x+y﹣1＝0．
15．（5分）已知等差数列{an}满足a1＝2，an＝4，6（n≥3，n∈N*），则n＝ 49 ．
【解答】解：设等差数列的公差为d，（d≠0），
已知等差数列{an}满足6（n≥3，n∈N*），
则，
又a1＝2，an＝4，
则d，
则，
则n＝49，
故答案为：49．
16．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，B是椭圆C的下顶点，点A在椭圆C上且位于第一象限．若|F1A|＝3|F2A|，且AB平分∠F1AF2，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，﹣b），
设直线AB交x轴于点D，
设A（m，n），
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a，
又|F1A|＝3|F2A|，
则|F2A|，
由椭圆的焦半径公式可得，
则，
又点A在椭圆C上且位于第一象限，
则，
即，
又AB平分∠F1AF2，
则|F1D|＝3|F2D|，
则，
又A、B、D三点共线，
则kAD＝kBD，
即，
即，
即，
即，
则椭圆的离心率为，
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）为积极参与校运动会，某班要从A，B，C三位同学中任意抽取两位参加400米比赛．
（1）请写出不放回简单随机抽样的样本空间，并求出抽中A的概率；
（2）若抽中的两位同学参加400米预赛后能进入决赛的概率都是，请求出两人中恰好一人进决赛的概率．
【解答】解：（1）为积极参与校运动会，某班要从A，B，C三位同学中任意抽取两位参加400米比赛．
则不放回简单随机抽样的样本空间为：
Ω＝{（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，B）}，
抽中A的概率P；
（2）若抽中的两位同学参加400米预赛后能进入决赛的概率都是，
则两人中恰好一人进决赛的概率P．
18．（12分）从①②这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答该题．
①经过点（4，1）； ②圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上．
已知圆心为C的圆经过（0，1），（2，3）两点，且_____．
（1）求该圆的标准方程；
（2）若过点（﹣2，﹣3）的直线l与该圆有交点，求直线l的斜率的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）若选①，
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（其中D2+E2﹣4F＞0），
则，解得D＝﹣4，E＝﹣2，F＝1，
所以，圆方程为x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，
化为标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
若选②，
∵圆过（0，1），（2，3），∴圆心在y＝﹣x+3上，
又知圆心在直线x﹣y﹣1＝0上，
∴解得x＝2，y＝1，所以圆心C（2，1）．
半径为2．
所以，圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
（2）因为直线l与圆有交点，所以圆心到直线l的距离小于等于半径．
当直线l的斜率不存在时，不符合题意；
∴设直线l：y＝k（x+2）﹣3，即kx﹣y+2k﹣3＝0．
∴圆心（2，1）到直线kx﹣y+2k﹣3＝0的距离，
解得．
所以直线l的斜率取值范围为．
19．（12分）已知数列{an}为等比数列，且a1＝2，a3a4＝a7，数列{bn}的前n项和记为Sn，满足2Sn＝n2+n（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若对任意n∈N*，an＞λbn恒成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q（q≠0），
由a1＝2，a3a4＝a7，得，则q＝a1＝2，
∴；
∵2Sn＝n2+n，∴b1＝1，
当n≥2时，有2bn＝2Sn﹣2Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1），
整理得bn＝n，验证n＝1时成立，则bn＝n．
（2）对任意n∈N*，an＞λbn恒成立，即2n＞λn成立，
∴λ，令f（n），则，当n＝1时，f（1）＝f（2）＝2．
当n＞1时，f（n+1）＞f（n），
∴的最小值为2，可得λ＜2，即实数λ的取值范围为（﹣∞，2）．
20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2，AB＝AD＝DC＝1，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点A′的位置，连接A′C．
