2022-2023学年浙江省杭州市长河高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市长河高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若直线l的一个方向向量为（﹣1，），则它的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（ ）
A．150，15B．150，20C．200，15D．200，20
3．（5分）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC1的长为（ ）
A．1B．C．2D．
4．（5分）设空间两个单位向量（m，n，0），（0，n，p）与向量（1，1，1）的夹角的余弦值为，则〈〉＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
6．（5分）已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2，该函数在x＝﹣1时有极值0，则a+b＝（ ）
A．4B．7C．11D．4或11
7．（5分）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）已知函数对于任意x∈（0，+∞）时，不等式xeax+lnx+ax＜1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．（﹣∞，﹣e）D．（﹣∞，﹣1）
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
（多选）9．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．若动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为
B．若动点P（x，y）到两定点F1（﹣5，0），F2（5，0）的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为
C．若P（x，y）到定点F（5，0）的距离和P（x，y）到定直线l：x＝﹣5的距离相等，则动点P的轨迹方程为y2＝20x
D．已知A（﹣2，0），B（2，0），若动点P（x，y）满足，则P（x，y）的轨迹方程是x＝0
（多选）10．（5分）在矩形ABCD中AB＝2AD＝2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折到△A1DE的位置，A1∉平面ABCD，M为A1C的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ）
A．恒有BM∥平面A1DE
B．B与M两点间距离恒为定值
C．三棱锥A1﹣DEM的体积的最大值为
D．存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD
（多选）11．（5分）已知曲线分别是曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若m＝﹣3，则曲线C的两条渐近线所成的夹角为
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝﹣27
C．若m＝6，则曲线C上不存在点P使得
D．若m＝4，P为曲线C上一个动点，则△F1PF2面积的最大值为
（多选）12．（5分）设函数f（x）＝xlnx，，给定下列命题，其中正确的是（ ）
A．若方程f（x）＝k有两个不同的实数根，则
B．若方程kf（x）＝x2恰好只有一个实数根，则k＜0
C．若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）﹣g（x2）]＞f（x1）﹣f（x2）恒成立，则m≥1
D．若函数F（x）＝f（x）﹣2ag（x）有两个极值点，则实数
三、填空题，本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是 ．
14．（5分）已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标 ．
15．（5分）已知直线l1：2x+3my﹣m+2＝0，l2：mx+6y﹣4＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为 ．
16．（5分）已知m，n为实数，f（x）＝ex﹣mx+n﹣1，若f（x）≥0对∀x∈R恒成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100），得到如下的频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中m的值，利用样本估计总体的思想估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数、众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（2）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩，并从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，试求这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．
18．已知直线l：（m﹣1）x+2my﹣5m+3＝0，m∈R和圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
（1）证明：圆C与直线l恒相交；
（2）求出直线l被圆C截得的弦长的最小值．
19．已知函数f（x）＝x36x﹣a
（1）对任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若函数f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．
20．如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，将△ADC沿AC折起，使得AD⊥BC，如图②．
（1）求直线BD与平面ADC所成的角；
