12三角函数的应用-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份12三角函数的应用-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版），共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022上·江苏常州·高一校考期末）王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（ ）（参考数据：，，）
A．5800B．6000C．6600D．7000
2．（2020上·江苏连云港·高一统考期末）已知函数是定义在上的增函数，，是其图象上的两点，那么 的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021上·江苏宿迁·高一统考期末）声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小：音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有（ ）
A．函数不具有奇偶性：
B．函数在区间上单调递增：
C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大：
D．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉．
4．（2020上·江苏镇江·高一统考期末）如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（ ）
A．经过3分钟，点P首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米
二、多选题
5．（2021上·江苏南通·高一统考期末）健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140和60～90.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.记某人的血压满足函数式，其中为血压（），t为时间（），其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．收缩压为120
C．舒张压为70D．每分钟心跳80次
6．（2021上·江苏扬州·高一统考期末）如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（ ）
A．经过15分钟，点P首次到达最高点
B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高
C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍
D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70
7．（2020上·江苏连云港·高一统考期末）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
三、填空题
8．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．

9．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．

10．（2023上·江苏连云港·高一统考期末）一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动3圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示建立平面直角坐标系，将点P到水面的距离z（单位：m．在水面下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，则 ．
11．（2023上·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）某一天时的温度变化曲线近似地满足，其中表示时间，表示温度，则这一天中时的最大温差为 度.
12．（2022上·江苏常州·高一校考期末）常州环球港摩天轮被誉为“龙眼”，是国内最高的屋顶摩天轮.如图所示，该摩天轮直径88米，最高点距离地面120米，相当于40层楼高.摩天轮采用放射辐条式，共有48个轿厢，一次可供192人观光，逆时针运转一圈需要18分钟.若游客在距离地面至少98米的高度能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果，那么摩天轮转动一周中能有 分钟会有这种最佳视觉效果.
13．（2022上·江苏盐城·高一校考期末）摩天轮的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面22m（即长），摩天轮的半径长为20m，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点处，此时有，则距离地面的高度为 ．
14．（2022上·江苏南通·高一统考期末）分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，它在机械加工业上具有广泛用途．如图，放置在地面上的勒洛三角形ABC与地面的唯一接触点恰好是弧的中点D，已知正三角形ABC的边长为2cm，动点P从A处出发，沿着勒洛三角形按逆时针方向以每秒的速度匀速运动，点P在t（单位：秒）时距离地面的高度为y（单位：cm），则当t＝3秒时，y＝ cm；当0≤t≤2时，y＝ ．（用t表示）
15．（2022上·江苏扬州·高一统考期末）摩天轮的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面42m（即长），摩天轮的半径长为40m，摩天轮逆时针旋转且每分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有m，则距离地面的高度h为 m．
四、解答题
16．（2023上·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）耸立在无锡市蠡湖北岸的“太湖之星”水上摩天巨轮被誉为“亚洲最高和世界最美”.如图,摩天轮的半径为50m,点O距地面的高度为65m,摩天轮的圆周上均匀地安装着64个座舱,并且运行时按逆时针匀速旋转,转一周大约需要.甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里,且他们之间间隔7个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点）.
(1)求劣弧PQ的弧长l（单位:m）;
(2)设游客丙从最低点M处进舱,开始转动后距离地面的高度为Hm,求在转动一周的过程中,H关于时间t的函数解析式;
(3)若游客在距离地面至少90m的高度能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲,乙两位游客都有最佳视觉效果.
17．（2023上·江苏盐城·高一江苏省上冈高级中学校联考期末）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转.
(1)试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式；
(2)在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面超过？
18．（2022上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期末）在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形，它的宽为1米.直线分别交直线于，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：
(1)若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长表示为的函数；
(2)若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?
