河南省信阳市光山县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案

这是一份河南省信阳市光山县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案，共83页。试卷主要包含了答题前，考生务必将本人姓名等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、本试卷分试卷和答题卡两部分．试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．
2、试题卷上不要答题．请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
3、答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．
【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形.掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键.
2. 已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（ ）
A. （﹣3，﹣2）B. （2，﹣3）C. （﹣2，﹣3）D. （﹣2，3）
【答案】D
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），由此即可解答．
【详解】∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），
∴点P的坐标是（2，﹣3）．
∴点P关于原点的对称点P2的坐标是（﹣2，3）．
故选D．
【点睛】本题考查了平面内两个点关于坐标轴对称和原点对称的坐标关系，熟知平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）是解决问题的关键．
3. 已知：关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 两个不相等的实数根B. 无实数根
C. 两个相等的实数根D. 有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合，可得出，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵a＝1，b＝﹣2m，c＝﹣1，
∴．
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程+bx+c=0（a≠0），当-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当-4ac＜0时，方程没有实数根；当-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．
4. 当时，与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，分，和，两种情况，讨论抛物线和直线的位置判断即可．
【详解】根据题意分两种情况讨论，
当，时，抛物线的图象开口向上，过原点，直线经过第一、二、三象限，可知A，B不符合题意；
当，时，抛物线的图象开口向下，过原点，直线经过第二、三、四象限，可知C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像和一次函数图像的性质，掌握函数关系式的系数与图像的位置之间的关系是解题的关键．
5. 肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ）
A. 1+x+x（1+x）＝225B. 1+x2＝225
C. 2（1+x）＝225D. 1+（1+x2）＝225
【答案】A
【解析】
【分析】根据每人传染人数，算出每轮增加的人数，再求和即可；
【详解】第一轮传染以后会增加x人，共有1+x人感染，1+x人每人传染x人，第二轮会增加（1+x）x，所以两轮以后共有1+x+x(1+x)人，根据题意可列方程1+x+x(1+x)=225
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程解决问题，掌握知识并熟练使用，找到题中的等量关系并根据等量关系列出对应方程是本题的解题关键．
6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．
【详解】解：把，，分别代入得，
；；；
则，，的大小关系是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．
7. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.
【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：
再向下平移3个单位，可得：
故答案为：C.
【点睛】本题考查了平移的规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右平移动括号里的.
8. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）
A. B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4．
设⊙O的半径为r，则OC=r－2，
在Rt△AOC中，∵，
∴，即，解得r=5．
∴．
连接BE，
∵AE是的直径，∴∠ABE=90°．
在Rt△ABE中，∵，∴．
在Rt△BCE中，∵，∴．
故选：D．
9. 已知二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴的位置判断的符号，再根据抛物线与轴的交点，判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线对称轴是轴的右侧，
∴，
∵与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，故②错误；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故③正确；
当时，，
即，故④错误；
综上可得：正确的结论为：①③，有个．
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解本题的关键是要明确：对于二次函数来说，①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左； 当与异号时（即），对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．④抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴无交点．
10. 如图，菱形OABC的顶点O(0，0)，A(﹣2，0)，∠B＝60°，若菱形绕点O顺时针旋转90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到菱形OA2020B2020C2020，那么点C2020的坐标是（ ）
A. (，1)B. (1，﹣)C. (﹣，﹣1)D. (﹣1，)
【答案】D
【解析】
【分析】如图（见解析），作于D，先根据菱形的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，从而可得点C的坐标为，然后菱形OABC绕点O连续旋转2020次，旋转4次为一周，绕点O连续旋转2020次得到菱形与菱形OABC重合，从而可得点与C重合，由此即可得出答案．
【详解】如图，作于点D，则，
∵四边形OABC是菱形，，，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
若菱形绕点O顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到菱形，则菱形OABC绕点O连续旋转2020次，旋转4次为一周，旋转2020次为（周），
∴绕点O连续旋转2020次得到菱形与菱形OABC重合，
∴点与C重合，
∴点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、图形的旋转，根据图形的旋转方式，正确得出一般规律是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 一元二次方程的解是________________．
【答案】
【解析】
分析】先移项，再两边开方即可得出答案．
【详解】∵
∴，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
12. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.
【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键.
13. 已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围_____．
【答案】且
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．
【详解】解：由二次函数与x轴有交点，得
一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故答案为∶ 且．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系， 把二次函数与x轴有交点问题转化为一元二次方程有实数根的问题，是解题的关键．
14. 如图，已知中，，将绕顶点C顺时针旋转90°得到，F是中点，连接，则的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】作于H，如图，由旋转的性质可得，则，证明，求出，则，即可利用勾股定理得到．
【详解】解：作于H，如图，
∵将绕顶点C顺时针旋转90°得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵F是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15. 如图，ABC是等边三角形，AB＝2，点D在边AB上，且BD＝1，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当AEF为直角三角形时，AF＝_________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，判断出只能是∠AEF＝90°，分两种情形，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，或点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，分别通过勾股定理求AF的长即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，E是边AC的中点，
∴只能是∠AEF＝90°，
当点F在△ABC内时，∠AEF＝90°，此时，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，
∴
∴EF＝BE﹣BF＝3﹣1＝2，
∴
当点F在△ABC外时，∠AEF＝90°，此时，点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，
此时，EF＝BE+BF＝3+1＝4，
∴
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和等边三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）解一元二次方程：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解求解即可；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，接着上约分 ，然后进行同分母减法法则．
【详解】（1）解：
或，
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，分式的混合运算，正确解一元二次方程，正确运算分式的运算法则是解本题的关键．
17. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求k的值及方程的另一根．
【答案】（1）见解析 （2）的值为3，方程的另一根为1
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，结合完全平方公式的非负性分析求证；
（2）把一根为3代入一元二次方程求出k的值，再解方程求出另一根．
【小问1详解】
证明：∵
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：当时，，
解得：，
把代入原方程：，（舍去）
故的值为3，方程的另一根为1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时Δ＞0是解题的关键．
18. 在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度：已知．