（2）在线段BD上是否存在点E，使得二面角E﹣AC﹣D的平面角的大小为？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由．
21．已知F1，F2为椭圆C：的左、右焦点．点M为椭圆上一点，当∠F1MF2取最大值时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P为直线x＝4上一点（且P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为B'，连接AB'交x轴于点G．设△AF2G，△BF2G的面积分别为S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．
22．设f（x）＝aex（x+1），g（x）＝x2+bx+2，已知f（x）和g（x）在处有相同的切线．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）求f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；
（3）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
2022-2023学年浙江省杭州市长河高级中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．（5分）若直线l的一个方向向量为（﹣1，），则它的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：由题意知，直线l的斜率为k，
由k＝tanα知，倾斜角α＝120°．
故选：C．
2．（5分）已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（ ）
A．150，15B．150，20C．200，15D．200，20
【解答】解：由图1得样本容量为（350+200+450）×15%＝1000×15%＝150，
抽取贫困户的户数为200×15%＝30户，则抽取C村贫困户的户数为30×0.5＝15户．
故选：A．
3．（5分）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC1的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【解答】解：∵（）2
222
＝1+1+1+2×1×1×cs60°+2×1×1×cs60°+2×1×1×cs60°
＝6．
∴．
故选：D．
4．（5分）设空间两个单位向量（m，n，0），（0，n，p）与向量（1，1，1）的夹角的余弦值为，则〈〉＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，则，即，
又，即，且，
所以．
故选：C．
5．（5分）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：设P在渐近线上，直线FP的方程为，
由，得，即，
由，得P为FQ的中点，
又因为F（﹣c，0），
所以，
因为Q在双曲线上，所以，化简得：c2＝5a2，
所以．
故选：A．
6．（5分）已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2，该函数在x＝﹣1时有极值0，则a+b＝（ ）
A．4B．7C．11D．4或11
【解答】解：由f（x）＝x3+3ax2+bx+a2，得f′（x）＝3x2+6ax+b，
∵函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1处取得极值0，
∴f′（﹣1）＝0，f（1）＝0，
∴，解得或，
当a＝1，b＝3时，f′（x）＝3（x+1）2≥0，∴在x＝﹣1处不存在极值，舍去；
当a＝2，b＝9时，f′（x）＝3x2+12x+9＝3（x+1）（x+3），
∴x∈（﹣3，﹣1）时，f′（x）＜0，x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，
适合x＝﹣1处取得极值0，则a＝2，b＝9，则a+b＝11，
故选：C．
7．（5分）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵椭圆焦点为（±4，0），∴双曲线焦点为（±4，0），且c＝4，
将代入双曲线，
得，
又c2＝a2+b2＝16，
解得a2＝12，b2＝4，
故双曲线的方程为，
故选：D．
8．（5分）已知函数对于任意x∈（0，+∞）时，不等式xeax+lnx+ax＜1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．（﹣∞，﹣e）D．（﹣∞，﹣1）
【解答】解：由题设xeax+lnx+lneax＜1，即xeax+lnxeax＜1，
令f（x）＝x+lnx且x∈（0，+∞），上述不等式等价于f（xeax）＜f（1）＝1，
而，故f（x）在（0，+∞）上递增，则有xeax＜1在（0，+∞）上恒成立，
所以在（0，+∞）上恒成立，记（0，+∞），令g（t）＝tlnt，则g'（t）＝1+lnt，
当时，g'（t）＜0，则g（t）单调递减，当时，g'（t）＞0，则g（t）单调递增，
所以在（0，e）上递减，在（e，+∞）上递增，则，故．
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
（多选）9．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．若动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为
B．若动点P（x，y）到两定点F1（﹣5，0），F2（5，0）的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为
C．若P（x，y）到定点F（5，0）的距离和P（x，y）到定直线l：x＝﹣5的距离相等，则动点P的轨迹方程为y2＝20x
D．已知A（﹣2，0），B（2，0），若动点P（x，y）满足，则P（x，y）的轨迹方程是x＝0
【解答】解：选项A：由椭圆定义可知，2a＝10，a＝5，c＝4，焦点在x轴上，b2＝9，
所以动点P的轨迹方程为，A对；
选项B：由双曲线定义可知，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝8，
