河南省信阳市平桥区龙井乡中心学校等5校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份河南省信阳市平桥区龙井乡中心学校等5校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，以原点为圆心的半径是4，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出点P到原点的距离d，再判断d与半径r的大小关系，从而得出答案．
【详解】解：∵点的坐标是，
∴由勾股定理可得点P到圆心的距离，
又半径，
∴
∴点在内外，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点与圆的3种位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外，点P在圆上，点P在圆内．
3. 图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【详解】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．故选C．
4. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转后，点对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状和大小作出旋转后的图形，即可得出答案.
【详解】
如图，△ABC绕点A逆时针旋转90°后，B点对应点的坐标为(0,2)，故答案选择D.
【点睛】本题考查的是坐标与图形的变化——旋转，记住旋转只改变图形的位置不改变图形的形状和大小.
5. 如图随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：由题意可得：
共有3种等可能结果，其中能让灯泡至少一盏发光的有2种，
∴随机闭合开关中两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为，
故选：D：
【点睛】此题考查的是列举法求概率．注意不重复不遗漏的列出所有可能的结果，概率=所求情况数与总情况数之比．
6. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
7. 如图，是的直径，点是外一点，交于点，连接，．若，且与相切，则此时等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用切线的性质求出，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉切线的性质和等腰三角形的性质．
8. 如图，函数与的图象交于点两点，则不等式的解集为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵函数与的图象相交于点两点，
∴不等式的解集为：或，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
9. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】由正六边形的性质得出∠AOB=120°，由圆周角定理求出∠APC=30°．
【详解】解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
10. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，
故选B．
二、选择题（每小题3分，共15分）
11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是______．
【答案】9
【解析】
【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．
【详解】解：x2-5x+4=0，
（x-1）（x-4）=0，
所以x1=1，x2=4，
当1是腰时，三角形的三边分别为1、1、4，不能组成三角形；
当4是腰时，三角形的三边分别为4、4、1，能组成三角形，周长为4+4+1=9．
故答案是：9．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．
12. 双曲线有三个点若，则的大小关系用小于号连接表示是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线中可判断出此函数图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而增大，结合，即可得出结论．
【详解】解：∵双曲线中
∴此函数的图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而增大，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数的增减性是解此题的关键．
13. 设x1，x2是关于x的方程x2+3x-m=0的两个根，且2x1=x2，则m=__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据根与系数的关系求得x1=-1，将其代入已知方程，列出关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意，知x1+x2=3x1=-3，则x1=-1，
将其代入关于x的方程x2-3x+m=0，得(-1)2+3×(-1)-m=0．
解得m=-2．
故答案是：-2．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14. 三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点为扇形的圆心，格点分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则图中阴影部分面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意连接OC，先求出OC长和∠AOB的度数，再根据扇形的面积公式得出扇形EOF的面积进而求出阴影部分面积即可．
【详解】解：连接，
在中，由勾股定理得
，已知，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求不规则图形阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式以及勾股定理和正方形的性质是解答此题的关键．
15. 如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为____________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据点C1的坐标，确定y1，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，，y100，然后再求和，即可求解．
【详解】解：如图，过点C1、C2、C3 分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3，则∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，
∵，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，
∴∠OC1D1=∠C1OD1=45°，
∴OD1=C1D1，
∴x1=y1，
∵点在反比例函数的图象上，
∴x1y1=4，
解得：x1=2，y1=2，
即OD1=C1D1=2，
∴OA1=2OD1=4，
设A1D2=a，则C2D2=a，此时C2（4+a，a），代入，得：
a(4+a)=4，解得： 或（舍去），
即，
同理， ，
，

，
∴．
故答案为： ．
【点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论是解题的关键．
三、解答题（共8题，75分）
16. （1）选择适当的方法解方程：；
（2）对于任意实数a，b，定义，如，若，求实数x的值．
【答案】（1），；（2）1或-6
【解析】
【分析】（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）根据新运算列出方程，再利用公式法解答，即可求解．
【详解】（1）解：移项，得，
配方，得，
即．
直接开平方，得，
，．
（2）解：由题意知：，
整理得：
，，，
，
解得，．
所以实数x的值为1或-6
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键．
17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个㴶位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．

（1）画出关于轴对称的；
（2）画出绕点O逆时针旋转后的；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到经过的路径长（结果保）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；
（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；
（3）点B旋转到经过的路径长即为圆弧长，根据弧长公式计算即可；
【小问1详解】
关于x轴对称的如下图所示；
【小问2详解】
绕点O逆时针旋转后的如上图所示；
【小问3详解】
如上图，扇形的半径．
则扇形的弧长为：
即B点旋转到经过的路径长为
【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18. 某校在课后服务中，成立了以下社团：．计算机，．围棋，．篮球，．书法每人只能加入一个社团,为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图中D所占扇形的圆心角为．

