2024年数学中考一轮复习专题：圆

这是一份2024年数学中考一轮复习专题：圆，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，小红要制作一个母线长为7cm，底面圆半径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是（ ）
A．36πcm2B．42πcm2C．72πcm2D．84πcm2
2．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，1)B．(4，2)C．(5，2)D．(5，3)
3．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（ ）米
A．1B．0.8C．0.6D．0.5
4．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于（ ）
A．64°B．58°C．68°D．55°
5．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若∠A=30°，⊙O的半径等于6，则弧AC的长为（ ）
A．6πB．5πC．4πD．3π
6．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcmB．103πcmC．15πcmD．20πcm
7．如图，扇形OAB中，∠AOB=110°，OA=18，C是OB的中点，CD⊥OB交AB于点D，以OC为半径的CE交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+183B．81(3+2π)2C．81(23+π)4D．6π+363
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BDB．AD⊥OC
C．△CEF≌△BEDD．AF＝FD
二、填空题
9．圆O的半径为5，AB，CD为两条平行的弦，AB=8，CD=6．则这两条平行弦之间的距离为 ．
10．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 cm.
11．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是 ．
12．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是 cm.
13．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB=BF，CE=1，AB=6，则弦AF的长度为 .
14．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
15．如图，A、B、D是⊙O上三点，若∠A= 30°，则∠BOD =
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积= ．
三、解答题
17．如图，AB是⊙O直径，CD足⊙O的弦，∠C=30°．
（1）求∠ABD的度数．
（2）若⊙O的半径r=4，求BD的长．
18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E．
（1）若DE=BE，求证：AB=AC．
（2）若D、E为半圆的三等分点，且半径为2，图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π和根号）
19．如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4．延长CA到O，使AO=AC，以O 为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连结OD、CD．
（1）求扇形OAD的面积．
（2）判断CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
20．如图，AD是⊙O的直径.弦BC⊥AD于点M.F是AC上一点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，连接FC，BD.
（1）求证：∠EFC=∠BDA
（2）连接BF.若FC平分∠BFE，BC=4，AF=90°，求AE的长.
21．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
（1）作OC⊥MN于点C，求OC的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少．
22． 已知，在半圆O中，直径AB=10，点C，D在半圆O上运动，弦CD=5．
（1）如图1，当AC=BD时，求证：△CAB≌△DBA；
（2）如图2，若∠DAB=22.5°，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成图形）的面积；
（3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：
①点M的运动路径的总长 ；
②点M到AB的距离的最小值是 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】∵圆锥的母线长为7cm，底面圆半径是6cm，
∴圆锥的侧面积=6×7×π=42πcm2，
故答案为：B.
【分析】利用圆锥的侧面积的计算公式列出算式求解即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】如图所示，分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，垂直平分线的交点即是△ABC的外接圆的圆心，
∴△ABC外接圆的圆心坐标为（5，2），
故答案为：C.
【分析】利用三角形外接圆的定义作出外接圆，再直接求出外接圆的圆心即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】过点O作OC⊥AB于点C，连接OA、OB，如图所示：
根据题意可得：AC=BC=12AB=0.3m，
设OA=r，则OC=r-0.1，
在Rt△AOC中，AO2=OC2+AC2，
∴r2=（r-0.1）2+0.32，
解得：r=0.5，
故答案为：D.
【分析】设OA=r，则OC=r-0.1，利用勾股定理可得r2=（r-0.1）2+0.32，再求出r的值即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC-∠BAO=90°-32°=58°．
故答案为：B．
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．
5．【答案】B
【解析】【解答】连接AO、CO，如图所示：
∵AB⊥CD，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠D=180°-∠AED-∠A=180°-90°-30°=60°，
∴∠AOC=2∠D=2×60°=120°，
∵⊙O的半径等于6，
∴弧AC的长=120°×π×6180°=4π，
故答案为：C.
【分析】先求出∠D的度数，再利用圆周角的性质求出∠AOC=2∠D=2×60°=120°，最后利用弧长公式求出弧AC的长即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】根据题意可得：BC=7.5，∠A=30°，∠ACB=60°，
∴AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，
∴点A从开始到结束所经过的路径长为弧AA'的长，
∴弧A'A=120°×π×15180°=10π，
故答案为：A.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，再利用弧长公式求解即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】连接OD，BD，如图所示：
∵点C是OB的中点，
∴OC=12OB=12OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△BDO为等边三角形，OD=OB=18，OC=CB=9，
∴CD=3OC=93，
∴S扇形BOD=60°×π×182360°=54π，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-（S扇形BOD-S△COD）
=110°×π×182360°−110°×π×92360°−（54π−12×9×93）
=81(23+π)4，
故答案为：C.
