2022-2023学年浙江省杭州四中下沙校区高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州四中下沙校区高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设正项等比数列{an}满足a4﹣a3＝36，a2＝6，则a1＝（ ）
A．3B．C．2D．
2．（5分）如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（2，0）C．（3，0）D．（﹣1，0）
3．（5分）“”是“直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知数列{an}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•an的最大值为（ ）
A．5B．512C．1024D．2048
5．（5分）某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n的最小整数值为（ ）
（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．6B．7C．8D．9
6．（5分）设直线x+ky﹣1＝0被圆O：x2+y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x﹣y﹣1＝0位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
7．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示，则：
①以线段AB为直径的圆与准线l相切；
②以A1B1为直径的圆经过焦点F；
③A，O，B1（其中点O为坐标原点）三点共线；
④若已知点A的横坐标为x0，且已知点T（﹣x0，0），则直线TA与该抛物线相切．
则以上说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（5分）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列有关双曲线2x2﹣3y2＝1的命题中，叙述正确的是（ ）
A．顶点（±，0）B．离心率e
C．渐近线方程yxD．焦点（±，0）
（多选）10．（5分）设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，则（ ）
A．d＜0B．a8＝0
C．S5＞S6D．S7或S8为Sn的最大值
（多选）11．（5分）设F1，F2为椭圆的左，右焦点，直线l过F1交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABF2的周长为定值8
B．△ABF2的面积最大值为
C．|AF1|2+|AF2|2的最小值为8
D．存在直线l使得△ABF2的重心为
（多选）12．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，．则下列选项正确的为（ ）
A．a6＝14
B．数列是以2为公比的等比数列
C．对于任意的k∈N*，
D．Sn＞1000的最小正整数n的值为15
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）法国数学家蒙日（Mnge，1746﹣1818）发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点P的轨迹方程为：x2+y2＝a2﹣b2，这个圆被称为蒙日圆．若某双曲线对应的蒙日圆方程为x2+y2＝3，则a＝ ．
14．（5分）设直线yx+b是曲线y＝lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为 ．
15．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，A（a，0，2），B（0，b，﹣1）满足|AB|＝3，则线段AB与平面Oxy交点P（x，y，0）的轨迹方程为 ．
16．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn．满足a1＝2，3Sn＝（n+m）an，（m∈R），且anbn＝n，若存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，则实数λ的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若直线l2过点（，0），且l1⊥l2．
（1）求直线l1和直线l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l3的方程．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线yx2x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）设过点P（0，﹣2）的直线l与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求l的方程．
19．（12分）已知等差数列{an}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）设，n∈N*，求数列{cn}的前2n项和．
20．（12分）如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，AD∥BC，BC＝2AD．
（1）求证：AE⊥平面ABCD；
（2）若∠ABE＝60°，点F在EC上，且满足EF＝2FC，求二面角F﹣AD﹣C的余弦值．
21．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．
（1）求p和m的值；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．
2022-2023学年浙江省杭州四中下沙校区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，每个小题只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）设正项等比数列{an}满足a4﹣a3＝36，a2＝6，则a1＝（ ）
A．3B．C．2D．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，（q＞0）
若a4﹣a3＝36，a2＝6，则有q2﹣q＝6，
解可得：q＝3，
又由a2＝6，则a1＝2；
故选：C．
2．（5分）如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（2，0）C．（3，0）D．（﹣1，0）
【解答】解：∵抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，
∴，解得a＝﹣4，
∴抛物线的焦点坐标为（﹣1，0）．
故选：D．
3．（5分）“”是“直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，
