江苏省南通市海安市西片13校联考2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份江苏省南通市海安市西片13校联考2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南通市海安市西片13校联考八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分共30分）
1．下面图标中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．平面直角坐标系中，点P（2，1）关于x轴的对称点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
3．计算（a﹣2b）2＝（　　）
A．a2﹣4ab+4b2 B．a2+4ab+4b2 C．a2﹣4ab﹣4b2 D．a2+4ab﹣4b2
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AC＝5，AD＝3，则点D到AB边的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．若（x+2）（x﹣a）的乘积中不含x的一次项，则a＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（　　）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
8．如图，长方形A的周长为a，面积为b，那么从正方形中剪去两个长方形A后得到的阴影部分的面积为（　　）

A．﹣2b B．a2﹣2b C．4a2﹣2b D．（a+b）2﹣2b
9．已知a＝3231，b＝1641，c＝851，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c
10．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
二、填空题（共8小题，11～12题每小题3分，13～18题每小题3分，共30分）
11．已知3x+1＝27，则x＝　 　．
12．计算：（2×103）×（8×105）＝　 　．
13．若x2+mx+25是完全平方式，则m＝　 　．
14．若点A（m，n）与点B（3，2）关于y轴对称，则（m+n）2021的值是　 　 　．
15．如图，AC＝BC，∠B＝72°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是 　 　．

16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是　 　．
17．已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　 　．
18．如图，在△ABC中，AB、BC的中垂线交于点P，若∠DPE＝70°，则∠PAC的度数为 　 　．

三、解答题（共8小题，共90分）
19．计算：
（1）（﹣3x2y2z）•x（x2y）2；
（2）（y+2x）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2x（2x﹣y）；
（3）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）．
20．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1．
（2）△ABC的面积是 　 　．
（3）在DE上画出点P，使PB1+PC最小．

21．如图，在长方形ABCD中，AF⊥BD于E，交BC于F，连接DF．
（1）图中有全等三角形吗？
（2）图中有面积相等但不全等的三角形吗？

22．甲、乙两人同时计算一道整式乘法题：（2x+a）•（3x+b）．甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成﹣a，得到的结果为6x2+11x﹣10，乙由于抄漏了第二个多项式中x的系数，即把3x抄成x，得到的结果为2x2﹣9x+10，请你计算出这道整式乘法题的正确结果．
23．如图，△ABC的两条高线BD、CE，延长CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，连接AP、AQ，请判断AQ与AP的数量与位置关系？并证明你的结论．

24．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝　 　．
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　．
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　（其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：27+26+25+24+23+22+2+1．
25．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

26．几何探究
在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE．
（2）如图2，若点D在线段CB的延长线上，∠BCE＝α，∠BAC＝β．则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
（3）如图3，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，BC＝4，求S△DCE最大值．



参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分共30分）
1．下面图标中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．平面直角坐标系中，点P（2，1）关于x轴的对称点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
则点P（2，1）关于x轴的对称点P′的坐标是（2，﹣1）．
故选：C．
3．计算（a﹣2b）2＝（　　）
A．a2﹣4ab+4b2 B．a2+4ab+4b2 C．a2﹣4ab﹣4b2 D．a2+4ab﹣4b2
【分析】根据完全平方公式的结构特征进行计算求解．
解：原式＝a2﹣2a•2b+（2b）2
＝a2﹣4ab+4b2，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AC＝5，AD＝3，则点D到AB边的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE＝DC，由条件可求得CD的长，则可求得答案．
解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝5，AD＝3，
∴CD＝5﹣3＝2，
∴DE＝2，
故选：B．

5．若（x+2）（x﹣a）的乘积中不含x的一次项，则a＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据多项式乘以多项式展开，然后使一次项的系数为0即可求得结果．
解：原式＝x2+2x﹣ax﹣2a
＝x2+（2﹣a）x﹣2a
2﹣a＝0，解得a＝2．
故选：B．
6．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：如图所示：在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，符合题意的有：1，2，3，4，5共5个，
故选：D．

7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（　　）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【分析】先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出P点的坐标即可．
解：如图所示：有两种情况，

∵A（2，0），B（4，2），以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，
∴P1的坐标是（4，﹣2），P2的坐标是（﹣2，﹣2），
故选：C．
8．如图，长方形A的周长为a，面积为b，那么从正方形中剪去两个长方形A后得到的阴影部分的面积为（　　）