（1）若点E在线段BC上，使得A′E⊥BD，试确定E的位置，并说明理由；
（2）当A′C时，求平面A′BC与平面BCD夹角的余弦值．
【解答】解：（1）分别过A，D作BC的垂线，垂足点分别为I，G，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2，AB＝AD＝DC＝1，
∴BI＝GC，∴AI＝DG，∴易得∠BCD＝60°，
又DC＝1，BC＝2，∴由余弦定理易得BD，
∴BD2+DC2＝BC2，∴DC⊥BD，
取BD的中点H，连AH并延长交BC于点E，
∵AB＝BD＝1，∴AH⊥BD，又DC⊥BD，
∴AH∥DC，又H为BD中点，
∴E点为BC的中点，
∴折叠后有BD⊥A′H，BD⊥HE，且A′H∩HE＝H，
∴BD⊥平面A′HE，又A′E⊂平面A′HE，
∴A′E⊥BD，
故当点E为BC中点时，A′E⊥BD；
（2）由（1）易知∠DBC＝30°，又∠ABC＝60°，AB＝AD＝1，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°，∴AH，BH＝HD，
又CD＝1，DC⊥BD，
∴HC，
又A′H＝AH，A′C，
∴A′H2+HC2＝A′C2，
∴A′H⊥HC，又A′H⊥BD，HC∩BD＝H，
∴A′H⊥平面BCD，
过H作HF⊥BC，垂足点为F，连接A′F，
则由三垂线定理可得：∠A′FH即为平面A′BC与平面BCD的夹角，
∵HF⊥BC，又DG⊥BC，
∴HF∥DG，又H为BD的中点，且由（1）知DG，
∴HFDG，又A′H，A′H⊥HF，
∴A′F，
∴cs∠A′FH，
故平面A′BC与平面BCD夹角的余弦值为．
21．（12分）我们知道，在平面中，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线．如点A（1，2）在直线l上，a＝（1，3）为直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点B（x，y）满足：a，化简可得3x﹣y﹣1＝0，即为直线l的方程．类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面．
（1）若在空间直角坐标系中，P（1，3，﹣1），M（2，1，0），N（3，2，﹣1），请利用平面PMN的法向量求出平面PMN的方程；
（2）试写出平面Ax+By+Cz+D＝0（A，B，C不同时为0）的一个法向量（无需证明），并证明点（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D＝0的距离为．
【解答】解：（1）根据题意，设平面PMN的法向量为（a，b，c），
而P（1，3，﹣1），M（2，1，0），N（3，2，﹣1），则（1，﹣2，1），（2，﹣1，0），
故有•0，•0，
则有，
令b＝2，则有a＝1，c＝3，即平面PMN的一个法向量为（1，2，3），
可以设平面PMN的方程为x+2y+3z+n＝0，
将P（1，3，﹣1）代入可得1+6﹣3+n＝0，解可得n＝﹣4，则平面PMN的方程为x+2y+3z+4＝0；
（2）根据题意，平面Ax+By+Cz+D＝0（A，B，C不同时为0）的一个法向量为（A，B，C），
证明：设点H为（x0，y0，z0），
平面Ax+By+Cz+D＝0上有点（0，0，），
则（x0，y0，z0），
则点H到平面的距离d＝||．
22．（12分）已知双曲线x21，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点．
（1）若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形OMAN的面积为定值；
（2）若OA⊥OB，OD⊥AB，D为垂足，求点D的轨迹的长度．
【解答】解：（1）设A（x0，y0）为双曲线的渐近线为y＝±x，
∴，解得xx0y0，记xMx0y0，
同理可得xNx0y0，
∴|OM||xM|＝|x0y0|，|ON||xN|＝|x0y0|，
∴S＝|OM||ON|sin120°（x02y02），
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
当直线AB的斜率不存在时，AB为x，∴D（，0），
当直线AB的斜率存在时，设AB：y＝kx+m，
由方程组，得（k2﹣3）x2+2kmx+（m2+3）＝0，
∴x1+x2，x1x2，
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，
解得2m2＝3k2+3，
∴（0，0）到直线AB的距离为，∴|OD|，
又∵A，B在双曲线右支上，∴D在双曲线右支内部，
则，解得x（取正），y或x（取正），y，
记D1（，）或D2（，），
k，k，∴∠D1OD2＝60°，
∴D的轨迹为圆心角为60°的圆弧，∴D的轨迹的长度为π．