19．（2022上·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考期末）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
20．（2022上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）筒车是我国古代发明的一种水利工具．如图筒车的半径为，轴心距离水面，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)将点距离水面的距离（单位：．在水面下时为负数）表示为时间（单位：分钟）的函数；
(2)已知盛水筒与相邻，位于的逆时针方向一侧．若盛水筒和在水面上方，且距离水面的高度相等，求的值．
21．（2022上·江苏徐州·高一统考期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，设点的坐标为，其纵坐标满足．
(1)求函数的解析式；
(2)当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间．
22．（2022上·江苏盐城·高一统考期末）一半径为的水轮(如图所示)，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间．
(1)将点到水面的距离(单位：，在水下，则为负数)表示为时间(单位：)的函数；
(2)点第一次到达最高点大约需要多长时间？
23．（2021上·江苏南京·高一统考期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
24．（2020上·江苏南通·高一统考期末）高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，

(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
25．（2021上·江苏南通·高一海门市第一中学校考期末）如图，现有一块半径为2，圆心角为的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧AB上任取一点P(异于A､B)，过点P分别作PC､PD平行于OB､OA，交OA､OB分别于C､D两点，记.
（1）当点P位于何处时，使得平行四边形OCPD的周长最大？求出最大值；
（2）试问平行四边形OCPD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由.
26．（2021上·江苏淮安·高一统考期末）如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
（1）将点P距离水面的距离z（单位：米，在水面以下，则z为负数）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P位于水面上方？
27．（2021上·江苏盐城·高一统考期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述.
（1）根据以上数据，求出函数的表达式；
（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
28．（2021上·江苏盐城·高一校考期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为h米，试将h表示为时间t的函数；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值.
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深/米
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
参考答案：
1．C
【分析】根据弧长公式可求得即的大小，在中，即可求得的大小.
【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为km，
令，则，
∵，，，
∴，
又，
所以按每层楼高m计算，需要登上6600层楼.
故选：C.
2．D
【解析】由题意可得，，所要解的不等式等价于，再利用单调性脱掉，可得，再结合正弦函数的图象即可求解.
【详解】由可得，
因为，是函数图象上的两点，
所以，，所以，
因为是定义在上的增函数，
可得，解得：，
由正弦函数的性质可得，
所以原不等式的解集为，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将要解得不等式转化为利用单调性可得.
3．A
【分析】对于A，根据奇函数的定义判断，可知A错误；对于B，根据正弦函数的单调性以及复合函数的单调性判断，可知B正确；对于C，比较振幅的大小，可知C正确；对于D，求出频率，比较大小，可知D正确.
【详解】对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误；
对于B，当时，，，，
函数、、和都为增函数，所以函数在区间上单调递增.故B正确；
对于C，因为，所以声音甲的振幅大于，而纯音的振幅等于，所以声音甲的响度一定比纯音响度大.故C正确；
对于D，因为的最小正周期为，的最小正周期为，所以 的最小正周期为，频率为，的频率为，，所以声音甲一定比纯音更低沉．故D正确.
故选：A
4．C
【解析】求得中关于时间的表达式，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】设，则（为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟）.
对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以经过3分钟，点P首次到达最低点，A选项正确.
对于B选项，当时，；当时.所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，B选项正确.
对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以第7分钟至第10分钟，相当于第1分钟至第4分钟，根据A选项可知，经过3分钟，点P首次到达最低点，所以第1分钟至第3分钟，摩天轮高度降低，第3分钟至第4分钟，摩天轮高度上升.所以C选项错误.
对于D选项，由得，其中，所以，故或，即或，故摩天轮在旋转一周的过程中点P有分钟距离地面不低于65米. D选项正确.
故选：C
5．BCD
【解析】由图象的周期可求出的值，可判断A，分别求最大值、最小值可判断选项B、C，计算频率可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】由图知：，所以，可得，故选项A不正确；
所以，
由图知在一个周期内最大值为，最小值为，所以收缩压为120，舒张压为70，故选项B、C正确；
每分钟心跳数为频率，故选项D正确，
故选：BCD.
