08对数函数-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份08对数函数-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）若实数x，y满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量（单位：mg/L）与时间（单位：min）的关系为，其中，是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤（ ）才能排放（结果保留整数，参考数据：）.
A．7B．8C．9D．10
7．（2023上·江苏常州·高一统考期末）设函数，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
8．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·江苏南京·高一统考期末）在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，，则（ ）
A．B．C．4D．6
10．（2023上·江苏南京·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
11．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）给出下列四个命题，其中正确命题的是（ ）
A．设是定义域为的奇函数，且，若，则
B．若，则的取值范围是
C．已知定义域为的奇函数，当时，满足，则
D．若，则
13．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）已知函数，其中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
15．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末） ．
16．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）函数，则 ．
17．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为 ．
18．（2023上·江苏常州·高一统考期末）设函数，使成立的充要条件是（其中I为某区间），则区间 ．
四、解答题
19．（2023上·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
20．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知，函数，.
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若，，问：是否为定值（与a无关）?并说明理由.
21．（2023上·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)判断的单调性，并证明；
(2)解关于的不等式．
22．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)若函数为偶函数，且不为常数．
①求实数，的值；
②判断并证明的单调性．
23．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）设全集，集合，集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的______条件，求实数的取值范围．
从①充分；②必要；③既不充分也不必要三个条件中选择一个填空，并解答该题．
24．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）已知函数，，其中，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，都有成立，求的取值范围.
25．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）设全集，集合，其中．
(1)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若命题“，使得”是真命题，求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，由指数函数与对数函数的单调性，即可判断大小关系.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：D
2．D
【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可
【详解】,
,
所以为奇函数,
为单调增函数,
,
,恒成立,
,
.
故选：D.
3．A
【分析】由已知可得，然后构造函数，，再通过判断函数的单调性可得，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为，所以，
令，则，
因为和在上均为增函数，所以在上为增函数，
所以，
对于AB，因为，所以，所以，所以A正确，B错误，
对于CD，因为，所以，所以当时，，当时，，当时，，所以CD错误，
故选：A
4．B
【分析】首先判断函数的单调性，再比较指对数的大小，利用单调性可得答案.
【详解】因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
又， ，，
所以，
所以.
故选：B．
5．C
【分析】根据指数幂的运算、对数函数及特殊角的三角函数值判断即可.
【详解】因为，
，，
所以．
故选：C．
6．C
【分析】依题意可得，两边取对数求出的值，再令，根据指数与对数的关系及对数的运算法则计算可得.
【详解】解：依题意可得，所以，两边取对数可得，
所以，则，
所以，令，即，所以，
即，
所以，
所以废气至少需要过滤才能排放.
故选：C
7．A
【分析】根据题意分类讨论，结合指、对数函数单调性解不等式即可.
【详解】当时，则，即，解得；
当时，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：A.
8．A
【分析】找中间量和1进行比较，根据指数函数、对数函数的单调性可得到答案.
【详解】因为，所以，则
又，，
所以，，，
所以.
故选：A
9．C
【分析】根据题意结合指、对数运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
10．B
【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】令，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
11．BCD
【分析】结合已知条件利用做差法可判断ACD；幂函数的性质可判断B.
【详解】对于A，因为，所以，
可得，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，且，
所以，即，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
12．BD
【分析】对于选项A，由是定义域为的奇函数得，所以，把化为即可判断；对于选项B，由，根据指数函数的单调性列出不等式组，解出的取值范围即可判断；对于选项C， 由题意求出，，，得到，再根据周期性得到
，，…由求出即可判断；对于选项D，由得，构造函数函数，讨论函数的单调性，由解得即可判断.
【详解】对于选项A，由是定义域为的奇函数得，
所以，所以，
故选项A错误.
对于选项B，若，即，则或，
解得，即的取值范围是，
故选项B正确.
对于选项C， 因为是定义域为的奇函数，且满足，
所以，，，
所以.
因为，，，
所以，
同理得，…
因为，所以，
故选项C错误.
对于选项D， 因为，
所以，
即.
令函数，
因为和都是减函数，所以是减函数，
所以由得，即.
故选项D正确.
故选：BD
13．BCD
【分析】由题意把方程变形，利用函数单调性找到，然后利用指数、对数运算即可判断
【详解】因为，所以，
即，
又，所以函数单调递增，所以，所以，即，故D正确；
所以，所以，
所以，故C正确；
因为，所以，故，所以，解得，
所以，故B正确；
因为，所以，所以，
又，所以，故A错误.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用同构的思想对原等式进行合理的变形，从而构造出函数，利用其单调性得到，即得到，从而判断出D选项，那么其他选项则变得水到渠成.
14．BD
【分析】函数为奇函数，故A不正确；当时，为增函数，故B正确；根据和的函数可知，C不正确；根据偶函数的定义以及函数在上为增函数，在上为减函数，可知D正确.
【详解】因为，所以函数为奇函数，故A不正确；
因为，所以函数为偶函数，且当时，为增函数，故B正确；
当时，，当时，，
因为，，所以函数在上不是增函数，故C不正确；
因为，所以函数为偶函数，
因为在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上为增函数，故D正确.
故选：BD
15．
【分析】根据对数的运算法则及幂的运算性质计算可得.
【详解】
.
故答案为：
16．9
【分析】根据函数解析式代值计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：9.