请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有________人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）；

（2）见解析； （3）；

（4）．
【解析】
【分析】（1）由的人数除以所占比例即可；
（2）求出的人数，即可解决问题；
（3）由该校共有学生人数除以参加篮球社团的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：(人)；
故答案为：，
（2）组人数为：(人)，
故补充条形统计图如下图：

（3）(人) ，
答：这名学生中有人参加了篮球社团，
（4）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：

∵一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，
∴．
【点睛】此题考查了用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体，画树状图法求概率，根据条形统计图和扇形统计图获取信息和数据与正确画树状图是解题的关键．
19. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1），点坐标为（1，4））；（2）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后把代入到解析式，即可求得m的值；
（2）根据函数的对称性求得A的坐标，再根据待定系数法求得直线AP的解析式，从而求得直线AP与y轴的交点C的坐标，然后根据S△AOP=S△AOC+S△POC求得即可．
【详解】解：（1）把点代入，得
∴反比例函数的表达式为
∵把代入得：
∴点坐标为（1，4）．
（2）∵点与点关于原点对称，点
∴点
设与轴交于点，直线的函数关系式为，
把点、分别代入得：，解得
∴直线的函数关系式为
∴点的坐标（0，3）
∴
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
20. 如图，∠PAQ是直角，半径为5的圆O经过AP上的点T，与AQ相交于点B，C两点，且TB平分∠OBA．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）已知AT＝4，试求BC的长．
【答案】（1）见解析 （2）BC的长为6．
【解析】
【分析】（1）连接OT，根据等边对等角得到∠OTB=∠OBT，再利用角平分线的定义得到∠TBA=∠OBT =∠OTB，可以证明AB∥OT，则OT⊥AP，可以证出结论；
（2）过点B作BH⊥OT于点H，然后在Rt△OBH中，利用OB=5，BH=AT=4根据勾股定理求出OH，再利用垂径定理即可求出BC的长．
【小问1详解】
证明：连接OT，
∵OT=OB，
∴∠OTB=∠OBT．
∵BT平分∠OBA，
∴∠OBT=∠TBA，
∴∠TBA=∠OTB．
∴AB∥OT，
又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，
∴OT⊥AP，
∴AP是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：过点B作BH⊥OT于点H，则四边形OMBH和四边形ABHT都是矩形．
则在Rt△OBH中，OB=5，BH=AT=4，
∴OH==3，
∴BC=2BM=2OH=6．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，垂径定理以及等角对等边等知识，此题的解题方法比较多，灵活性比较高．
21. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）写出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）并求出在此范围内销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元
（3）销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润是4480元
【解析】
【分析】（1）根据总利润单件利润销售数量列出关系式即可，根据题意，写出自变量的取值范围即可；
（2）二次函数求最值即可；
（3）根据每天销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：根据题意，
，
∵每件的成本是50元，销售单价是100元，
自变量x的取值范围是：
∴；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴抛物线开口向下．
∵，对称轴是直线，
∴当时，y最大值；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；
【小问3详解】
解：当时，，
解得：，
∴当时，每天的销售利润不低于4000元，
由每天的总成本不超过7000元，得，解得：，
∴，
∵，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
此时当时，y最大值元；
即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润是4480元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出函数解析式，利用二次函数的性质求最值，是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可）
（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．
【答案】(1)顶点A的坐标为；(2)；(3)或
【解析】
【分析】(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；
(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；
(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．
【详解】解：(1)由题意可知：
抛物线，
∴顶点A的坐标为；
(2)将代入中，
得到，
将代入中，
得到，
由已知条件知：，
∴，
整理得到：，
解得：，
故m的取值范围是：；
(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，
分类讨论：
①当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
②当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故或都不符合题意；
③当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
综上所述，或．
【点睛】本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
23. （1）问题发现
如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，，，，求的度数．
针对此问题，数学王老师给出了下面的思路：如图2，将绕点A逆时针旋转60°得到，连结，得到等边三角形，在中，根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路提示，完成本题的解答；
（2）类比延伸
如图3，在正方形ABCD内部有一点P，若，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到∠APB的度数；
（2）把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出再求出，然后利用勾股定理得出等量代换得出．
【详解】解：（1）如图2，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到，连结，
则为等边三角形．
∴
∴
∴为直角三角形．
∴∠APB的度数为90°+60°=150°．
故答案为：直角；150°；
（2）2PA2+PD2=PB2．理由如下：
如图3，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，
连结． 则
∴是等腰直角三角形，
∴
∵∠APD=135°，
∴，
∴，
在Rt中，由勾股定理得，

∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理的应用．开关
K1K2
K1K3
K2K3
结果
L2亮
L1L2均亮
L1L2均不亮
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…