【分析】先证出△BDO为等边三角形，OD=OB=18，OC=CB=9，求出CD的长，再利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴AC=CD ，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】由题意易得 AC=CD ，则根据垂径定理及推论可进行排除选项.
9．【答案】1或7
【解析】【解答】①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB//CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=12AB=4，CF=12CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=OA2−AE2=52−42=3，OF=OC2−CF2=52−32=4，
∴EF=OF-EO=4-3=1，
②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，OC，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=12AB=4，CF=12CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=OA2−AE2=52−42=3，OF=OC2−CF2=52−32=4，
∴EF=OF+EO=4+3=7，
综上，这两条平行弦之间的距离为1或7，
故答案为：1或7.
【分析】分类讨论：①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，再分别画出图象并利用垂径定理及勾股定理求解即可.
10．【答案】25
【解析】【解答】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，
∴直角三角形的斜边长= 72+242=25 （cm），
∵直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，
∴这个三角形的外接圆的直径长为25cm.
故答案是：25.
【分析】先用勾股定理求值直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆的特征，即可求解.
11．【答案】（2，0）
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
12．【答案】40
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则 270πr180 =60π，
解得：r=40cm，
故答案为：40cm.
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可.
13．【答案】485
【解析】【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE=BE=12AB=3，
设⊙O的半径为r，则OE=r−1，OA=r，
在RtΔOAE中，32+(r−1)2=r2，解得r=5，
∵AB=BF，
∴OB⊥AF，AG=FG，
在RtΔOAG中，AG2+OG2=52，①
在RtΔABG中，AG2+(5−OG)2=62，②
解由①②组成的方程组得到AG=245，
∴AF=2AG=485.
故答案为485.
【分析】连接OA、OB，OB交AF于G，由垂径定理可得AE=BE=12AB=3，设⊙O的半径为r，则OE=r−1，OA=r，在RtΔOAE中，利用勾股定理建立关于r方程并解之，即得OA=5，由AB=BF可得OB⊥AF，AG=FG，在RtΔOAG中，AG2+OG2=52①，在RtΔABG中，AG2+(5−OG)2=62②，联立①②可得AG的长，继而得解.
14．【答案】4
【解析】【解答】解：由题意得∠P所对应的圆心角的度数为110°，
∴360÷110≈3.27，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台，
故答案为：4
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠P所对应的圆心角的度数，进而结合题意即可求解。
15．【答案】60
16．【答案】23π
【解析】【解答】解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴S△AFD=S△OFA，
∴S阴=S扇形OFA，
∵OD=OA=2，AB=6，
∴OB=4，
∴OB=2OD，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OF=OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴S阴影部分=S扇形OFA=60π⋅22360=2π3，
故答案为：2π3．
【分析】先求出∠ODA=∠DAC，再求出△AOF是等边三角形，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
17．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠A=90°，
∵∠A=∠C=30°，∴∠ABD=90°−30°=60°；
（2）解：∵∠A=30°，∠ADB=90°，AB=2BD，
∵⊙O的半径r=4，AB是⊙O直径，
∴AB=2r=8，∴BD=4．
【解析】【分析】（1）利用圆周角的性质可得∠ADB=90°，∠A=∠C=30°，再利用三角形的内角和求出∠ABD的度数即可；
（2）根据“ ⊙O的半径r=4，AB是⊙O直径”可得AB=2r=8，再求出BD=4即可.
18．【答案】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，
∴∠AEC=∠AEB=90°，∵DE=BE，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AΕ=AΕ，
∴△ABE≌△ACE(ASA)，
∴AB=AC；
（2）23π−3
【解析】【解答】（2）连接OE，如图所示：
∵D、E为半圆的三等分点，
∴∠BOE=13×180°=60°，
∵OE=OB，
∴△OEB是等边三角形，
∴∠EOB=60°，
∵OE=2，
∴S△OEB=S扇形OBE-S△OEB=60°×π×22360°−3×224=2π3−3，
故答案为：23π−3.