则圆心到直线的距离d1，得1+k2＝4，得k2＝3，即k＝±，
即“”是“直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切”的充分不必要条件，
故选：B．
4．（5分）已知数列{an}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•an的最大值为（ ）
A．5B．512C．1024D．2048
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，因为a2•a3＝2a1，所以，所以a4＝2，
因为a4与2a7的等差中项为，则有a4+2a7＝2，即a4+2a4•q3＝2，解得，
所以，
故，
则a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a61，
所以数列的前4项或前5项的积最大，且最大值为16×8×4×2＝1024．
故选：C．
5．（5分）某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n的最小整数值为（ ）
（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，
则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝80×0.8n，
由80×0.8n＜20，解得，
因为他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，所以 n≥7，
故选：B．
6．（5分）设直线x+ky﹣1＝0被圆O：x2+y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x﹣y﹣1＝0位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【解答】解：如图，直线x+ky﹣1＝0恒过定点A（1，0），
由平面几何知识得，OM⊥AM，
从而中点M的轨迹是以OA为直径的圆，
其方程为：（x）2+y2，
由圆的方程得到圆心坐标（，0），半径r，
则圆心（，0）到直线x﹣y﹣1＝0的距离dr，
所以直线与圆的位置关系是相交．
故选：C．
7．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示，则：
①以线段AB为直径的圆与准线l相切；
②以A1B1为直径的圆经过焦点F；
③A，O，B1（其中点O为坐标原点）三点共线；
④若已知点A的横坐标为x0，且已知点T（﹣x0，0），则直线TA与该抛物线相切．
则以上说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：对于①，设|AF|＝a，|BF|＝b，则|AA1|＝a，|BB1|＝b，∴线段AB的中点到准线的距离为，∴以线段AB为直径的圆与准线l相切，故①正确；
对于②，连接A1F，B1F，如右图所示，
∵|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∠BAA1+∠ABB1＝180°，
∴180°﹣2∠AFA1+180°﹣2∠BFB1＝180°，∴∠AFA1+∠BFB1＝90°，
即∠A1FB1＝90°，∴以A1B1为直径的圆经过焦点F，故②正确；
对于③，设直线AB：x＝my，A（x1，y1），B（x2，y2），
由联立得：y2﹣2pmy﹣p2＝0，Δ＞0，y1y2＝﹣p2，
又（x1，y1）＝（，y1），（，y2），
∵•y2•y1y1，∴∥，∴A，O，B1三点共线，故③正确；
对于④，不妨设A（x0，），则kAT，
则直线AT：xy﹣x0，代入抛物线方程化简得：y2﹣2py+2px0＝0，
∵Δ＝4p28px0＝0，∴直线TA与该抛物线相切，故④正确，
故选：D．
8．（5分）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设内层椭圆方程为（a＞b＞0），
因为内、外层椭圆离心率相同，
所以外层椭圆方程可设成（m＞1），
设切线AC方程为y＝k1（x+ma），与联立得，，
由，
化简得：，
设切线BD方程为y＝k2x+mb，
同理可求得，
所以，，
所以，因此．
故选：D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列有关双曲线2x2﹣3y2＝1的命题中，叙述正确的是（ ）
A．顶点（±，0）B．离心率e
C．渐近线方程yxD．焦点（±，0）
【解答】解：双曲线2x2﹣3y2＝1中,b2,
∴c2＝a2+b2,
∴双曲线的左右顶点为（，0），离心率e,
渐近线方程y±x,焦点为（，0）．
故选：CD．
（多选）10．（5分）设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，则（ ）
A．d＜0B．a8＝0
C．S5＞S6D．S7或S8为Sn的最大值
【解答】解：由等差数列{an}满足S6＝S9，得S9﹣S6＝a7+a8+a9＝3a8＝0，
所以a8＝0，选项B正确；
又a1＞0，a8＝a1+7d＝0，得da1＜0，选项A正确；
由a6＝a1+5d＝a1a1a1＞0，得S6﹣S5＞0，故S5＜S6，选项C不正确；
由a8＝0，得S7＝S8，又{an}是首项为正数的递减数列，
所以S7或S8为Sn的最大值，选项D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）设F1，F2为椭圆的左，右焦点，直线l过F1交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABF2的周长为定值8
B．△ABF2的面积最大值为
C．|AF1|2+|AF2|2的最小值为8
D．存在直线l使得△ABF2的重心为
【解答】解：对于A：因为椭圆的方程，
所以a2＝4，即a＝2，
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝4，|BF1|+|BF2|＝2a＝4，
两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝8，
所以得|AF2|+|BF2|+|AB|＝8，
所以△ABF2的周长为8，故A正确；
对于B：因为椭圆的方程，
所以c2＝a2﹣b2＝1，
所以F1（﹣1，0），F2（1，0）
设直线l的方程为x﹣（﹣1）＝m（y﹣0），即x＝my﹣1，
所以点F2到直线l的距离d，
联立，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
Δ＝（﹣6m）2﹣4（3m2+4）×（﹣9）＞0，即m2＞﹣1，（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以y1+y2，y1y2，
所以|AB|，
所以|AB|•d••，
144•144•，
所以9（m2+1）3×26，
当且仅当9（m2+1），即m2，取等号，不成立，舍去，
当m2＝0时，1449，
所以的最大值为9，故B错误；
