2023-2024学年金太阳湖南省部分学校高二上学期12月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年金太阳湖南省部分学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.|i(3-i)+2|=(    )A. 10 B. 2 3 C. 3 D. 3 22.已知全集U=R，集合A={x|y=ln(-x+2)}，B={y|y=x2+4x2+1+3}，则∁U(A∪B)=(    )A. [2,6) B. (2,6] C. [2,8) D. (2,8]3.已知A为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为9，到x轴的距离为6，则p=(    )A. 3 B. 4 C. 6 D. 84.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为(    )A. 310 B. 15 C. 25 D. 125.若点A(4,3)，B(3,5)到直线l:2x+ay+1=0的距离相等，则a=(    )A. 1 B. -1 C. 1或-2 D. -1或26.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(3π4)=(    )A. 1 B. -1 C. 2 D. - 27.等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk=5，S3k=21，则S5k=(    )A. 37 B. 39 C. 42 D. 458.已知F是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为 73的直线与E的右支交于点M，MN=3NF，MF⊥ON，则E的离心率为(    )A. 3 B. 2 C. 3 D. 2二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.甲同学通过数列3，5，9，17，33，⋯的前5项，得到该数列的一个通项公式为an=2n+m，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是(    )A. m=1 B. m=2 C. 该数列为递增数列 D. a6=6510.某班有男生30人，女生20人，其中男生身高(单位：厘米)的平均值为170，身高的方差为24，女生身高的平均值为160，身高的方差为19，则(    )A. 该班全体学生身高的平均值为165 B. 该班全体学生身高的平均值为166C. 该班全体学生身高的方差为46 D. 该班全体学生身高的方差为4411.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线D:x2-y23=1有相同的焦点F1，F2，且它们的离心率互为倒数，P是C与D的一个公共点，则(    )A. |PF1|-|PF2|=12|F1F2| B. |PF1|+|PF2|=2|F1F2|C. △PF1F2为直角三角形 D. C上存在一点Q，使得QF1⊥QF212.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角(其中M对应钟上数字3，N对应钟上数字9).设MN的中点为O，|MN|=4 3，已知长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针OC(安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细)，则下列说法正确的是(    )A. 若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则OA⊥BCB. 若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则NA//平面OBCC. 若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为 147D. 若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为1033π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量m=(2,x)，n=(-4,x+2)，若m⊥n，则x=          ．14.某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过          年.15.设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是偶函数，若f(1)=7，则f(2023)+f(2024)=           ．16.若A、B是平面内不同的两定点，动点P满足|PA||PB|=k(k>0且k≠1)，则点P的轨迹是一个圆、这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知P是圆C1:x2+y2=4上的动点，点C(4,0)，D(4,9)，则2|PD|-|PC|的最大值为          ．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)在正项等比数列{an}中，a1=4，a4=a3+2a2．(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=log2an，证明{bn}是等差数列并求{bn}的前n项和Sn．18.(本小题12分)已知圆C1:x2+y2-4x-5=0与圆C2关于直线l:x-y+1=0对称．(1)求C2的标准方程;(2)记C1与C2的公共点为A，B，求四边形AC1BC2的面积．19.(本小题12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c2，a2，3b2成等差数列．(1)若(a-c)cosB=b(cosA-cosC)，求sinAsinB;(2)若c=1，当cosB取得最小值时，求△ABC的面积．20.(本小题12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且8Sn=(an+2)2．(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=Snanan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．21.(本小题12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90∘，BC=2AD=2 2，△PAB与△PAD均为正三角形．(1)证明：AD/​/平面PBC．(2)证明：PB⊥平面PCD．(3)设平面PAB∩平面PCD=l1，平面PAD∩平面PBC=l2，若直线l1与l2确定的平面为平面α，线段AC的中点为N，求点N到平面α的距离．22.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2 7，点M(4,3)在C上．(1)求C的方程;(2)F1，F2分别为C的左、右焦点，过C外一点P作C的两条切线，切点分别为A，B，若直线PA，PB互相垂直，求△PF1F2周长的最大值．答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查复数的模，属于基础题．先化简复数，再直接计算即可．【解答】解：|i(3-i)+2|=|3+3i|= 32+32=3 2．故选：D．2.【答案】A 【解析】【分析】本题考查集合间基本运算，属于基础题．根据对数函数定义域和均值不等式分别确定结合A，B，即可求解．【解答】解：由-x+2>0，得A=(-∞,2)，因为x2+4x2+1+3=x2+1+4x2+1+2≥2 (x2+1)⋅4x2+1+2=6，当且仅当x2=1时，等号成立，所以B=[6,+∞)，所以∁U(A∪B)=[2,6)．3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了抛物线定义的理解与应用，属于基础题．利用抛物线的定义求解即可．