专题1.2 集合的基本关系（7类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

这是一份专题1.2 集合的基本关系（7类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册），文件包含专题12集合的基本关系7类必考点北师大版必修第一册原卷版docx、专题12集合的基本关系7类必考点北师大版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
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\l "_Tc10965" 【考点1：集合的子集】 PAGEREF _Tc10965 \h 1
\l "_Tc7406" 【考点2：集合的真子集】 PAGEREF _Tc7406 \h 2
\l "_Tc2922" 【考点3：集合包含关系的判断】 PAGEREF _Tc2922 \h 3
\l "_Tc15766" 【考点4：集合子集的个数】 PAGEREF _Tc15766 \h 4
\l "_Tc91" 【考点5：集合真子集的个数】 PAGEREF _Tc91 \h 6
\l "_Tc17368" 【考点6：空集】 PAGEREF _Tc17368 \h 7
\l "_Tc3890" 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 PAGEREF _Tc3890 \h 9
【考点1：集合的子集】
【知识点：子集】
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A．
1．（2022•松山区三模）已知集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集的元素之和等于12，则a+b+c的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意知集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集可以分为二类，从而求和知3（a+b+c）＝12，即可解得．
【解答】解：集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集可以分为二类，
集合A＝{a，b，c}的子集中有且只有一个元素，
分别为{a}，{b}，{c}，
集合A＝{a，b，c}的子集中有且只有两个元素，
分别为{a，b}，{a，c}，{b，c}，
则3（a+b+c）＝12，，
故a+b+c＝4，
故选：D．
2．（2021秋•梁子湖区校级月考）写出{1，2，3}的所有子集．
【分析】根据子集的定义，可得{1，2，3}的所有子集．
【解答】解：根据子集的定义，可得{1，2，3}的所有子集为：
{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}，∅．
3．（2021秋•海林市校级月考）已知集合A＝{（x，y）|x+y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
【分析】先用列举法表示集合A，再由子集的定义求解即可．
【解答】解：∵A＝{（x，y）|x+y＝2，x，y∈N}＝{（0，2），（1，1），（2，0）}，
故A的子集有：∅，{（0，2）}，{（1，1）}，{（2，0）}，{（0，2），（1，1）}，{（0，2），（2，0）}，{（1，1），（2，0）}，{（0，2），（1，1），（2，0）}．
4．（2022春•雅安期末）若集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，写出集合A的所有子集．
【分析】可求出集合A，然后写出A的所有子集即可．
【解答】解：∵A＝{1，5}，
∴A的所有子集为：∅，{1}，{5}，{1，5}．
5．（2021秋•淇县校级期中）设A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+2＝0}，B⊆A，写出集合A的所有子集.
【分析】求出A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，由此能求出集合A的所有子集．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
∴集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{1，2}．
【考点2：集合的真子集】
【知识点：真子集】
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记作A⫋B．
1．（2021秋•浦东新区校级月考）写出满足关系式A{1，2}的所有的集合A＝ ∅，{1}，{2} ．
【分析】根据子集的概念，由已知明确集合A中元素可以是0个，1个，由此找到满足条件的集合A．
【解答】解：由题意，满足条件的集合A 有：∅，{1}，{2}，共有3个；
故答案为：∅，{1}，{2}．
2．（2021秋•黄陵县校级月考）已知AB，且B＝{0，1，2}写出满足条件A的所有集合．
【分析】根据A是B的真子集，以及集合B＝{0，1，2}便可写出B的所有真子集，即写出满足条件A的所有集合．
【解答】解：AB，且B＝{0，1，2}；
∴满足条件A的所有集合为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．
（多选）3．（2021秋•湖北月考）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集．下列集合是集合B＝{1，2，3}的孙子集的是（ ）
A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}
【分析】由题意写出集合B的孙子集，再进行判断即可．
【解答】解：由题意可知集合B＝{1，2，3}的孙子集有