对于C：由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝4，
所以（）2＝a2＝4，当且仅当|AF1|＝|AF2|时，取等号，
所以|AF1|2+|AF2|2≥8，
所以|AF1|2+|AF2|2的最小值为8，故C正确；
对于D：若存在直线l使得△ABF2的重心为，
则x1+x2+1＝3，y1+y2＝3，
即x1+x2，y1+y2，
由B选项设得直线l方程为x＝my﹣1，
所以x1+x2＝my1+my2﹣2＝m（y1+y2）﹣2＝m•2m﹣2，
所以m﹣2，解得m＝2，
所以存在直线l使得△ABF2的重心为（，），故D正确，
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，．则下列选项正确的为（ ）
A．a6＝14
B．数列是以2为公比的等比数列
C．对于任意的k∈N*，
D．Sn＞1000的最小正整数n的值为15
【解答】解：①数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，．
则a2k﹣a2k﹣1＝1，a2k+1﹣2a2k＝1．
由于a1＝1，a2﹣a1＝1，所以a2＝2，所以a2k+2﹣a2k+1＝1，a2k+1﹣2a2k＝1，故a2k+2﹣2a2k＝2，
由于a2+2＝4，所以a2k+2+2＝2（a2k+2），所以（常数），
所以数列{a2k+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以2．当n＝3时，，故A正确，C错误；
②由于，所以，所以（常数），
即数列{a2k﹣1+3}是以2为公比的等比数列，故B正确；
③由于S14＝a1+a2+…+a14＝a1+（a1+1）+…+a7+（a7+1）
＝2（a1+a3+…+a11+a13）+7＝2×（22﹣3+23﹣3+…+28﹣3）+7＝981，
所以S15＝S14+a15＝981+509＝1490＞1000．
故n的最小值为15，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）法国数学家蒙日（Mnge，1746﹣1818）发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点P的轨迹方程为：x2+y2＝a2﹣b2，这个圆被称为蒙日圆．若某双曲线对应的蒙日圆方程为x2+y2＝3，则a＝ 2 ．
【解答】解：由双曲线的方程可得b2＝1，
由蒙日圆的定义可得双曲线对应的蒙日圆方程x2+y2＝3，
所以a2﹣b2＝3，即a2﹣1＝3，
可得a＝2．
故答案为：2．
14．（5分）设直线yx+b是曲线y＝lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为 ln2﹣1 ．
【解答】解：y′＝（lnx）′，令得x＝2，
∴切点为（2，ln2），代入直线方程yx+b，
∴ln22+b，∴b＝ln2﹣1．
故答案为：ln2﹣1
15．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，A（a，0，2），B（0，b，﹣1）满足|AB|＝3，则线段AB与平面Oxy交点P（x，y，0）的轨迹方程为 1 ．
【解答】解：因为A（a，0，2），B（0，b，﹣1），|AB|＝3，
所以a2+b2+（2+1）2＝18，即a2+b2＝9，
由题可设，则（x﹣a，y，﹣2）＝λ（﹣a，b，﹣3），
所以，
可得a＝3x，b，
所以（3x）2+（）2＝9，
即线段AB与平面Oxy交点P（x，y，0）的轨迹方程为1．
故答案为：1．
16．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn．满足a1＝2，3Sn＝（n+m）an，（m∈R），且anbn＝n，若存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，则实数λ的最小值为 ．
【解答】解：∵3Sn＝（n+m）an，
∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，
∴3Sn＝（n+2）an，①，
当n≥2时，3Sn﹣1＝（n+1）an﹣1，②，
由①﹣②可得3an＝（n+2）an﹣（n+1）an﹣1，
即（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，
∴，
∴，，，…，，，
累乘可得an＝n（n+1），
经检验a1＝2符合题意，
∴an＝n（n+1），n∈N*，
∵anbn＝n，
∴bn，
令Bn＝T2n﹣Tn，
则Bn+1﹣Bn0，
∴数列{Bn}为递增数列，
∴Bn≥B1，
∵存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，
∴λ≥B1，
故实数λ的最小值为，
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若直线l2过点（，0），且l1⊥l2．
（1）求直线l1和直线l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l3的方程．
【解答】解：（1）因为直线l2过点（，0），且l1⊥l2，
所以直线l2的方程为y＝2（x），即2x﹣y﹣3＝0，
联立，解得x＝2，y＝1，
所以直线l1和直线l2的交点坐标为（2，1）；
（2）当直线l3在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为yx，
当直线l3在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线l3过（2，1），
所以1，
所以a，此时直线方程为1，即2x+y﹣5＝0，
综上直线l3的方程为x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线yx2x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）设过点P（0，﹣2）的直线l与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求l的方程．
【解答】解：（1）x＝0时，y＝1，
又x2x+1＝0，得x1＝1，x2＝3，
所以三交点为（0，1），（1，0），（3，0），
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得，
圆的方程为x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0，
（2）由（1）知圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，
圆心为C（2，2），半径r，
直线l的斜率不存在时，直线x＝0，它与圆的交点（0，1），（0，3），满足题意，
直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx﹣2，即kx﹣y﹣2＝0，
圆心到直线l的距离为d，
又|AB|＝2，
所以d，
解得k，
直线方程为yx﹣2，即3x﹣4y﹣8＝0，
所以直线方程是x＝0或3x﹣4y﹣8＝0．