所以a＝4，c＝5，b2＝9，
所以动点P的轨迹方程为，（x＞0），B错；
选项C：由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，，
所以动点P的轨迹方程为y2＝20x，C对；
选项D：因为，
由圆的定义可知，圆心A（﹣2，0），半径r＝2，
所以动点P的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4，D错；
故选：AC．
（多选）10．（5分）在矩形ABCD中AB＝2AD＝2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折到△A1DE的位置，A1∉平面ABCD，M为A1C的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ）
A．恒有BM∥平面A1DE
B．B与M两点间距离恒为定值
C．三棱锥A1﹣DEM的体积的最大值为
D．存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD
【解答】解：对选项A：取A1D的中点N，连接MN，EN，可得MN＝BE且MN∥BE，所以四边形BMNE是平行四边形，
所以BM∥EN，又BM⊄平面A1DE，EN⊂平面A1DE，所以BM∥平面A1DE，故选项A结论正确；
（也可以延长DE，CB交于H，所以HB＝BC，所以MB∥A1H，又BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，从而BM∥平面A1DE）
对选项B：因为，，∠A1DE＝∠ADE＝45°，
根据余弦定理得，得，
因为EN＝BM，故，故选项B结论正确；
对选项C：因为M为A1C的中点，
所以三棱锥C﹣A1DE的体积是三棱锥M﹣A1DE的体积的两倍，
故三棱锥C﹣A1DE的体积，其中h表示A1到底面ABCD的距离，
当平面A1DE⊥平面ABCD时，h达到最大值，此时，
此时，
所以三棱锥A1﹣DEM体积的最大值为，故选项C结论错误；
对选项D：假设平面A1DE⊥平面A1CD，平面A1DE∩平面A1CD＝A1D，A1E⊥A1D，A1E⊂平面A1DE，
故A1E⊥平面A1CD，又A1C⊂平面A1CD，所以A1E⊥A1C，
则在△A1CE中，∠EA1C＝90°，，所以A1C＝1．
又因为A1D＝1，CD＝2，所以A1D+A1C＝CD，故A1，C，D三点共线，
所以A1∈CD，得A1∈平面ABCD，与题干条件A1∉平面ABCD矛盾，故选项D结论错误；
故选：CD．
（多选）11．（5分）已知曲线分别是曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若m＝﹣3，则曲线C的两条渐近线所成的夹角为
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝﹣27
C．若m＝6，则曲线C上不存在点P使得
D．若m＝4，P为曲线C上一个动点，则△F1PF2面积的最大值为
【解答】解：对于A选项，当m＝﹣3时，曲线表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为，
故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为，故A选项错误；
对于B选项，离心率e＝2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a＝3，e＝2，故c＝6，
所以﹣m＝c2﹣a2＝36﹣9＝27，所以m＝﹣27，故B选项正确；
对于C选项，若m＝6，则曲线表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝6，c2＝3，
设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为，
则，故∠F1MF2为锐角，
所以曲线C上不存在点P，使得，故C选项正确；
对于D选项，若m＝4，则曲线表示焦点在x轴上的椭圆，
此时a2＝9，b2＝4，c2＝5，P为C上一个动点，
则△PF1F2面积的最大值为，故D选项错误．
故选：BC．
（多选）12．（5分）设函数f（x）＝xlnx，，给定下列命题，其中正确的是（ ）
A．若方程f（x）＝k有两个不同的实数根，则
B．若方程kf（x）＝x2恰好只有一个实数根，则k＜0
C．若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）﹣g（x2）]＞f（x1）﹣f（x2）恒成立，则m≥1
D．若函数F（x）＝f（x）﹣2ag（x）有两个极值点，则实数
【解答】解：因为f（x）＝xlnx，
所以f（x）的定义域为（0，+∞），
则f'（x）＝lnx+1，
令f'（x）＞0，解得x，
可知f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当x→0时，f（x）→0，又f（1）＝0，
从而要使得方程f（x）＝k有两个不同的实根，即y＝f（x）与y＝k的图象有两个不同的交点，
所以，故选项A正确；
因为x＝1不是方程kf（x）＝x2的根，
当x≠1时，f（x）≠0，
方程kf（x）＝x2有且只有一个实数根，等价于y＝k与只有一个交点，
，又x＞0且x≠1，
令y′＞0，即lnx＞1，有x＞e，知在（0，1）和（1，e）单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
x＝1是一条渐近线，极小值为e．
由大致图象可知k＜0或k＝e，故选项B错误；
当x1＞x2＞0时，m[g（x1）﹣g（x2）]＞f（x1）﹣f（x2）恒成立等价于mg（x1）﹣f（x1）＞mg（x2）﹣f（x2）恒成立，
即函数y＝mg（x）﹣f（x）在（0，+∞）上为增函数，
即y'＝mg'（x）﹣f'（x）＝mx﹣lnx﹣1≥0恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
令，则，
令r'（x）＞0得lnx＜0，解得0＜x＜1，
从而r（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则r（x）max＝r（1）＝1，
所以m≥1，故选项C正确；
函数F（x）＝f（x）﹣2ag（x）有两个极值点，等价于F′（x）＝lnx+1﹣2ax＝0有两个不同的正根，
