专题08 与角有关的计算-2023-2024学年七年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）

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如图，点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分．若，求的度数；
解：∵，（已知）
∴______=_______°．
∵平分（已知）
∴______=_______°（角平分线定义）
∵（已知）
∴______=______°．
【答案】，，，，，
【详解】解：∵，（已知）
∴．
∵平分（已知）
∴（角平分线定义）
∵（已知）
∴．
故答案为：，，，，，．
2．已知，如图，从点引出，，，四条射线，，分别是，的角平分线．
(1)如图1，若，，，求的度数．
①依题意补全图1；
②完成下面解答过程．
解：如图1，
平分，平分，
，．
，，，
，，
， ．
．
(2)如图2，若，，，则的度数是 ．
(3)如图2，若，，则的度数是 ．（用含，的式子表示）
【答案】(1)①见解析；②角平分线的定义；；；(2)；(3)
【详解】（1）①补全图形如图1，
②如图1，
平分，平分，
，．（角平分线的定义）
，，，
，，
，．
．
故答案为：角平分线的定义；；；
（2）平分，平分，
，．（角平分线的定义）
，，，
，，
，．
．
故答案为：；
（3）平分，平分，
，．（角平分线的定义）
，，
，，
，．
．
3．如图，是的平分线，是的平分线．如果，，那么是多少度？
【答案】
【详解】解：是的平分线，是的平分线，
，，
，，
．
4．如图，已知∠AOD＝80°，∠AOB＝30°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOC和∠COD的度数．
【答案】∠AOC＝60°，∠COD＝20°
【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，∠AOB＝30°，
∴∠AOC＝2∠AOB＝60°，
∵∠AOD＝80°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°．
5．如图，∠AOD＝70°，∠COD＝20°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOB的度数．
【答案】25°
【详解】∵
∴
∵OB是∠AOC的平分线
∴
6．如图所示，已知，从点出发的一条射线满足，是的平分线，是的平分线，请补全图形（画出符合题意的草图即可），并求出的大小．
【答案】图见解析，或
【详解】解：如图1所示．
，是的平分线，
．
，是的平分线，
．
；
如图2所示．
，是的平分线，
．
，是的平分线，
．
．
等于或．
7．如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如果，，则的度数为 ；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
，
是平分线，
，
故答案为：；
（2）平分，平分，
，，
，
，
．
8．己知，
(1)如图1，平分，平分，若，则是__________°；
(2)如图2，、分别平分和，若，求的度数．
(3)若、分别平分和，，则的度数是__________（直接填空）．
【答案】(1)11；(2)；(3)
【详解】（1）∵平分，平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）①若或至少有一个在内部时，如下图，
则
；
②若和都在外部时，如下图，
则
，
综上的度数为或．
故答案为：或．
9．如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
【答案】135°
【详解】解：∵点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
∠DOF＝∠BOF＝∠DOB，
∴∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，
∴∠EOF的度数为：90°＋45°＝135°．
10．如图，已知，平分，且，求的度数．
【答案】108°
【详解】解：设，则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
解得，，
∴．
11．如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF＝180°
(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度数：
(2)若CB是∠ACF的平分线，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．
【答案】(1)40°；(2)k=2
【详解】（1）
解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴∠BCF＝40°．
（2）
解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF，
∵CB是∠ACF的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF＝∠BCD，
∵∠ADB＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝2∠ABD，
∴k=2．
12．如图，直线，相交于点，平分，平分，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)30°.(2)45°．
【详解】（1）∵∠AOD=2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°.
∴∠BOD＝×180°＝60°.
∵OE平分∠BOD.
∴∠DOE＝∠BOE=∠BOD＝×60°＝30°.
（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°.
∵OF平分∠COE.
∴∠EOF＝∠COE＝×150°＝75°.
