(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习03《全称量词与存在量词》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，ln x＋x＜0，则¬p为( )
A.∀x∈(0，＋∞)，ln x＋x＜0
B.∃x∉(0，＋∞)，ln x＋x＜0
C.∀x∈(0，＋∞)，ln x＋x≥0
D.∀x∉(0，＋∞)，ln x＋x≥0
【答案解析】答案为：C
解析：因为原命题p为存在量词命题，所以其否定¬p为∀x∈(0，＋∞)，ln x＋x≥0.
命题“全等三角形的面积都相等”的否定是( )
A.全等三角形的面积都不相等
B.不全等三角形的面积都不相等
C.存在两个不全等三角形的面积相等
D.存在两个全等三角形的面积不相等
【答案解析】答案为：D
解析：因为命题“全等三角形的面积都相等”为全称量词命题，所以否定为存在两个全等三角形的面积不相等.
已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则¬p是( )
A.∃x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0
B.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0
C.∀x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0
D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0
【答案解析】答案为：B.
解析：根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知¬p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0.
已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则¬p：( )
A.∃x0∈R，sin x0≥1 B.∀x∈R，sin x≥1
C.∃x0∈R，sin x0＞1 D.∀x∈R，sin x＞1
【答案解析】答案为：C；
解析：由全称命题的否定定义得¬p：∃x0∈R，sin x0＞1.故选C.
已知命题p：∃x0∈R，lg2(3x0＋1)≤0，则( )
A.p是假命题；¬p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
B.p是假命题；¬p：∀x∈R，lg2(3x＋1)＞0
C.p是真命题；¬p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
D.p是真命题；¬p：∀x∈R，lg2(3x＋1)＞0
【答案解析】答案为：B
解析：∵3x0＞0，∴3x0＋1＞1，则lg2(3x0＋1)＞0，∴p是假命题，则¬p：
∀x∈R，lg2(3x＋1)＞0.故选B.
已知f(x)＝sinx－tanx，命题p：∃x0∈(0，eq \f(π,2))，f(x0)＜0，则( )
A.p是假命题，¬p：∀x∈(0，eq \f(π,2))，f(x)≥0
B.p是假命题，¬p：∃x0∈(0，eq \f(π,2))，f(x0)≥0
C.p是真命题，¬p：∀x∈(0，eq \f(π,2))，f(x)≥0
D.p是真命题，¬p：∃x0∈(0，eq \f(π,2))，f(x0)≥0
【答案解析】答案为：C
解析：x∈(0，eq \f(π,2))时，sinx＜tanx恒成立，所以命题p是真命题，排除A，B；
¬p：∀x∈(0，eq \f(π,2))，f(x)≥0，故选C.
“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A.∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立
B.∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C.∀x∈R，f(x)＞0成立
D.∀x∈R，f(x)≤0成立
【答案解析】答案为：A.
解析：“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解”的意思就是∃x0∈R，
使得f(x0)＞0成立.故选A.
“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A.∃x0∈R，f(x0)＞0 B.∃x0∈R，f(x0)≤0
C.∀x∈R，f(x)＞0 D.∀x∈R，f(x)≤0
【答案解析】答案为：A
解析：该命题是存在量词命题，等价于“∃x0∈R，f(x0)＞0”.
已知命题p：∀x∈R，2x2＋2x＋eq \f(1,2)＜0；命题q：∃x0∈R，sin x0－cs x0＝eq \r(2)，则下列判断正确的是( )
A.p是真命题 B.q是假命题 C.¬p是假命题 D.¬q是假命题
【答案解析】答案为：D
解析：p：2x2＋2x＋eq \f(1,2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋x＋\f(1,4)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2≥0，∴p为假命题，¬p为真命题.
q：sin x0－cs x0＝eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(π,4)))，∴x0＝eq \f(3,4)π时成立.故而q为真，而¬q为假命题.
下列命题为假命题的是( )
A.∀x∈R，2x－1＞0 B.∀x∈N*，(x－1)2＞0
C.∃x∈R，ln x＜1 D.∃x∈R，tan x＝2
【答案解析】答案为：B
解析：由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，A正确；当x＝1时，(x－1)2＝0，B错误；
当0＜x＜e时，ln x＜1，C正确；函数y＝tan x的值域为R，故∃x∈R，tan x＝2，D正确.
已知命题p：∀x∈[1，2]，使得ex－a≥0.若¬p是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，e2] B.(－∞，e] C.[e，＋∞) D.[e2，＋∞)
【答案解析】答案为：B
解析：命题p：∀x∈[1，2]，使得ex－a≥0.∴a≤(ex)min＝e，
若¬p是假命题，∴p是真命题，∴a≤e.则实数a的取值范围为(－∞，e].故选B.
已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x＋1，则关于f(x)，g(x)的语句为假命题的是( )
A.∀x∈R，f(x)＞g(x)
B.∃x1，x2∈R，f(x1)＜g(x2)
C.∃x0∈R，f(x0)＝g(x0)
D.∃x0∈R，使得∀x∈R，f(x0)－g(x0)≤f(x)－g(x)
【答案解析】答案为：A
解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝ex－1，于是当x＜0时F′(x)＜0，F(x)单调递减；当x＞0时F′(x)＞0，F(x)单调递增，从而F(x)有最小值F(0)＝0，于是可 以判断选项A为假，其余选项为真，故选A.