6．AD
【解析】建立平面直角坐标系：根据题意得到，求得点P离地面的高度为：，然后再逐项判断.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
则，
得 ，
所以点P离地面的高度为： ，
A. 当时，，所以经过15分钟，点P首次到达最高点，故正确；
B．令 ，解得 ，所以从第10分钟到第15分钟，点P距离地面的高度一直在升高，从第15分钟到第20分钟，高度在降低，故错误；
C.若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍，故错误；
D. 令，即，解得，所以，有10分钟的时间点P距离地面超过70故正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题关键是建立坐标系，求出P离地面的高度函数.
7．ABC
【解析】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为,根据题意，求出的值，对照四个选项一一验证.
【详解】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为
，
由题意得：解得：
∴.
故D错误；
对于A.令h=6，即，解得：t=20，故A对；
对于B令t =155，代入，解得：h=2，故B对；
对于C. 令t =50，代入，解得：h= -2，故C 对.
故选：ABC
【点睛】(1)多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
(2)在实际问题中求三角函数解析式的方法：
①求A通常用最大值或最小值；
②求ω通常用周期；
③求φ通常利用函数上的点代入即可求解.
8． 4
【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可；
（2）解不等式即得.
【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，
风车转动一圈为秒，则角速度，
如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，
设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，
以为始边，为终边的角不妨取，
那么经过（秒）后，运动到点，
于是，以为始边，为终边的角为，
由三角函数定义知，
则，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
当时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
故答案为：；.

9．
【分析】依题意设，再根据题意和函数的周期求出，即可得到函数解析式；
【详解】依题意设，则，周期，又，解得，所以.
故答案为：.
10．
【分析】先设，再利用题给条件求得各参数值，进而求得函数的解析式.
【详解】设，
水轮每分钟逆时针转动3圈，则函数的最小正周期为20s，则，
由水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，可得，
又，则，又，则，
则
故答案为：
11．20
【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大、最小值作答.
【详解】当时，，则当时，，当时，，
所以这一天中时的最大温差为度.
故答案为：20
12．6
【分析】设摩天轮转动t分钟时游客的高度为h米，由题意求周期，进而列出函数解析式，则满足题意的最佳视觉效果时，化简利用范围即可得出t的范围，即可得出答案.
【详解】设摩天轮转动t分钟时游客的高度为h米，
摩天轮逆时针运转一圈需要18分钟，
则轿厢每分钟旋转角为，
由题意得：，
若游客在距离地面至少98米的高度能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果，
则当时能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果，
化简为，
，
，
解得，即，
则摩天轮转动一周中能有6分钟会有这种最佳视觉效果，
故答案为：6.
13．10
【分析】以为坐标原点，为轴，与垂直的线为轴，建立坐标系，设点的方程为，由题意求得解析式，当代入计算即可得出结果.
【详解】以为坐标原点，为轴，与垂直的线为轴，建立坐标系如图所示，设点的方程为，摩天轮的半径长为20m得
依题意得得：
又因为，所以，此时，
又当时，，所以取，
所以，
所以当时，，所以距离地面的高度
故答案为：10.
14．
【分析】当t＝3时，P走到了的中点，计算可得，当0≤t≤2时，P在上移动，可求得，从而可求得．
【详解】，当t＝3时，P走过的路程为，由于，
故此时P走到了的中点，则y＝PAsin∠PAC+OD，
又，
所以，
当0≤t≤2时，P在上移动，其路程为，由l＝αr，可得，
所以P到AC边的距离为，
故．
故答案为：；．
15．20
【分析】以为坐标原点，为轴，与垂直的线为轴，建立坐标系，设点的方程为，由题意求得解析式，当代入计算即可得出结果.
【详解】以为坐标原点，为轴，与垂直的线为轴，建立坐标系如图所示，设点的方程为，依题意得,解得：
又因为，所以，此时，
又当时，，所以，
所以，
所以当时，，所以距离地面的高度
故答案为：20.