由（1）得，∠BOE＝30°，
∴∠BOF＝∠EOF-∠BOE＝75°-30°＝45°．
13．如图，О为直线AB上一点，∠AOC＝70°，OD是∠AOC的平分线．∠DOE＝90°．
(1)图中小于平角的角的个数是 个；
(2)求∠BOD的度数；
(3)猜想OE是否平分∠BOC，并说明理由．
【答案】(1)9；(2)145°；(3)OE平分，理由见解析．
【详解】（1）
解：小于平角的角有∠AOD，∠DOC，∠COE，∠EOB，∠AOC，∠AOE，∠DOE，∠DOB，∠COB共9个，
故答案为：9；
（2）
∵，OD是的平分线，
∴，
∴；
答：的度数为145°；
（3）
OE平分，理由如下：
∵，
∴，
∴
∴OE平分．
14．如图，点O是直线上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数．
【答案】(1)20°；(2)144°
【详解】（1）
解：，
．
平分，
．
，
．
（2）
解：，
．
平分，
．
，
．
．
．
．
15．已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）
(1)如图1，当∠COE＝40°时，求∠AOB的度数；
(2)当∠AOE＝90°时，请在图2中画出射线OE，OB，并直接写出∠AOB的度数．
【答案】(1)110°；(2)150°
【详解】（1）
解：∵OE是∠COB的平分线（已知），
∴∠COB＝2∠COE（角平分线定义）．
∵∠COE＝40°，
∴∠COB＝80°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝110°．
（2）
解：射线OE，OB为所求作的射线，如图所示：
∵∠AOC＝30°，∠AOE＝90°，
∴∠COE＝90°-30°=60°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB＝2∠COE＝120°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝150°．
16．已知直线AB和CD相交于点O，，OF平分，，求的度数．
【答案】22°
【详解】解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
．
17．如图，∠AOC＝∠BOC＝50°，OD平分∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．
【答案】∠AOB＝150°，∠COD＝25°
【详解】解：∵∠AOC＝∠BOC＝50°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝150°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝75°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝75°﹣50°＝25°．
18．如图，已知，平分，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若是内任意一条射线，求的度数．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）
解：因为平分，平分，
所以，．
因为，
所以．
所以．
所以．
（2）
解：因为平分，平分，
所以，．
因为，
所以．
因为，
所以．
19．已知、分别平分、，若，，求的度数．
【答案】
【详解】∵、分别平分、，且，
∴，
∴
∴
20．如图，是内的一条射线，、分别平分、．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，试猜想与、的数量关系并说明理由．
【答案】(1)；(2)，理由见解析
【详解】（1）解：，，
，
、分别平分、，，
，
，
；
（2），，
，
、分别平分、，
，
，
．
21．如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以为顶点的相等的角；
(2)若，求度数；
(3)写出与之间所具有的数量关系；
(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
【答案】(1)，；(2)；(3)与互补；(4)不变，见解析
【详解】（1）解：根据同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．
（2）解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝150°−90°＝60°，
∴∠DCE＝90°−∠ACE＝90°−60°＝30°．
（3）解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴∠ACB与∠DCE互补．
（4）解：不变化．
∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴无论如何旋转，∠ACB与∠DCE互补．
22．如图，OB，OD分别平分∠AOC，∠COE．∠AOE＝160°，∠AOB＝36°．求∠AOD的度数．
【答案】116°
【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB=∠COB=∠AOC，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠DOE=∠DOC=∠COE，
∴∠DOB=∠COB+∠DOC=（∠AOC+∠EOC）=×160°=80°，
∵∠AOB=36°，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=80°+36°=116°．
23．如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：
(1)∠EOC的大小；
(2)∠AOC的大小．
【答案】(1)60°；(2)105°．
【详解】（1）
解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，
∴∠EOC=4∠COD=4×15°=60°；
（2）解：∵∠EOC=60°，∠COD＝15°，
∴∠EOD=∠EOC-∠COD=60°-15°=45°．
∵OE为∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠EOD=2×45°=90°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=90°+15°=105°．
24．如图，，，平分，平分，
(1)求的度数=___________．
(2)如果将题目条件中“”改为“”，其他条件不变，求的度数=___________．