即方程有两个不同的正根，由选项C可知，0＜2a＜1，
即，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题，本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是 ．
【解答】解：分两种情况讨论如下：
甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；
甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；
综上，所求概率为．
故答案为：．
14．（5分）已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标 ．
【解答】解：设Q（x，y，z）
∵A（1，2，3），（2，1，2），P（1，1，2），
则由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得 （λ，λ，2λ）
则Q（λ，λ，2λ）
（1﹣λ，2﹣λ，3﹣2λ），（2﹣λ，1﹣λ，2﹣2λ）
∴（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）＝2（3λ2﹣8λ+5）
根据二次函数的性质可得当λ时，取得最小值此时Q点的坐标为：（ ）
故答案为：（ ）
15．（5分）已知直线l1：2x+3my﹣m+2＝0，l2：mx+6y﹣4＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为 ．
【解答】解：l1∥l2，
则，
∴m＝2，
∴直线l1，l2的方程分别为x+3y＝0，x+3y﹣2＝0，l1与l2之间的距离为．
故答案为：．
16．（5分）已知m，n为实数，f（x）＝ex﹣mx+n﹣1，若f（x）≥0对∀x∈R恒成立，则的最小值为 ﹣1 ．
【解答】解：因为f（x）＝ex﹣mx+n﹣1，所以f′（x）＝ex﹣m，
若m≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，不符合题意，
所以m＞0，令f′（x）＝0，解得x＝lnm，当x＜lnm时，f′（x）＜0，当x＞lnm时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，在（lnm，+∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（lnm）＝m﹣mlnm+n﹣1≥0，
所以n≥mlnm﹣m+1，则n﹣m≥mlnm﹣2m+1，
则lnm﹣2，
令g（x）＝lnx2，x∈（0，+∞），
则g′（x），
所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，
即g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（1）＝﹣1，
所以1，即的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100），得到如下的频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中m的值，利用样本估计总体的思想估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数、众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（2）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩，并从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，试求这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．
【解答】解：（1）10×（0.005+0.010+0.015+0.015+0.025+m）＝1，解得m＝0.030，
估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为（45×0.010+55×0.015+65×0.015+75×0.030+85×0.025+95×0.005）×10＝71，
因为[70，80）的频率为0.030×10＝0.3，频率最大，故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的众数为，
因为10×0.010＝0.1＜0.5，10×（0.010+0.015）＝0.25＜0.5，10×（0.010+0.015+0.015）＝0.4＜0.5，10×（0.010+0.015+0.015+0.030）＝0.7＞0.5，
故该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数落在[70，80）内，
设估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为x，
则（x﹣70）×0.030＝0.5﹣0.4，解得x≈73.33，
故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为73.33；
（2）由频率分布直方图得，质量指标值小于70的口罩为二等品的频率为10×（0.010+0.015+0.015）＝0.4，故一等品的频率为1﹣0.4＝0.6，
故一等品和二等品频率之比为0.6：0.4＝3：2，
故采用分层抽样可得从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩中，一等品个数为个，二等品个数为4个，
所以从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为．
18．已知直线l：（m﹣1）x+2my﹣5m+3＝0，m∈R和圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
（1）证明：圆C与直线l恒相交；
（2）求出直线l被圆C截得的弦长的最小值．
【解答】解：（1）l：（m﹣1）x+2my﹣5m+3＝0变形为m（x+2y﹣5）﹣x+3＝0，
令，解得，
故直线l过定点A（3，1），
圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