{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，
故BC正确，
故选：BC．
4．（2021秋•贵溪市校级月考）已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．
（1）求a；
（2）写出集合A的所有真子集．
【分析】（1）由题意知a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，分类讨论并检验即可求得a=-32；（2）由真子集的定义直接写出即可．
【解答】解：（1）∵A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A，
∴a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，
①若a﹣2＝﹣3，a＝﹣1，2a2+5a＝﹣3，故不成立，
②若2a2+5a＝﹣3，a＝﹣1或a=-32，
由①知a＝﹣1不成立，
若a=-32，a﹣2=-72，2a2+5a＝﹣3，成立，
故a=-32；
（2）∵A＝{-72，﹣3}，
∴A的真子集有∅，{-72}，{﹣3}．
【考点3：集合包含关系的判断】
1．（2021秋•厦门期末）若集合A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则下列选项正确的是（ ）
A．2∈AB．﹣4∈AC．{3}⊆AD．{0，3}⊆A
【分析】根据元素和集合的关系、集合与集合的关系判断即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，
∴2∉A，﹣4∉A，{3}⊆A，{0，3}⊈A，
故选：C．
2．（2022•渭滨区校级二模）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（ ）
A．A＝BB．B⊆AC．A∈BD．A⊆B
【分析】根据已知求出集合A，然后根据集合的包含关系即可判断求解．
【解答】解：因为集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，
所以集合A＝{0，1，2，3，4}，又B＝{0，1，2，3，4，5}，
所以A⊆B，
故选：D．
（多选）3．（2022春•增城区期末）以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}，则A＝（ ）
A．{0，2，4}B．{0，1，3，4}C．{0，1，2，4}D．{0，1，2，3，4}
【分析】集合A一定要含有0，2，4三个元素，且至少要多一个元素，多的元素只能从1、3中选，根据要求写出集合即可．
【解答】解：A可以为{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，2，4}．
故选：AC．
【考点4：集合子集的个数】
【知识点：子集的个数】
集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集.
1．（2022春•重庆月考）已知集合A＝{0，1，2}，则集合A的非空子集个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个非空子集．
【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，
∴A的非空子集个数为：23﹣1＝7．
故选：A．
2．（2021秋•安徽期中）已知集合A＝{x|x∈N*，126-x∈N*}，则集合A的子集个数为（ ）
A．8B．16C．32D．64
【分析】先求出集合A，得到集合A中元素的个数，由集合子集个数的计算公式求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|x∈N*，126-x∈N*}＝{2，3，4，5}，
所以集合A的子集个数为24＝16个．
故选：B．
3．（2021秋•皇姑区校级期中）已知集合M⊆{3，4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）
A．10个B．11个C．12个D．13个
【分析】以集合M中是否存在偶数分类讨论即可．
【解答】解：由题意，
①若集合M中没有偶数，
则M可以为∅，{3}，{7}，{3，7}；
②若集合M中有偶数4，
则M可以为{4}，{3，4}，{7，4}，{3，7，4}；
③若集合M中有偶数8，
则M可以为{8}，{3，8}，{7，8}，{3，7，8}；
故这样的集合共有12个，
故选：C．
4．（2022春•安徽期中）设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合A的子集个数为 16 ．
【分析】先求出集合A，再根据集合子集个数为2n个，求解即可．
【解答】解：∵A={x∈N|y=12x+3∈N}={0，1，3，9}，
∴集合A的子集个数为24＝16，
故答案为：16．
5．（2021秋•金水区校级月考）集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值范围为 {0，1，﹣1} ．
【分析】由集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，同理讨论二次项系数与0的关系，结合根与系数得到关系求m．
【解答】解：由题意，①当m＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集；
②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以Δ＝4﹣4m2＝0，解得m＝±1；
所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，﹣1}．
故答案为：{0，1，﹣1}．
【考点5：集合真子集的个数】
【知识点：真子集的个数】
集合A中有n个元素，则集合A有2n-1个真子集.