(3)如果将题目条件中“”改为“（为锐角）”，其他条件不变，求的度数=___________．
(4)从（1）（2）（3）所求的结果中你能看出与的关系___________．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
（4）解：设，（为锐角），
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
25．如图，直线相交于点O。已知，在内部引一条射线，且，请解答下列问题：
(1)度数是___________；度数是___________；
(2)将射线绕点O逆时针旋转到
①如图2，当平分时，说明平分；
②当时，请求出α的度数
【答案】(1)；；(2)①见解析；②当时，α的度数为或者
【详解】（1）解：∵，，
∴；
∵，
∴；
故答案为：；；
（2）解：①当平分时，
∵，
又∵
∴，
∴平分．
∴当平分时是平分．
②当时，且OF在下方时，
∵，
∴，
当时，且在上方时，相当于比在下方时多旋转了，
∴．
综上所述：当时，α的度数为或者．
26．已知O是直线AB上的一点，，OE平分．
(1)如图①，若，则___________．
(2)如图①，若，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)成立，理由见解析
【详解】（1）∵，
∴，
∵OE平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
∴，
∴，
∵OE平分，
∴；
∴．
（3）成立，理由如下：
设，
∴，
∵OE平分，
∴；
∴．
∴（2）中所求出的结论还成立．
27．
(1)如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补；
(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是 ．
【答案】(1)∠AOD+∠BOD＝90°，理由见解析；(2)见解析；(3)45°或|β﹣45°|
【详解】（1）
解：（1）∠AOD+∠BOD＝90°，
理由如下：
∵∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣38°＝52°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝26°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝38°+26°＝64°，
∴∠AOD+∠BOD＝64°+26°＝90°．
（2）
（2）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即∠AOC与∠BOC互补；
（3）
（3）如图，
∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，
∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ
＝∠EPQ+∠FPQ
＝∠EPF，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，
∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，
即∠EPF＝90°，
∴∠MPN＝45°；
如图：
∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，
∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|∠EPQ﹣∠FPQ|，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β，
∴∠FPQ＝90°﹣β，
∴∠MPN＝|β﹣∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|，
故答案为：45°或|β﹣45°|．
28．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得．
(1)如图1，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为 ；
(2)如图2，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数；
(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数．
【答案】(1)；(2)；(3)或
【详解】（1），，
，
为的角平分线，
，
；
（2），
，
为的角平分线，平分，
，，
；
（3）分两种情况：
当在的内部时，如图：
，平分，
，
，
，
平分，
，
；
当在的外部时，如图：
，平分，
，
，
，
平分，
，
；
综上所述，的度数为或．
29．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于
(1)如图2，当绕点逆时针旋转到与重合时，则 ；
(2)如图3，当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即时，求的度数；
(3)当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即，且，其中为正整数）时，则 ．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解： ，，
，
；
故答案为：100；
（2），，，
，，
，，
；
（3）①当时，如图1，
，
，
，
；
②当时，如图2，
，
，
，
；
③当时，如图3，
，
，
，
；
综上所述：的度数为．
故答案为：100．
30．已知：点O为直线上一点，，射线平分．
(1)如图1所示，若，则
(2)若将绕点O旋转至图2的位置，试判断和的数量关系，说明理由；
(3)若将绕点O旋转至图3的位置，和的数量关系是否发生变化？并请说明理由．
(4)若将绕点O旋转至图4的位置，继续探究和的数量关系，请直接写出和之间的数量关系： ．
【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)不变，理由见解析；(4)
【详解】（1），
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）．理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵A、O、B在同一直线上，
∴
，
即：；
（3），理由如下；
∵平分，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
即：，
故答案为：．