则圆心C（2，1），半径r＝2，
因为（3﹣2）2+（1﹣1）2＝1＜4，
故A（3，1）在圆C内，故圆C与直线l恒相交；
（2）解：因为直线l过定点A（3，1），且A（3，1）在圆C内，
故当直线l与AC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，
其中，
圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的半径为2，
故弦长最小值为．
19．已知函数f（x）＝x36x﹣a
（1）对任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若函数f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x36x﹣a
可得f′（x）＝3x2﹣9x+6＝3（x）2，
对任意实数x，f′（x）≥m恒成立，
故m，m的最大值为：．
（2）f′（x）＝3x2﹣9x+6＝3（x﹣2）（x﹣1），
f′（x）＞0可得x＞2或x＜1，f′（x）＜0可得1＜x＜2，
∴f（x）在（﹣∞，1）和（2，+∞）是增函数，在（1，2）上是减函数，
∴f（x）的极大值为：f（1），极小为f（2）＝2﹣a，
函数f（x）恰有一个零点，可得，
所以a的取值范围（﹣∞，2）或（，+∞）．
20．如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，将△ADC沿AC折起，使得AD⊥BC，如图②．
（1）求直线BD与平面ADC所成的角；
（2）在线段BD上是否存在点E，使得二面角E﹣AC﹣D的平面角的大小为？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，
∴由平面几何知识易得，∴，
∴AB2＝BC2+AC2，∴AC⊥CB，
又∵AD⊥BC，AD∩AC＝A，∴BC⊥平面ADC，
∴直线BD与平面ADC所成的角为∠BDC（或其补角），
∵，∴．
∴直线BD与平面ADC所成的角为．
（2）在线段BD上存在点E，使得二面角E﹣AC﹣D的平面角的大小为，理由如下：
由（1）知AC⊥CB，以C为坐标原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
∵BC⊥平面ADC，又∵BC⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC，∠ADC是顶角为的等腰三角形，知z轴与△ADC底边上的中线平行，
则，
∴，
令，则，∴，
设平面ACE的法向量，则，
令y＝t，则平面ACE的法向量，
平面ADC的一个法向量为，
要使二面角E﹣AC﹣D的平面角的大小为，
则，解得或t＝2（舍去）．
所以在线段BD上存在点E，使得二面角E﹣AC﹣D的平面角的大小为，此时E在线段BD上靠近D的三等分点处．
21．已知F1，F2为椭圆C：的左、右焦点．点M为椭圆上一点，当∠F1MF2取最大值时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P为直线x＝4上一点（且P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为B'，连接AB'交x轴于点G．设△AF2G，△BF2G的面积分别为S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．
【解答】解：（1）当M为椭圆短轴端点时∠F1MF2最大，依题意，，
则△F1MF2为正三角形，则a＝2c，
又，
∴，
又a2＝b2+c2，
∴a＝2，，c＝1，
∴椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（4，t）（t≠0），
若y1≠0，则在A处的切线的斜率必定存在，设该切线的方程为y＝k（x﹣x1）+y1＝kx+y1﹣kx1，
由，消去y并整理得，
则，即，故，
所以切线方程为，
故直线PA的方程为，
若y1＝0，则切线方程为x＝x1，
综上，PA的方程为，
同理可得直线PB的方程为，
又PA，PB都过点P（4，t），
则，，
所以AB方程为，即AB过定点（1，0）．
故设AB方程为x＝my+1，m≠0，
联立，消去x并整理可得，（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
∴，，
又B'（x2，﹣y2），
则直线AB'方程为，
令y＝0，得，
∴G（4，0），
∴，
当且仅当，即时取等号，
故|S1﹣S2|最大值为．
22．设f（x）＝aex（x+1），g（x）＝x2+bx+2，已知f（x）和g（x）在处有相同的切线．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）求f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；
（3）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）f'（x）＝aex（x+2），g'（x）＝2x+b，
依题意，即，
∴，
f（x）＝2ex（x+1），g（x）＝x2+4x+2．
（2）f（x）＝2ex（x+2），
f（x）在（﹣∞，﹣2）上递减，在（﹣2，+∞）递增，
∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2，
①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在[t，﹣2]递减，在[﹣2，t+1]递增，
．
②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]递增，
．
∴．
（3）令F（x）＝kf（x）﹣g（x）＝2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，
由题意x≥﹣2时，F（x）≥0恒成立，
∴F（0）＝2k﹣2≥0，∴k≥1，F'（x）＝2（x+2）（kex﹣1），
∵x≥﹣2，∴F（x）在[﹣2，+∞）上只可能有一个极值点，
①当，即k＞e2时F（x）在[﹣2，+∞）递增，
∴不合题意．
②当，即k＝e2时，F（x）min＝F（﹣2）＝0符合．
③当，即1≤k＜e2时，F（x）在上递减，在递增，
符合，
综上所述k的取值范围是[1，e2]．