A．﹣2b B．a2﹣2b C．4a2﹣2b D．（a+b）2﹣2b
【分析】设长方形A的长为m，宽为n，则2（m+n）＝a，mn＝b，由题意得从正方形中剪去两个长方形A后得到的阴影部分的面积为（）²﹣2b＝﹣2b．
解：设长方形A的长为m，宽为n，则2（m+n）＝a，mn＝b，
∴该正方形的边长为m+n＝，
∴从正方形中剪去两个长方形A后得到的阴影部分的面积为
（）²﹣2b＝﹣2b．
故选：A．
9．已知a＝3231，b＝1641，c＝851，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c
【分析】根据有理数的大小关系、有理数的乘方、幂的乘方解决此题．
解：根据有理数的乘方以及幂的乘方，a＝3231＝（25）31＝2155，b＝1641＝（24）41＝2164，c＝851＝（23）51＝2153．
∴根据有理数的大小关系，得2153＜2155＜2164，即b＞a＞c．
故选：D．
10．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
【分析】根据垂直平分线的性质可得AM＝CM，即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，根据面积求出AD的长，即可解决问题．
解：连接AM，

∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，
∴AM＝CM，
∴CM+DM＝DM+AM，
即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝2cm，
∵等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，
∴AD＝8cm，
∴△CDM周长的最小值为AD+CD＝10cm，
故选：D．
二、填空题（共8小题，11～12题每小题3分，13～18题每小题3分，共30分）
11．已知3x+1＝27，则x＝　2　．
【分析】把27转化为33，从而可得x+1＝3，即可求解．
解：3x+1＝27，
则3x+1＝33，
故x+1＝3，
解得：x＝2．
故答案为：2．
12．计算：（2×103）×（8×105）＝　1.6×109　．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
解：原式＝2×8×108＝1.6×109．
故答案为：1.6×109．
13．若x2+mx+25是完全平方式，则m＝　±10　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
解：∵x2+mx+25是完全平方式，
∴m＝±10，
故答案为：±10
14．若点A（m，n）与点B（3，2）关于y轴对称，则（m+n）2021的值是　 　﹣1　．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此求出m、n的值，代入计算可得．
解：∵点A（m，n）与点B（3，2）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
所以（m+n）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．如图，AC＝BC，∠B＝72°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是 　2　．

【分析】由AC＝BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确定△BAD与△CAD也是等腰三角形．
解：由图可知，∵AC＝BC，∠B＝72°，
∴∠C＝36°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是2个．
故答案为2．
16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是　65°或25°　．
【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．

17．已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　5　．
【分析】由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答．
解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，
∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy，
∴58﹣18＝8xy，
∴xy＝5．
故答案是：5．
18．如图，在△ABC中，AB、BC的中垂线交于点P，若∠DPE＝70°，则∠PAC的度数为 　20°　．

【分析】连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，PB＝PC，进而得出PA＝PC，根据等腰三角形的性质求出∠APC，根据三角形内角和定理计算即可．
解：连接PB、PC，
∵AB、BC的中垂线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PC，
∵PA＝PB，PD⊥AB，
∴∠APD＝∠BPD，
同理可得：∠BPE＝∠CPE，
∴∠APC＝2∠DPE＝140°，
∴∠PAC＝∠PCA＝×（180°﹣140°）＝20°，
故答案为：20°．

三、解答题（共8小题，共90分）
19．计算：
（1）（﹣3x2y2z）•x（x2y）2；
（2）（y+2x）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2x（2x﹣y）；
（3）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）．
【分析】（1）先利用积的乘方和幂的乘方运算法则计算乘方，然后再根据单项式乘单项式的运算法则计算乘法；
（2）先根据完全平方公式计算乘方，然后根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘法，最后算加减；
（3）将原式变形，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算．
解：（1）原式＝（﹣3x2y2z）•x•x4y2
＝﹣3x2+1+4y2+2z
＝﹣3x7y4z；
（2）原式＝4x2﹣y2+x2+y2+2xy﹣4x2+2xy
＝x2+4xy；
（3）原式＝[m﹣（2n﹣3）][m+（2n﹣3）]
＝m2﹣（2n﹣3）2
＝m2﹣（4n2﹣12n+9）
＝m2﹣4n2+12n﹣9．
20．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1．
（2）△ABC的面积是 　　．
（3）在DE上画出点P，使PB1+PC最小．

【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据分割法把三角形面积转化为矩形面积减去三个三角形．
（3）直接连接CB1，与y轴的交点就是点P．
解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×1×2＝，
故答案为：．
（3）如图，点P即为所求．

21．如图，在长方形ABCD中，AF⊥BD于E，交BC于F，连接DF．
（1）图中有全等三角形吗？
（2）图中有面积相等但不全等的三角形吗？

【分析】（1）根据长方形的对边相等，每一个角都是直角可得AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，然后利用“边角边”证明Rt△ABD和Rt△CDB全等；
（2）根据等底等高的三角形面积相等解答．
解：（1）有，Rt△ABD≌Rt△CDB，
理由：在长方形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（SAS）；