1．（2021秋•长沙县期末）已知集合P＝{2，4，6，8}，则集合P的真子集的个数是（ ）
A．4B．14C．15D．16
【分析】数出集合P中元素的个数，利用真子集个数公式求解即可．
【解答】解：∵P＝{2，4，6，8}，集合P中共有4个元素，
则P真子集个数为24﹣1＝15．
故选：C．
2．（2021秋•深圳校级期末）集合A＝{x∈N|1≤x＜4}的真子集的个数是（ ）
A．16B．8C．7D．4
【分析】先求出集合A的元素，然后根据真子集的定义即可得到结论．
【解答】解：∵A＝{x∈N|1≤x＜4}＝{1，2，3}含有3个元素，
∴A＝{x∈N|1≤x＜4}的真子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．
故选：C．
3．（2022•齐齐哈尔二模）设集合M＝{x∈Z||2﹣x|＜2}，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16B．15C．8D．7
【分析】化简集合M，利用公式求真子集个数即可．
【解答】解：M＝{x∈Z||2﹣x|＜2}＝{1，2，3}，
故集合M的真子集个数为23﹣1＝7，
故选：D．
4．（2021秋•砚山县期末）已知集合A＝{x∈N|1＜x＜5}，则A的非空真子集有 6 个．
【分析】化简集合A，结合求子集个数的计算公式即可求得答案．
【解答】解：由题意可得集合A＝{2，3，4}，
故集合A中有3个元素，
所以集合A的非空真子集的个数为：23﹣2＝6．
故答案为：6．
5．（2021秋•安吉县校级月考）已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}．
（1）写出集合M的子集；
（2）写出集合N的真子集．
【分析】（1）由集合M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0，1}，能求出集合M的子集．
（2）由N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}＝{﹣1，0，1}．能求出集合N的真子集．
【解答】解：（1）∵集合M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0，1}，
∴集合M的子集有：∅，{0}，{1}，{0，1}．
（2）∵N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}＝{﹣1，0，1}．
∴集合N的真子集有：∅，{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}．
【考点6：空集】
【知识点：空集】
不含任何元素的集合叫空集.
1．（2021秋•雁塔区月考）下列集合为∅的是（ ）
A．{0}B．{x|x2+1＝0}C．{x|x2﹣1＝0}D．{x|x＜0}
【分析】根据空集是不含任何元素的集合，判断A、B、C、D是否正确．
【解答】解：A中含有元素0，∴A×；
∵x2+1＝0，解集为∅，∴B√；
∵x2﹣1＝0⇒x＝±1，∴C×；
D是小于0的数集，D×；
故选：B．
2．（2021秋•裕安区校级期末）下列集合中，结果是空集的为（ ）
A．{x∈R|x2﹣4＝0}B．{x|x＞9或x＜3}
C．{（x，y）|x2+y2＝0}D．{x|x＞9且x＜3}
【分析】将各项的集合化简，再与空集的定义加以对照，即可得到A、B、C都不是空集，只有D项符合题意．
【解答】解：对于A，{x∈R|x2﹣4＝0}＝{2，﹣2}，不是空集；
对于B，{x|x＞9或x＜3}不是空集；
对于C，{（x，y）|x2+y2＝0}＝{（0，0）}，不是空集；
对于D，{x|x＞9且x＜3}＝Φ，符合题意．
故选：D．
3．（2021秋•临川区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是 ．
【分析】利用空集的定义，将问题转化为ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，分a＝0和a≠0两种情况，分别求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，
所以ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，
当a＝0时，方程无解，符合题意；
当a≠0时，Δ＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣1）＝4a＜0，解得a＜0．
综上所述，a的取值范围为．
故答案为：．
4．（2021秋•临高县校级月考）已知集合M＝{x|2m＜x＜m+1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是 ．
【分析】根据集合M＝{x|2m＜x＜m+1}，且M＝∅，可得2m≥m+1，解得即可．
【解答】解：集合M＝{x|2m＜x＜m+1}，且M＝∅，则2m≥m+1，解得m≥1，
故答案为：.
