安徽省芜湖市无为第三中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案

这是一份安徽省芜湖市无为第三中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案，共22页。试卷主要包含了单选题等内容，欢迎下载使用。

本卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答，在试题卷上答题无效，祝你考出好成绩！
一、单选题（本题共10小题，每题4分，满分40分）
1. 若关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A. a＝B. a＝±C. a＝2D. a＝－2
【答案】D
【解析】
2. 已知是方程的一个根，则代数式的值是( )
A. 2B. 4C. -2D. -4
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程方程的解的定义可得，进而可得，整体代入代数式中即可求解．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴
即，
∴=．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，求得是解题的关键．
3. 已知关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且k≠0D. 且k≠0
【答案】D
【解析】
【分析】因为关于x的一元二次方程有两个实数根，所以必须满足下列条件：二次项系数不为零且判别式，列出不等式求解即可确定k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，即，且，
解得且．
故选：D
【点睛】此题考查一元二次方程概念及根的判别式，解题关键在于掌握根的判别式与根的个数之间的关系，注意此处：．
4. 某超市一月份营业额为20万元，已知第一季度的总营业额共100万元，如果营业额平均每月的增长率为x，那么由题意列方程应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由该超市一月份的营业额及平均每月增长率，可得出该超市二、三月份的营业额，再根据该超市第一季度的总营业额共100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵该超市一月份的营业额为20万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
又∵第一季度总营业额共100万元，
∴，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5. 一个等边三角形绕其中心至少旋转多少度能与自身重合（ ）
A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与原图形重合，即可．
【详解】∵等边三角形三个角相等
∴在旋转时，只要使下一个角对准原角，即可重合
∵旋转一周为
∴旋转，即可与自身重合
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的知识，解题的关键是掌握旋转对称图形的概念．
6. 二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下
B. 抛物线经过点（2，3）
C. 抛物线的对称轴是直线x=1
D. 抛物线与x轴有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质对选项A、选项C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对选项B进行判断；利用方程解的情况对选项D进行判断．
【详解】解：A、a＝2，则抛物线的开口向上，故A选项错误；
B、当x＝2时，，则抛物线不经过点（2，3），故B选项错误；
C、抛物线的对称轴为直线x＝0，故C选项错误；
D、当y＝0时，，此方程中，因此此方程有两个不相等的实数解，所以抛物线与x轴有两个交点，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的性质 ，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
7. 已知点A（4，），B（，），在的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. <【答案】D
【解析】
【分析】由的对称轴为直线 可得函数图象的开口向下，离对称轴越近的点的纵坐标越大，从而可得答案.
【详解】解：∵的对称轴为直线
∴函数图象的开口向下，离对称轴越近的点的纵坐标越大，
而，，，
∴到对称轴的距离最近，C到对称轴的距离最远，
∴<<，
故选：D
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用数形结合的方法判断二次函数的函数值的大小是解本题的关键.
8. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】关于x的不等式的解集就是一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．
【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于A（−1，4），B（5，2）两点，
∴根据图象可得关于x的不等式的解集是：−1≤x≤5．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键．
9. 如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题需先设正方形的边长为，然后得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的函数图象是．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，在解题时要能根据几何图形求出解析式，得出函数的图象．
10. 抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(， 0)，其部分图象如图所示．下列结论：①；②方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤m为任意实数，其中结论正确的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线与x轴交点个数，可判断①；利用抛物线的对称性结合图象，可求出抛物线与x轴的另一个交点，可判断②；由对称轴的方程可得出．然后根据当时，函数值为0，即可得出，从而得出，可判断③；根据抛物线在x轴上方时，x的取值范围可判断④；由当时，函数有最大值，即可知m为任意实数时，恒成立，从而得出，可判断⑤．
【详解】由图象可知该抛物线与x轴有两个交点，即其相关一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，即，故①正确；
由图象可知该抛物线与x轴的一个交点坐标为(，0)，
∵对称轴为，
∴该抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，
∴方程的两个根是，故②正确；
∵该抛物线对称轴为，
∴，即．
将(，0)代入，得：，
将代入，得：
∴，故③错误；
当时，即取抛物线在x轴上方的部分，
由图象结合②可知此时x的取值范围是，故④错误；
由图象可知当时，函数有最大值，
∴m为任意实数时，，
∴，故⑤正确．
综上可知正确的结论有3个．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分）
11. 若，则x=________
【答案】x=1或x=0,
【解析】
【分析】先对移项，再进行计算即可得到答案.