（1）与关于原点O对称，画出，并写出点的坐标．
（2）以O为旋转中心将顺时针旋转得，画出并写出点的坐标．
（3）在x轴上找一点P，使得最小，直接写出P点坐标及其最小值？
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
（3）P点坐标为，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用关于原点对称的点的特征得到，，的坐标，然后描点即可；
（2）利用旋转的性质得到，，的坐标，然后描点即可；
（3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标，计算得到的最小值．
【小问1详解】
解：如图，为所作；；
【小问2详解】
如图，为所作；；
【小问3详解】
作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，
，
，
此时的值最小，
设直线的解析式为，
把，分别代入得
，解得
直线的解析式为，
当时，，
解得
点坐标为，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查作图——旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，也考查了最短路径问题．
19. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，则平均每年下降的百分率是 ；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【答案】（1）10% （2）单价应降低15元
【解析】
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1-下降率)，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38-m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设平均下降率为x，
依题意得：，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
故答案为：10%．
小问2详解】
设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，掷实心球是大连市中考体育加试中的一个项目．一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．
（1）求实心球行进的高度（米）与行进的水平距离（米）之间的函数关系式；
（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．
【答案】（1）
（2）这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀
【解析】
【分析】（1）设抛物线顶点式表达式，代入坐标求解．
（2）当时，解一元二次方程即可．
【小问1详解】
由抛物线顶点是，设抛物线解析式为：，
把点代入得，∴抛物线解析式为：；
【小问2详解】
当时，， 解得，（舍去），，
即这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是结合图像利用抛物线顶点式求表达式．
21. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．
（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的长度，则答案可求．
【详解】（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
∵OH⊥BF，
．
∴四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE．
∵，BF＝6，
∴BH＝3．
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝＝4，
∴CE＝4．
【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
22. 已知抛物线
（1）若抛物线与直线交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当时自变量x的取值范围．
（2）若，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）①；；②或
（2）或
【解析】
【分析】（1）将（1，0），（5，8）分别代入和即可求解；
（2）根据题意，分析符合题意的a的取值范围并求解即可；
【小问1详解】
解：①把（1，0），（5，8）分别代入可得
，解得，
∴抛物线的解析式为.
把（1，0），（5，8）分别代入可得
，解得，
直线的解析式为.
②由题意得，，
解得：，
∴当时自变量x的取值范围是或.
【小问2详解】
，
抛物线的解析式为.
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为（2，a），
∵点A（0，3），B（3，3）
①当时，抛物线最小值为，与线段AB无公共点；
②当时，抛物线的顶点为（2，3），在线段AB上，此时抛物线与线段AB有一个公共点；
③当时，抛物线最小值为a，与直线AB有公共点；
如果抛物线经过点A，则，解得，
由抛物线的对称轴为直线，可知抛物线经过点（4，3），
点（4，3）不在线段AB上，此时抛物线与线段AB有一个公共点A；
如果抛物线经过点B，则，解得，
由抛物线的对称轴为直线，可知抛物线经过点（1，3），
点（1，3）在线段AB上，此时抛物线与线段AB有两个公共点；
综上所述，当或时，抛物线与线段AB有唯一公共点．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用，掌握相关知识，根据题意进行分析是解本题的关键．
23. （1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图（1）在等边内部，有一点，若求证：．
证朋：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形，
∴ ，________________，
∵ ∴
∴________________，即．
（2）类比延伸：如图②在等腰三角形中，，内部有一点P，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明．（提示：将绕A点逆时针旋转90°）
（3）联想拓展：如图③在中，，，点P在直线上方，且，满足（其中），请直接写出k的值．（提示：将绕A点顺时针旋转120°）

【答案】（1）；；（2），见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可；
（2）将绕点逆时针旋转90°，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可；
（3）将绕点顺时针旋转120°得到，连接，过点作，论证，再根据勾股定理代换即可．
【详解】解：(1)；
(2)．
证明如下：如图①，将绕点逆时针旋转90°，得到，连接，
则为等腰直角三角形，

，
，
，
；
(3) ．
如图②，将绕点顺时针旋转120°得到，连接，过点作于点，

可得，
，
，
在中， ，
，
，
．
【点睛】此题主要考查几何变换中的旋转变换，熟悉旋转变换的性质，并通过旋转构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键.