5．（2021秋•项城市校级月考）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
【分析】（1）根据空集的含义，利用一元二次方程的判别式求解．
（2）利用分类讨论思想，对集合中元素的个数是0和1进行讨论求解．
【解答】解：（1）若A＝∅，则方程ax2﹣3x+1＝0无实数根，
则a≠0Δ=9-4a＜0，解得a＞94．
∴若A是空集，a的取值范围为a＞94．
（2）若A中至多只有一个元素，则A＝∅或A中只有一个元素．
1、当A＝∅时，由（1）得a＞94．
2、当A中只有一个元素时，a＝0或a≠0Δ=9-4a=0，
解得a＝0或a=94．
综上，若A中至多只有一个元素，a的取值范围为{a|a＝0或a≥94}．
【考点7：集合关系中的参数取值问题】
1．（2021秋•雅安期末）设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a≤2B．a＞2C．a≥﹣1D．a＞﹣1
【分析】根据A∩B≠∅，可知A，B有公共元素，利用集合A，B即可确定a的取值范围
【解答】解：∵A∩B≠∅，
∴A，B有公共元素
∵集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，
∴a＞﹣1
故选：D．
2．（2021秋•临夏县校级期中）如果集合A＝{x|x≤﹣1，或x＞6}，B＝{x|﹣2≤x≤a}，且A∪B＝R，那么实数a的取值范围为 {a|a≥6} ．
【分析】直接根据并集的定义即可求解．
【解答】解：因为A＝{x|x≤﹣1，或x＞6}，B＝{x|﹣2≤x≤a}，且A∪B＝R，
所以a≥6，
故答案为：{a|a≥6}．
3．（2020秋•麒麟区校级期中）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；
（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；
（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立
【解答】解：（1）∵M⊆N，∴a+1≤22a-1≥5，∴a∈∅；
（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．
②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，
则a+1≥22a-1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．
综上a≤3．
4．（2021秋•香坊区校级期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}．
（1）当x∈N*时，求A的非空真子集的个数；
（2）当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先由已知求出集合A中的元素个数，再根据公式即可求解；（2）分集合B为空集与不是空集两种情况，分别建立不等式关系即可求解．
【解答】解：（1）当x∈N*时，集合A＝{1，2，3，4，5}，共有5个元素，
所以集合A的非空真子集的个数为25﹣2＝30；
（2）①当B＝∅时，则m﹣1＞2m+1，解得m＜﹣2满足题意，
②当B≠∅时，要满足题意只需m-1≤2m+1m-1＞5或2m+1＜-2，
解得﹣2≤m＜-32或m＞6，
综上可得实数m的取值范围为{m|m＜-32或m＞6}．
5．（2020秋•渝中区校级月考）已知a∈R，A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}．求：
（1）A＝{2，3，4}的x值；
（2）使2∈B，B⫋A，求a，x的值；
（3）使B＝C的a，x的值．
【分析】（1）解方程x2﹣5x+9＝3即可求得x值；
（2）由x2+ax+a＝2与x2﹣5x+9＝3联立即可求得a，x的值；
（3）x2+（a+1）x﹣3＝3与x2+ax+a＝1即可求得a，x的值．
【解答】解：（1）依题意，x2﹣5x+9＝3，
∴x＝2或x＝3；
（2）∵2∈B，B⫋A，
∴x2+ax+a＝2且x2﹣5x+9＝3，
当x＝2时，a=-23；
当x＝3时，a=-74；
（3）∵B＝{3，x2+ax+a}＝C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}，
∴x2+ax+a=1x2+(a+1)x-3=3整理得：x＝5+a，
将x＝5+a代入x2+ax+a＝1得：a2+8a+12＝0，
解得a＝﹣2或a＝﹣6．
当a＝﹣2时，x＝3或﹣1；
当a＝﹣6时，x＝﹣1或x＝7（当a＝﹣6，x＝7时代入x2+（a+1）x﹣3＝3 不成立所以舍去）．
综上所述{x|x＝﹣1或3}{a|a＝﹣6或﹣2}．