专题1.2 集合的基本关系-2022-2023学年高一数学培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题1.2  集合的基本关系

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是(　　)

A．{1，2} B．{x|x≤1}

C．{－1，0，1} D．R

【答案】A

【解析】因为集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，所以集合B是集合A的子集．当集合B＝{1，2}时，满足题意；当集合B＝{x|x≤1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝{－1，0，1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝R时，－1∉A，不满足题意，故选A.

2．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有(　　)

A．6个 B．7个

C．8个 D．15个

【答案】B

【解析】依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)．

3．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　)

A．2 B．－1

C．2或－1 D．4

【答案】C

【解析】∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.

4．定义集合P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，若集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为(　　)

A．32 B．31

C．16 D．15

【答案】B

【解析】由题中所给定义，可知P－Q＝{1，2，3，4，5}，∴P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B.

5．（2020·浙江高三模拟）集合，，若A∩B=B，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为,又，

则由，可得；时满足条件．

6．（2020·湖南天心长郡中学高一月考）给定全集U，非空集合A，B满足，，且集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，则称为U的一个有序子集对.若全集，则U的有序子集对的个数为（    ）

A．71 B．49 C．35 D．29

【答案】B

【解析】A的最大元素为2时，A的个数是1，B的个数是个，满足条件A,B共15对；

A的最大元素为3时，A的个数是2，B的个数是个，满足条件A,B共14对；

A的最大元素为6时，A的个数是4，B的个数是个，满足条件A,B共12对；

A的最大元素为7时，A的个数是8，B的个数是1个，满足条件A,B共8对,

所以U的有序子集对的个数为49个.

故选：B

11．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是(　　)

A．{1，8} B．{2，3}

C．{1} D．{2}

【答案】AC

【解析】∵A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，∴集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知A、C满足题意．

12．(多选)已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是(　　)

A．1 B．－1

C．0 D．2

【答案】ABC

【解析】由题意，当Q为空集时，a＝0，符合题意；当Q不是空集时，由Q⊆P，得a＝1或a＝－1.所以a的值为0，1或－1.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________．

【答案】BA

【解析】因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.

7．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．

【答案】a≤

【解析】因为∅{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，a≤.

已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为___________．

【答案】{a|a<1或a>3}

【解析】∵B⊆A，

∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种．

①当B≠∅时，

∵B⊆A，∴或成立，

解得a>3；

②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1.

综上所述，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．

8．(一题两空)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}．

(1)若A＝B，则y的值为________；

(2)若A⊆C，则a的取值范围为________．

【答案】(1)1或3　(2)3<a<5

【解析】(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.

若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，

所以y＝3，综上，y的值为1或3.

(2)因为C＝{x|2＜x＜5}，

所以，所以3＜a＜5.

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9．判断下列集合间的关系：

(1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}；

(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；

(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；

(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．

【解析】(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.

(2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q.

(3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，

B＝{x|2x－5≥0}＝，

所以利用数轴判断A，B的关系．

如图所示，AB.

(4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，

B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.

10．已知a∈R，x∈R，A＝{2，4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3，1}，求：

(1)当A＝{2，3，4}时，x的值；

(2)当2∈B，BA时，a，x的值；

(3)当B＝C时，a，x的值．

【解析】(1)因为A＝{2，3，4}，所以x2－5x＋9＝3，

所以x2－5x＋6＝0，

解得x＝2或x＝3.

(2)因为2∈B且BA，所以

解得或均符合题意．

所以a＝－，x＝2或a＝－，x＝3.

(3)因为B＝C，所以

①－②并整理得a＝x－5，③

③代入①并化简得x2－2x－3＝0，

所以x＝3或x＝－1.

所以a＝－2或a＝－6.

经检验，a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1均符合题意．

所以a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1.

14．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．

(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；

(2)若A⊇B，求m的取值范围．

【解析】化简集合A，得A＝{x|－2≤x≤5}．

(1)∵x∈Z，

∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，

即A中含有8个元素，

∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．

(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅⊆A；

②当m>－2时，

B＝{x|m－1<x<2m＋1}，

因此，要B⊆A，

则只要⇒－1≤m≤2.

综上所述，m的取值范围是{m|－1≤m≤2或m≤－2}．

15．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．

【解析】A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，

∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，

∴1∈B.

又BA，∴a－1＝1，即a＝2.

∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，

∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}．

当C＝{1，2}时，b＝3；

当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；

当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2<b<2.

综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求．