16．(1)
(2),
(3)
【分析】(1)求出甲、乙之间间隔7个座舱所对的圆心角,再根据弧长公式即可求得结果;
(2)设,求出函数最大值、最小值,进而求出,根据周期为,求出,将代入即可求得的值;写出解析式即可;
(3)根据(2)中的解析式,使其大于等于90,求得一个游客的最佳视觉效果时间,再求出甲乙游客相差的时间,即可得出甲,乙两位游客都有最佳视觉效果的时间.
【详解】（1）解:由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着64个座舱,
所以两个相邻座舱所对的圆心角为:,
因为甲、乙之间间隔7个座舱,所以劣弧PQ所对的圆心角为:,
所以,
即劣弧PQ的弧长为;
（2）因为摩天轮距离地面高度是周期变化,且与三角函数有关,
不妨设开始转动后距离地面的高度,
由题可知,,
所以,
因为,解得,此时,
因为,带入有:,
解得,,
故
,
综上:,;
（3）因为在距离地面至少90m的高度能够获得最佳视觉效果,
所以,,即,
解得:,即,解得,
所以，故有的时间使游客有最佳视觉效果,
因为劣弧PQ所对的圆心角为,所以甲乙相隔的时间为,
解得,当甲刚开始有最佳视觉效果时,乙需后才有视觉效果,
故甲乙都有最佳视觉效果的时间为.
17．(1)
(2)分钟.
【分析】（1）建立以圆心为坐标原点的坐标系，根据任意角三角函数的概念表示出的纵坐标即可求解；（2）令，解三角不等式即可求解.
【详解】（1）
以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴，
过圆心且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系.
以轴非负半轴为始边，为终边的角为；
点时刻所转过的圆心角为：.
若时刻时蚂蚁爬到圆环点处，
那么以轴非负半轴为始边，
为终边的角为，
则点纵坐标为，
所以
（2）令，
即所以，
解得，
所以在一周范围内，距离地面超过持续时间为：
分钟.
18．(1)，
(2)长度不能超过米
【分析】（1）由题意分别表示出，，，，根据，即可求解.
（2）由题意可知对任意角，平板车的长度，记 ，利用函数的单调性即可求出最值.
【详解】（1），，，
，
所以，
（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角，平板车的长度，
记 ，则=，
又则，
所以，所以，即，
则
记，，则，
函数
因为在上都递增，
所以在上都递增，
所以在上的单调递减；
当时取得最小值.
所以长度不能超过米
19．(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
20．(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，根据题意可表示出函数；
（2）根据题意表示出两点的纵坐标，因为两点距离水面的高度相等，进而可求出的值．
【详解】（1）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，
由题意，得，
所以；
（2）易知，点纵坐标，
点纵坐标，
由题意，得，
所以或，
解得，
由盛水筒和在水面上方，得，
所以，
所以，
因为，所以．
21．(1)；
(2)20秒.
【分析】(1)根据OA求出R，根据周期T＝60求出ω，根据f(0)＝－2求出φ；
(2)问题等价于求时t的间隔.
【详解】（1）由图可知：，
周期，
∵t＝0时，在，∴，
∴或，，
，且，则.
∴.
（2）点到水面的距离等于时，y＝2，
故
或，即，，
∴当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间20秒.
22．(1)
(2)
【分析】（1）求出角速度、振幅得，令求得，从而得到；
（2）令，则，再根据的范围得到答案．
【详解】（1）由题意知，每分钟逆时针转3圈，即转动弧度，所以角速度，水轮半径为4，所以振幅为4，故，
时，，所以，所以，
（2）令，则，
所以，所以，
，
所以点第一次到达最高点需．
23．（1），；（2）．
【解析】（1）首先根据题意得到，，从而得到，．
（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为，即可得到.