【详解】
解得x=1或x=0.
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的基本步骤.
12. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到△，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围．
【详解】解：当时，方程化为，解得；
当时，则△，解得且，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
13. 抛物线向右平移2个单位再向下平移1个单位，所得的新抛物线的表达式是____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用抛物线的平移规律：上加下减，左加右减进而得到平移后的表达式．
【详解】解：抛物线向右平移2个单位再向下平移1个单位，
平移后的新抛物线的表达式为：
即．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数图像的平移．将二次函数的解析式化为顶点式与熟练掌握图像平移的规律是解此题的关键．
14. 知识拓展：将函数y＝x2+2x﹣3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的即是新函数y＝|x2+2x﹣3|的图象．请解决以下问题：
（1）写出翻折部分的函数表达式______；
（2）若该新函数图象与直线y＝﹣x+b有两个交点，则b的取值范围是_____．
【答案】 ①. y＝﹣（x+1）2+4 ②. ﹣＜b＜或b＞
【解析】
【分析】（1）求出函数顶点坐标，根据翻折后顶点坐标及开口方向变化求解．
（2）作出y＝|x2+2x﹣3|的图象，根据b值的变化直线上线平移，结合图象求解．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线顶点坐标为 ，开口向上，
∴翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为 ，
∴ ，
故答案为：．
（2）令x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴函数图象与x轴交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
如图，直线 经过（﹣3，0），
将（﹣3，0）代入得0＝+b，
解得b＝﹣，
b增大，直线向上移动，当直线经过（1，0）时，如图，
将（1，0）代入得0＝﹣+b，
解得b＝，
∴﹣＜b＜满足题意．
直线向上移动，当直线与抛物线y＝﹣（x+1）2+4有1个交点时，如图，
令﹣x+b＝﹣（x+1）2+4，整理得x2+x+b﹣3＝0，
＝（）2﹣4（b﹣3）＝0，
解得b＝，
b增大满足题意，
∴b＞，
综上所述，﹣＜b＜或b＞，
故答案为：﹣＜b＜或b＞．
【点睛】本题考查了二次函数图像与一次函数图像及二次函数图像与x轴的交点问题，运用数形结合思想是解决本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解下列关于的方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：移项，得．
开方得：，
解得，．
【小问2详解】
解：∵
∴，，．
∴．
∴方程有两个不等的实数根
∴，
解得，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
16. 如图，已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），
（1）请画出把△ABO向下平移5个单位后得到的△A1B1O1的图形；
（2）请画出将△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O2，并写出点A的对应点A2的坐标．
【答案】（1）见解析（2）（3，-1）
【解析】
【分析】(1)找到△ABO的三个顶点A、B、O、分别向下平移5个单位，找的它们的对应点A1、B1、O1，连接A1 B1、B1 O1、O1 A1，即可得到题目所要求图形△A1B1O1.
(2) 将△ABO绕点O顺时针旋转90°，则旋转中心O点的对应点O2的坐标仍为（0、0），OA可以看成它所在长方形的对角线，通过旋转长方形即可得到OA的对应线段O2A2，同理得出OB的对应线段O2B2，连接A2B2即可得到△A2B2O2.
【详解】（1）
（2）由图可知，A2的坐标为（3，﹣1）.