（2）有，△BFD与△BFA，△ABD与△AFD，△ABE与△DFE，△AFD与△BCD面积相等，但不全等．
22．甲、乙两人同时计算一道整式乘法题：（2x+a）•（3x+b）．甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成﹣a，得到的结果为6x2+11x﹣10，乙由于抄漏了第二个多项式中x的系数，即把3x抄成x，得到的结果为2x2﹣9x+10，请你计算出这道整式乘法题的正确结果．
【分析】根据甲、乙两人看错的多项式分计算，然后跟甲、乙两人的结果对比，列出关于a，b的方程，即可解答．
解：（2x﹣a）•（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab，
∴2b﹣3a＝11 ①，
（2x+a）•（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab，
∴2b+a＝﹣9 ②，
由①和②组成方程组，
解得：，
∴（2x﹣5）•（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
23．如图，△ABC的两条高线BD、CE，延长CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，连接AP、AQ，请判断AQ与AP的数量与位置关系？并证明你的结论．

【分析】根据垂直的定义得到∠ADB＝∠AEC＝90°，得到∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．
∵BP＝AC，CQ＝AB，
在△APB和△QAC中，
，
∴△APB≌△QAC（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，
∵∠CQA+∠QAE＝90°，
∴∠BAP+∠QAE＝90°．
即AP⊥AQ．
24．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝　a2﹣b2　．
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　．
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　a4﹣b4　．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　an﹣bn　（其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：27+26+25+24+23+22+2+1．
【分析】（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．
解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；

（2）由（1）的规律可得：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）．
故答案为：an﹣bn；

（3）27+26+25+24+23+22+2+1
＝（2﹣1）（27+26+25+24+23+22+1）
＝（2﹣1）（27+26×1+25×12+24×13+23×14+2×15+×16+1）
＝28﹣18
＝255．
25．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）经过2秒后，PB＝4cm，PC＝6cm，CQ＝4cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP；
（2）可设点Q的运动时间为ts△CPQ是等腰三角形，则可知PB＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝（12﹣4t）cm，PQ＝（6t﹣6）cm，分三种情形分别求解即可解决问题．
解：（1）△BPD与△CQP全等；理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，
有BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，
则CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，
CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝×12＝6cm，
∴BP＝CQ，BD＝CP，
又∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）不存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形；理由如下：
设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP＝2tcm，AQ＝4tcm，
∴t的取值范围为0≤t≤3，
则CP＝10﹣2t，CQ＝12﹣4t，
∵△CPQ的周长为16cm，
∴PQ＝16﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）＝6t﹣6，
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP＝CQ时，则有10﹣2t＝12﹣4t，
解得：t＝1，
∴CP＝CQ＝8cm，
此时不满足△CPQ的周长为16cm，不符合题意，舍去；
②当PQ＝PC时，则有6t﹣6＝10﹣2t，
解得：t＝2，
∴CP＝PQ＝6cm，CQ＝4cm，
∵等腰三角形中的的∠C的余弦值＝，△ABC中的∠C的余弦值＝＝，不相等，
∴这种情况不存在；
③当QP＝QC时，则有6t﹣6＝12﹣4t，
解得：t＝1.8，
∴CQ＝4.8cm≠PQ，CP＝6.4cm，不符合题意；
综上所述，不存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形．

26．几何探究
在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE．
（2）如图2，若点D在线段CB的延长线上，∠BCE＝α，∠BAC＝β．则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
（3）如图3，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，BC＝4，求S△DCE最大值．

【分析】（1）利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等证明；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ACB＝∠ABC＝90°﹣β，根据三角形的外角性质列式计算即可；
（3）作AH⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出AH，证明△ABD≌△ACE，得到S△AEC＝S△ABD，根据垂线段最短解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：α＝β．
理由如下：同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BCE＝α，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝β，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣β）＝90°﹣β，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°+β，
∴∠ACE＝∠ACB+α＝90°﹣β+α，
∵∠ACE＝∠ABD＝90°+β，
∴90°﹣β+α＝90°+β，
∴α＝β；
（3）解：如图3，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴BH＝AH＝HC＝BC＝2，
同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴S△AEC＝S△ABD，
∴S△AEC+S△ADC＝S△ABD+S△ADC，即S四边形ADCE＝S△ABC＝×4×2＝4，
∴S△DCE＝S四边形ADCE﹣S△ADE，
当S△ADE最小时，S△DCE最大，
当AD⊥BC时，AD最小，最小值是2，
∴S△ADE最小值是×2×2＝2，
∴S△DCE最大＝4﹣2＝2．