【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以．
所以，．
（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以．
因为，所以，
所以的取值范围为．
（注：的取值范围不考虑开闭）
24．(1)时，达最大值
(2)当时，达到最大值
【分析】（1）由三角形为直角三角形，，得到，在直角中，易得，再由点为半圆上一点，得到，，从而得到然后求解；
（2）在直角中，利用等面积法得到，再在直角中，得到，从而求解.
【详解】（1）因为三角形为直角三角形，，
所以，
在直角中，因为，所以.
因为点为半圆上一点，所以，又因为，
所以，
所以
，
因为，
所以当，即时，达最大值；
（2）在直角中，因为，
所以，
因为，所以，
又因为所以，
在直角中，，
所以，
，，
所以当即时，达到最大值，
答：当时，达到最大值.
25．（1）点P位于弧AB的中点时，使得平行四边形OCPD的周长最大，最大值为；（2）存在，最大值为.
【分析】过P点作OC的垂线，垂足为H，从而可得PH=2sinα，OH=2csα，，，得出.
（1）平行四边形OCPD的周长为f(α) ，利用三角函数的性质即可求解.
（2），利用三角函数的性质即可求解.
【详解】过P点作OC的垂线，垂足为H，
因为OP=2，∠AOP=α，则PH=2sinα，OH=2csα，
，，
所以，
（1）设平行四边形OCPD的周长为f(α)，
则
，
因为点P异于A､B两点，所以，
所以当，即点P位于弧AB的中点时，
使得平行四边形OCPD的周长最大，最大值为.
（2）设平行四边形OCPD的面积为S(α)，
则
，
由（1）得，，所以，
所以当，即，
也就是点P位于弧AB的中点时，
使得平行四边形OCPD的面积最大，最大值为.
26．（1）；（2）秒.
【解析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系，根据距离水面的高度计算出坐标，再利用三角函数表示出点坐标，将的纵坐标加即可得到关于的函数；
（2）根据条件可知，解对应的不等式求解出的范围，由此确定出有多长时间点位于水面上方.
【详解】（1）建立如图所示平面直角坐标系，
由题意可知：，则，所以，
因为水轮每分钟逆时针转动圈，所以秒可转动的角度为，
所以的坐标为，且的纵坐标加上即为到水面的距离，
所以；
（2）因为，令，
所以，所以，所以，
所以在水轮转动圈内，有秒时间点P位于水面上方
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过建立合适平面直角坐标系结合三角函数定义求解出关于的函数，其中着重去分析点的纵坐标值得注意.
27．（1）；（2）在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时.
【解析】由表格易知，由，求得A，B，再根据和时，函数取得最大值，分别求得即可.
（2）根据货船需要的安全水深度为6，由求解.
【详解】由表格可知,，
则，
又，
当时，，
即，
所以，
又，
所以，
所以.
（2）因为货船需要的安全水深度为6，
所以，
即，
所以，
即，
又因为，
当时，，当时，，
所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时.
【点睛】方法点睛：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象或表格确定A，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准“零点”或“最大（小）值点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．
28．（1）；（2）分钟或分钟；（3）h最大值为40米.
【解析】（1）由题意可知高度h与时间t的关系符合，根据已知求出的值，写出解析式即可.
（2）设，解方程求出即为距离地面的高度恰好为30米的时间.
（3）有题意列出游客甲、游客乙距离地面的高度解析式分别为，利用三角函数有的最大值为所求h的最大值.
【详解】（1）由题意，设，得：
，解得，又当时，，
∴，不妨令有，而得，
∴，
（2）由题意有，即，
∴或，得或.
（3）若游客甲高度解析式为，则游客乙高度解析式为，
∴
∴令，解得，此时的最大值为40米.
【点睛】关键点点睛：根据实际问题构建三角函数模型，进而由题设求对应高度的时间，以及应用三角恒等变换求两游客的高度差最大值.