二、填空题
命题“∃x∈[﹣eq \f(π,4),eq \f(π,3)]，tanx≤m”的否定为 .
【答案解析】答案为：∀x∈[﹣eq \f(π,4),eq \f(π,3)]，tanx＞m;
若∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使asinθ≥a成立，则cs(θ﹣ eq \f(π,6))的值为________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,2).
解析：因为∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使asinθ≥a成立，所以sinθ≥1.
又sinθ∈[－1，1]，所以sinθ＝1，故θ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z).
所以cs(θ﹣ eq \f(π,6))＝cs[(eq \f(π,2)＋2kπ)﹣ eq \f(π,6)]＝cs(eq \f(π,3)＋2kπ)＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
若关于x的函数y＝eq \r(x2＋x＋m)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是_________.
【答案解析】答案为：[eq \f(1,4)，＋∞).
解析：由题意知应满足的条件为x2＋x＋m≥0恒成立，只需Δ＝1－4m≤0，解得m≥eq \f(1,4).
若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________.
【答案解析】答案为：(0，eq \f(1,2)].
解析：由于函数g(x)在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1，2]，
使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集.
函数f(x)的值域是[－1，3]，函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，
则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq \f(1,2).又a＞0，故a的取值范围是(0，eq \f(1,2)].
三、解答题
已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围.
【答案解析】解：法一：由题意知：x2＋2ax＋2－a＞0在[1，2]上有解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则只需f(1)＞0或f(2)＞0，
即1＋2a＋2－a＞0，或4＋4a＋2－a＞0.
整理得a＞－3或a＞－2.
即a＞－3.
故参数a的取值范围为(－3，＋∞).
法二：¬p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2a＋2－a≤0，,4＋4a＋2－a≤0.))解得a≤－3.
故命题p中，a＞－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞).
已知命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题.
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案解析】解：(1)命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题，
得x2－x－m＜0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m＞(x2－x)max，得m＞2，
即B＝{m|m＞2}.
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)＜0.
①当3a＞2＋a，即a＞1时，解集A＝{x|2＋a＜x＜3a}，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⫋B，
∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞).
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⫋B成立.
③当3a＜2＋a，即a＜1时，解集A＝{x|3a＜x＜2＋a}，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⫋B成立，
∴3a≥2，此时a∈[eq \f(2,3),1).
综上①②③可得a∈[eq \f(2,3),+∞).
已知命题：“∃x∈{x|－1＜x＜1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题.
(1)求实数m的取值集合M；
(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围.
【答案解析】解：(1)由题意知，方程x2－x－m＝0在(－1，1)上有解，
即m的取值范围就为函数y＝x2－x在(－1，1)上的值域，易知
M＝{m|－eq \f(1,4)≤m＜2}.
(2)因为x∈N是x∈M的必要条件，所以M⊆N.
当a＝1时，解集N为空集，不满足题意；
当a＞1时，a＞2－a，此时集合N＝{x|2－a＜x＜a}，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a<－\f(1,4)，,a≥2，))解得a＞eq \f(9,4)；
当a＜1时，a＜2－a，此时集合N＝{x|a＜x＜2－a}，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－\f(1,4)，,2－a≥2，))解得a＜－eq \f(1,4).
综上，a＞eq \f(9,4)或a＜－eq \f(1,4).
对于任意实数x，不等式sin x＋cs x＞m恒成立，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：令y＝sin x＋cs x，则y＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4)).
因为－1≤sin(x＋eq \f(π,4))≤1，所以eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))≥－eq \r(2).
因为∀x∈R，sin x＋cs x＞m恒成立，
所以只要m＜－eq \r(2)即可.
故实数m的取值范围是(－∞，－eq \r(2)).
已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；
(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)＞0成立，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可.
故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时m＞－4.
(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x).
若存在实数x使不等式m＞f(x)成立，
只需m＞f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，即得m＞4.
故所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
已知命题p：∀x∈R，x2＋(a﹣1)x＋1≥0成立，命题q：∃x0∈R，ax02﹣2ax0﹣3＞0不成立，若p假q真，求实数a的取值范围.
【答案解析】解：因为命题p：∀x∈R，x2＋(a﹣1)x＋1≥0是假命题，
所以命题p：∃x0∈R，x02＋(a﹣1)x0＋1＜0是真命题，
则Δ＝(a﹣1)2﹣4＞0，即(a﹣1)2＞4，
故a﹣1＜﹣2或a﹣1＞2，即a＜﹣1或a＞3.
因为命题q：∃x0∈R，ax02﹣2ax0﹣3＞0不成立，
所以命题q：∀x∈R，ax2﹣2ax﹣3≤0成立，
当a＝0时，﹣3＜0成立;
当a＜0时，必须Δ＝(﹣2a)2＋12a≤0，即a2＋3a≤0，解得﹣3≤a＜0，故﹣3≤a≤0.
综上所述，﹣3≤a＜﹣1.
所以实数a的取值范围是[﹣3，﹣1).