【分析】（1）先利用“ASA”证出△ABE≌△ACE，再利用全等三角形的性质可得AB=AC；
（2）利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=12AB=12×4=2，∠BAC=60°．
∴AO=AC=2，∠OAD=∠BAC=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴∠AOD=60°．
∴S扇形OAD=60π×22360=2π3．
（2）解：CD所在直线与⊙O相切．
理由：∵△OAD是等边三角形，
∴AO=AD，∠ODA=60°．
∵AO=AC，
∴AC=AD．
∴∠ACD=∠ADC=12∠BAC=12×60°=30°．
∴∠ODC=∠ODA+∠ADC=60°+30°=90°，即OD⊥CD．
∵OD为⊙O的半径，
∴CD所在直线与⊙O相切．
20．【答案】（1）证明：连接AB，
∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
又∠CFE+∠AFC=180°，∴∠CFE=∠ABC，
∵弦BC⊥AD，AD是⊙O的直径，
∴AB=AC，
∴∠ADB=∠ABC，
∴∠EFC=∠BDA；
（2）解：连接AC，BO，FO，设AD与BC交丁点M，
∵FC平分∠BFE，
∴∠CFE=∠CFB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠CFB=∠CAB，∠CFE=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又BC⊥AD，AB=AC，
∴∠BAD=12∠BAC=30°，
∵弦BC⊥AD，AD是⊙O呐直径，BC=4，AF=90°，
∴BM=12BC=2，
∴AB=2BM=4，
∴AM=AB2−BM2=23，
∵AF=90°，
∴∠AOF=90°，
又AO=FO，
∴∠OAF=45°，
又BC⊥AD，
∴∠E=45°，
∴∠OAF=∠E，
∴AM=EM=23，
∴AE=AM2+EM2=26.
21．【答案】（1）解：连接OM，
∵O为圆心，OC⊥MN，MN＝48cm，
∴MC=12MN=24cm，
∵AB＝52cm，
∴OM=12AB=26cm，
在 Rt△OMC 中，OC=OM2−MC2=262−242=10cm，
∴OC的长为10cm；
（2）解：过O作 OD⊥EF，连接OE，
由题得，OD＝10+14＝24cm，
在 Rt△OED 中，ED＝OE2−OD2＝262−242＝10cm，
∴EF＝2ED＝20cm，
∴48﹣20＝28cm
∴水面截线减少了28cm．
22．【答案】（1）证明：∵CD=CD，
∴∠CAD=∠DBC，
∵AC=BD，
∴∠DAB=∠CBA，AC=BD，
∴∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA．
即∠CAB=∠DBA，
在△CAB和△DBA中，
AC=BC∠CAB=∠DBAAB=BA，
∴△CAB≌△DBA(SAS)；
（2）解：过D作DH⊥AB于H连接OD，如图：
∵半圆O中，直径AB=10，
∴OA=OD=5，
∵∠DAB=∠ADO=22.5°，
∴∠DOB=∠OAD+∠ADO=45°，
∴DH=22OD=522，S扇形DOB=45×π×52360=258π，
∴S△AOD=12OA⋅DH=2542，
∴S阴影部分=S扇形DOB+S△AOD=2542+258π；
（3）3π；343
【解析】【解答】解：（3）①连接OM、OD，如图所示：
∵M是CD中点，
∴OM是弦CD的中垂线，
在Rt△DOM中，∠OMD=90°，DM=12CD=32，OD=3，则，OM=323
∠DOM=30°，
∴M在以O为圆心、OM为半径的弧上运动，如图所示：
从而，当C与A重合或者D与B重合时，∠POR=180°−2×30°=120°，
∴lPR=120°360°·2π·OM=13×2π×323=3π，
故答案为：3π；
②当C与A重合或者D与B重合时，点M到AB的距离取得最小值，
在Rt△OPN中，∠ONP=90°，∠PON=30°，OP=OM=323，
则点M到AB的距离的最小值为PN=12OP=12×323=343，
故答案为：343．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠CAD=∠DBC，∠DAB=∠CBA，AC=BD，则∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA，可得∠CAB=∠DBA，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）过D作DH⊥AB于H连接OD，根据等边对等角性质可得∠DAB=∠ADO=22.5°，则∠DOB=∠OAD+∠ADO=45°，再根据锐角三角函数可得DH=22OD=522，则S阴影部分=S扇形DOB+S△AOD，结合扇形面积公式和三角形面积公式即可求出答案.
（3）①连接OM、OD，根据垂径定理可得OM是弦CD的中垂线，根据含30°角直角三角形判定定理可得
OM=323，∠DOM=30°，则M在以O为圆心、OM为半径的弧上运动，当C与A重合或者D与B重合时，lPR⌢=120°360°·2π·OM=13×2π×323=3π，即可求出答案.
②当C与A重合或者D与B重合时，点M到AB的距离取得最小值，根据含30°角的直角三角形性质可得PN=12OP=12×323=343，即可求出答案.