17．
【分析】设函数在,上的值域为，函数在，上的值域为，若,，,，使得成立，则，即可得出答案．
【详解】设函数在,上的值域为，函数在,上的值域为，
因为若,，,，使得成立，所以，
因为，,，
所以，，
所以在,上的值域为,，
因为，
当时，在,上单调递减，
所以，
，
所以在,上的值域为,
因为，
所以，解得，
又，
所以此时不符合题意，
当时，图象是将下方的图象翻折到轴上方，
令得，即，
①当时，即时，
在,上单调递减，
，，
所以的值域，
又，
所以，解得，
②当时，即时，
在上单调递减，在,上单调递增，
，
或，
所以的值域,或,，
又，
所以或，
当时，解得或，
又，
所以，
当时，解得或，
又，
所以，
所以的取值范围诶,,．
③当时，时，
在，上单调递增，
所以，
，
所以在,,上的值域，
又，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：．
18．
【分析】根据题意判断的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可.
【详解】∵，故函数在定义域内为偶函数，
当时，则在上单调递增，
故在上单调递减，
若，等价于，等价于，
整理得，解得，
则使成立的充要条件是，即.
故答案为：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）求得的定义域和值域及函数的单调性，得，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得当时，的值域；以及讨论，时的值域，由题意可得和的值域存在交集，即可得到所求范围；
【详解】（1）由，可得，故函数定义域为，关于原点对称，
又，即为奇函数.
又，
函数在上单调递减，值域为.
由复合函数的单调性质知在上单调递减，且的值域为R，
不等式，转化为，
因为为奇函数，所以，
因为在上单调递减，所以，
即，即，
即，解得，
则原不等式的解集为.
（2）因为存在，使得成立，
所以时，的值域与的值域有交集.
因为在上是减函数，，
所以的值域为，
当时，在上单调递减，故的值域为，
所以即，
当时，在上单调递增，故的值域为，不符.
综上所述，实数a的取值范围为.
20．(1)
(2)
(3)为定值3，理由见解析
【分析】（1）当时，由可得，即3，代入即可求得；
（2）由，可得；由，可得，故，再借助于指数幂的运算即可求得；
（3）法1：由，化简可得，又，结合函数是单调递增函数即可求得．
法2：由，化简可得，又，再结合函数为单调增函数即可求得．
【详解】（1）当时，，.
由得，，故，即.
此时.
（2）由得，.
由得，，故.
注意到，
所以，解得.
（3）法1：
因为，所以（﹡），
变形得，，所以.
又因为，函数为单调增函数，所以.
代入（﹡），得，即，所以为定值（与无关）.
法2：
因为，所以（#），
变形得，，所以.
又因为，函数为单调增函数，所以.
代入（#），得，即，所以为定值（与无关）.
21．(1)在R上是递减函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用奇函数性质求得，再由单调性定义判断函数单调性即可；
（2）根据函数奇偶性、单调性可得，再由对数函数性质求解集即可.
【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，则，
即
，解得，
所以，故在R上是递减函数．
证明：任取、，且，
，，
∴，即，故是定义在R上的递减函数；
（2）∵，∴，
是R上的奇函数，∴，
是R上的减函数，∴，
∴，解得，
∴不等式的解集为．
22．(1)答案见解析
(2)①；②减函数，证明见解析
【分析】（1）分、、三种情况讨论，分别判断函数的奇偶性；
（2）①利用特殊值得到方程组，求出参数的值，再代入检验即可；
②由①得到函数解析式，再利用定义法证明函数在上的单调性，即可得解.
【详解】（1）①当时，令，即，
所以的定义域为，不关于原点对称，
所以不具有奇偶性；
②当时，，，为奇函数；
③当时，，所以不为奇函数，
又，所以不为偶函数．
综上，当时，为奇函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由（1）知，若为偶函数，则，所以的定义域为．
①因为为偶函数，所以，
即，
所以，所以，
化简得，所以或，
当，时，，不合题意；
当，时，，
所以，为偶函数．
综上.
②由①得，
在为减函数，在为增函数．
下面证明在为增函数：
设是的任意两个数且，
，
因为，
因为，所以，
所以，
即，
所以，即，
所以在为增函数，
因为为偶函数，所以在为减函数．
23．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）代入化简集合，利用对数函数的定义域的性质化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；
（2）利用充分必要条件与集合的关系，依次选择三个条件，结合数轴法即可得解.
【详解】（1）当时，，
又，
所以，
故.
（2）选①：
因为“”是“”的充分条件，，，
所以，则，解得，
所以实数的取值范围是．
选②：
由区间定义可知，所以，则，
因为“”是“”的必要条件，，，
所以，则，解得，故，
所以实数的取值范围是．
选③，
因为“”是“”的既不充分也不必要条件，
所以不是的子集，且不是的子集，
若，则，解得，故；
若，由区间定义可知，所以，则，
又，解得，故；
由于上述两种情况皆不满足，所以，即实数的取值范围是．
24．(1)奇函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）首先求出函数解析式，从而求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可；
（2）依题意可得，则问题转化为，都有成立，分和两种情况讨论，结合函数的单调性，转化为二次函数恒成立，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）解：为奇函数，
因为，
由，解得，即的定义域为，
因为对任意，都有，
且，
所以为奇函数.
（2）解：化为，
因为，且，所以且，
所以问题转化为，都有成立，
①当时，，都有成立，
即对恒成立，
因为对称轴，故在上单调递减，
所以，解得.
②当时，，都有成立，
即对恒成立，
因为对称轴，故在上单调递减，
所以，解得.
综上①②可知：的取值范围为.
25．(1)
(2)
【分析】（1）首先求解集合，根据条件转化为集合的包含关系，列式求解；
（2）根据条件转化为，列式求的取值范围.
【详解】（1），得，解得：，即，
因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以，
则，解得：；
（2）由条件可知，，或，
所以或，解得：，
所以的取值范围是