【点睛】本题主要考查图形的平移与旋转，旋转是本题的难点.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 先化简，再求值：，其中m是方程的根．
【答案】；
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，再根据一元二次方程解的定义，得出，再整体代入计算，即可得解．
【详解】解：
，
∵m是方程的根，
∴，即
；
【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．注意整体代入思想的运用．
18. 如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是时，拱高为，一艘木船宽要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于，那么木船的高不得超过多少米？（要求：以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系）
【答案】木船的高不得超过
【解析】
【分析】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，则抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为：，求出抛物线的解析式为，把代入得：，求出木船的最大高度即可．
【详解】解：如图，以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，则抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵木船宽，
∴把代入得：，
∵船顶点与桥拱之间的间隔应不少于，
∴木船的高不得超过．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长8米）的空地上建长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成，如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，花园的面积为18平方米？
【答案】9
【解析】
【详解】设AB=x米，则米，由题意：长方形花园的面积为18平方米，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：设AB=x米，则米，
由题意得：，
解得：x=1或x=9，
当x=1时，，故舍去；
当x=9时，；
答：当x为9时，花园的面积为18平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，注意验证x的值是否符合题意．
20. 已知一个二次函数的图象经过点和三点．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求此二次函数顶点坐标．
【答案】（1）．
（2）顶点坐标是．
【解析】
【分析】（1）根据A与B的坐标设出抛物线的解析式，把C坐标代入确定出即可；
（2）把解析式化成顶点式即可求得．
【小问1详解】
解：∵抛物线过，
设二次函数解析式，
∵抛物线过点，
∴，
解得a=1，
∴，
∴二次函数的解析式．
【小问2详解】
解：由，
∴顶点坐标是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 云南某星级酒店共有50个房间供给受疫情影响需要隔离的人员居住，每间房价不低于200元且不超过350元，酒店还需对隔离人员居住的每个房间每天支出各种费用共计120元已知需要隔离的人员居住的房间数y（单位：间）和每个房间定价x（单位：元）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当房价定为多少元时，酒店利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=x+96（230≤x≤350）
（2）当每间房价定价为300元时，酒店每天所获利润最大，最大利润是6480元
【解析】
【分析】（1）根据图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据酒店利润数=单个房间的利润×隔离人员居住房间数列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质解决问题．
【小问1详解】
解：由题意，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
把（280，40），（290，38）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y=x+96（230≤x≤350）；
【小问2详解】
设酒店的利润为w元，则
，
，
∴当x=300时，w取得最大值，最大值为6480元，
答：当每间房价定价为300元时，酒店每天所获利润最大，最大利润是6480元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据“酒店利润数=单个房间的利润×隔离人员居住房间数”列出二次函数的关系式，用二次函数解决实际问题中的最值问题．
七、（本题满分12分）
22. 如图，抛物线经过点A（ ，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且 ，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当 的值最小时，求出点F的坐标及的最小值．
【答案】（1）抛物线的表达式为；直线BC的表达式为
（2）点F的坐标为（1，3）、的最小值为
【解析】
【小问1详解】
解：由点A的坐标知，，
∵ ，
∴点C的坐标为，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得，，
∴抛物线的表达式为；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：
，
解得，，
∴直线BC的表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当 的值最小，
∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的对称轴为即，
由函数的对称性知， ，
则 为最小，
当 时， ，
∴点 ，
由点B、C的坐标知， ，
∴ ，
即点F的坐标为 、 的最小值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解抛物线和一次函数的表达式，勾股定理，最短距离等知识，熟练掌握待定系数法求函数表达式以及灵活运用勾股定理求解是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点P是直线AB上的一点，连接PC，以PC为腰作等腰直角PCD．
（1）如图1，当点P是线段上异于A、B的任一点，求证：．
（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上时，线段AP，BP，PC满足的关系式为 ；
（3）如图3，当P是ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，请直接写出∠BPC的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）135°
【解析】
【分析】（1）证明ACDBCP（SAS），推出AD=PB，∠CAD=∠B=45°，可得结论；
（2）结论：．同法可证ACPBCD，推出AP=BD，∠A=∠CBD=45°，可得结论；
（3）根据旋转的性质得到CP=CD=2，∠DCP=90°，DB=PA=3，则CPD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得PD=PC=2，∠CPD=45°，由PB=1，PD=2，DB=3，易得，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即可得到∠BPC的度数．
【小问1详解】
证明：∵ACB，DCP都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CP，∠ACB＝∠DCP＝90°，
∴∠ACD＝∠BCP，∠CAB＝∠B＝45°，
在ACD和BCP中，
，
∴ACDBCP（SAS），
∴AD＝PB，∠CAD＝∠B＝45°，
∴∠DAP＝90°，
∴，
∵PD＝PC，
∴；
【小问2详解】
解：结论：．
理由：如图2中，连接BD，
同法可证ACPBCD，
∴AP＝BD，∠A＝∠CBD＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DBP＝90°，
∴，
∵PD＝PC，
∴；
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图3中，把ACP绕点C逆时针旋转90°得到BCD，连接DP，
∵ACP绕点C逆时针旋转90°得到BCD，
∴ACPBCD，
∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，
∴CPD为等腰直角三角形，
∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，
在PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3，
而，
∴，
∴PBD为直角三角形，
∴∠DPB＝90°，
∴∠BPC＝45°+90°＝135°
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．