19．（12分）已知等差数列{an}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）设，n∈N*，求数列{cn}的前2n项和．
【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}的公差d为正数，a1＝1，
数列{bn}为等比数列，设公比为q，
b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，
可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，
解得q＝2，d＝1，
则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n；
（Ⅱ）an•bn＝n•2n，
前n项和Tn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
2Tn＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
两式相减可得﹣Tn＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1
n•2n+1，
化简可得Tn＝2+（n﹣1）•2n+1；
（Ⅲ）由Snn（n+1），
可得cn＝bn2n2n+2（），
则前n项和Tn＝（2+4+…+2n）+2（1）
2（1）＝2n+1，
则数列{cn}的前2n项和为22n+1．
20．（12分）如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，AD∥BC，BC＝2AD．
（1）求证：AE⊥平面ABCD；
（2）若∠ABE＝60°，点F在EC上，且满足EF＝2FC，求二面角F﹣AD﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：在△ABC中，，
由余弦定理可得AB2＝BC2+AC2﹣2×BC×AC×cs45°＝4，所以AB＝2．
所以AC2＝AB2+BC2，所以△ABC是直角三角形，AB⊥BC．
又BE⊥BC，AB∩BE＝B，所以BC⊥平面ABE．
因为AE⊂平面ABE，所以BC⊥AE，因为EA⊥AC，AC∩BC＝C，
所以AE⊥平面ABCD．
（2）解：由（1）知，BC⊥平面ABE，所以平面BEC⊥平面AEB，在平面ABE中，
过点B作Bz⊥BE，则Bz⊥平面BEC，如图，
以B为原点，BE，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，
则，，
因为EF＝2FC，所以，易知，
设平面ADF的法向量为（x，y，z），
则即
所以为平面ADF的一个法向量，
由（1）知EA⊥平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量．
设二面角F﹣AD﹣C的平面角为α，
由图易知α为锐角，则，
所以二面角F﹣AD﹣C的余弦值为．
21．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．
（1）求p和m的值；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【解答】解：（1）由抛物线定义知：，则p＝2，
又A（4，m）（m＞0）在抛物线上，则m2＝4×4，可得m＝4．
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由（1）知：A（4，4），
所以，，又AM⊥AN，
所以（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1﹣4）（y2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+y1y2﹣4（y1+y2）+32＝0，
令直线MN：x＝ky+n，联立C：y2＝4x，整理得y2﹣4ky﹣4n＝0，且Δ＝16k2+16n＞0，
所以y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4n，则，，
综上，n2﹣16k2﹣12n﹣16k+32＝（n﹣4k﹣8）（n+4k﹣4）＝0，
当n＝8+4k时，MN：x＝k（y+4）+8过定点B（8，﹣4）；
当n＝4﹣4k时，MN：x＝k（y﹣4）+4过定点（4，4），即A，M，N共线，不合题意；
所以直线MN过定点B（8，﹣4），又AD⊥MN，故D在以AB为直径的圆上，
而AB中点为Q（6，0），即为定值，得证．
22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．
【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x）2x﹣（a+2），
则当x＝2时，f′（2）4﹣（a+2）2＝1，解得a＝2；
（Ⅱ）解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）2x﹣（a+2），
①a≤0时，2x﹣a＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
②0＜a＜2时，令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，
③a＝2时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，
④a＞2时，令f′（x）＞0，解得：x或0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
0＜a＜2时，f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，
a＝2时，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞2时，f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；
（Ⅲ）证明：因为f′（x）2x﹣（a+2），
又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，
所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1e，即2＜a＜2e，
且当1＜x时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（）＝aln（a+2）＝alna（1+ln2）a，
设g（x）＝xlnx（1+ln2）x，2＜x＜2e，
则g′（x）＝lnx+1（1+ln2）＝lnxln2，
则g′′（x）0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，
所以g（x）在（2，2e）上单调递减，
则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），
所以g（x）＞﹣e2，
则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．