【解答】解：设抛物线焦点为F，由抛物线的定义可知|AF|=yA+p2=9，因为点A到x轴的距离为6，所以6+p2=9，解得p=6．故选C．4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查古典概型概率的计算，属于基础题．写出所有组合的种数，找到符号要求的种数，利用古典概型即可求解．【解答】记3克的砝码为A1，A2，1克的砝码为C1，C2，2克的砝码为B，从中随机选取两个砝码，样本空间Ω={(A1,A2)，(A1,B)，(A1,C1)，(A1,C2)，(A2,B)，(A2,C1)，(A2,C2)，(B,C1)，(B,C2)，(C1,C2)}，共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为310．故选：A．5.【答案】C 【解析】解：若A，B在直线l的同侧，则3-54-3=-2a，解得a=1．若A，B分别在直线l的两侧，则直线l经过AB的中点(72,4)，则7+4a+1=0，解得a=-2．利用A，B在直线l的同侧时斜率相等及A，B分别在直线l的两侧时l经过AB的中点，分析即可．本题主要考查过两点的斜率公式和中点公式，属于基础题．6.【答案】B 【解析】【分析】本题重点考查了三角函数的图象与性质等知识，属于中档题，准确理解给定的函数图象是解题关键．首先，根据图形，得到振幅A=2，然后，根据周期公式，得到ω=2，从而得到f(x)=2sin(2x+φ)，然后将图中已知点坐标代入，解得φ，即可求解．【解答】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可知A=2，34T=13π12-π3=3π4，则ω=2πT=2．由f(13π12)=2sin(2×13π12+φ)=2，所以，k∈Z，解得φ=-5π3+2kπ，k∈Z，则f(x)=2sin(2x-5π3)，故f(3π4)=2sin(2×3π4-5π3)=-1．7.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．先由等差数列的性质得到：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k，S5k-S4k成等差数列，再由题设条件求解出S5k即可．【解答】解：由等差数列的性质知，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，⋯也成等差数列，则2(S2k-5)=5+21-S2k，解得S2k=12，则(S4k-S3k)+(S2k-Sk)=2(S3k-S2k)，解得S4k=32，则(S5k-S4k)+(S3k-S2k)=2(S4k-S3k)，解得S5k=45．8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，直线与双曲线的综合问题，属于中档题．根据题意确定N为MF中点，所以ON//PF1，已知tan∠MFF1= 73，可求余弦，从而解出离心率．【解答】解：记E的右焦点为F1，MF的中点为P，连接MF1，PF1(图略)，因为MN=3NF，O为FF1的中点，所以ON//PF1，则MF⊥PF1，从而|MF1|=|FF1|=2c.又tan∠MFF1= 73，所以cos∠MFF1=|MF|2|FF1|=34，则|MF|=3c，|MF|-|MF1|=3c-2c=c=2a，故E的离心率为2．9.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查了数列的通项公式以及数列的单调性，是基础题．由a1=3，得m的值，可判断AB；再得出a6，可判断D；由an-an-1>0，可判断C．【解答】解：由a1=21+m=3，得m=1，则a6=26+1=65．由an-an-1=2n-2n-1=2n-1>0，得该数列为递增数列．10.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查了平均数、方差，是基础题．根据平均数、方差逐一判定即可．【解答】解：由题可知，该班全体学生身高的平均值为35×170+25×160=166，该班全体学生身高的方差为35[24+(170-166)2]+25[19+(160-166)2]=46．11.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义、双曲线的定义、椭圆以及双曲线的简单几何性质，是中档题．根据椭圆的定义、双曲线的定义、椭圆以及双曲线的简单几何性质逐一判定即可．【解答】解：由题可知，F1(-2,0)，F2(2,0)，D的离心率为2，则C的离心率为12，则若a=4，b=2 3，c=2，可得||PF1|-|PF2||=2，|PF1|+|PF2|=4，即可得||PF1|-|PF2||=12|F1F2|，|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，A不正确，B正确；根据对称性，不妨设P在第一象限，则|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=5,|PF2|=3,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，C正确；设|QF1|=x，则|QF2|=8-x，若QF1⊥QF2，则|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2，即x2+(8-x)2=16，方程无解，D不正确．12.【答案】ACD 【解析】【分析】本题主要考查异面直线垂直判断，线面平行，球的表面积，属于中档题．以O为坐标原点，OM，OB所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，结合各选项判断即可．【解答】解：如图，以O为坐标原点，OM，OB所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,- 3,0)，B(0,0,3)，M(0,2 3,0)，N(0,-2 3,0)．若秒针OC，指向了钟上数字5，则C(3 32,32,0)，OA=(1,- 3,0)，BC=(3 32,32,-3)，OB=(0,0,3)，则OA⋅BC=0，OA⋅OB=0，所以OA⊥BC，OA⊥OB，故OA是平面OBC的一个法向量．因为NA=(1, 3,0)，所以OA⋅NA=-2≠0，所以OA与NA不垂直，从而NA与平面OBC不平行，故A正确，B不正确；若秒针OC指向了钟上数字4，则C(32,3 32,0)，AM=(-1,3 3,0)，BC=(32,3 32,-3)，cos(AM,BC)=AM⋅BC|AM||BC|=122 7×3 2= 147．由AC=(12,5 32,0)，得|AC|= 19．因为∠AOC=120∘，所以△OAC外接圆的半径r=|AC|2sin∠AOC= 19 3，则四面体OABC的外接球的半径R= r2+94，则R2=10312，故四面体OABC的外接球的表面积为4πR2=1033π，C，D正确．13.【答案】2或-4 【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题．根据平面向量m⊥n时m⋅n=0，列方程求出x的值．【解答】解：向量m=(2,x)，n=(-4,x+2)，若m⊥n，则m⋅n=0，所以2×(-4)+x(x+2)=0，解得x=2或-4．14.【答案】4 【解析】【分析】本题考查指数函数模型的应用，属于基础题．设经过n年后，该商品年产量超过20000件，则10000×1.2n>20000，即可求解。【解答】解：设经过n年后，该商品年产量超过20000件，则10000×1.2n>20000，即1.2n>2．因为1.23=1.728<2，1.24=2.0736>2，所以至少需要经过4年．故答案为4．15.【答案】-7 【解析】【分析】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的性质应用．根据题意，由f(x)的奇偶性和对称性分析可得f(x+4)=f(x)，即可得f(x)是周期为4的周期函数，由此可得f(2023)与f(2024)的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，奇函数f(x)定义域为R，则f(-x)=-f(x)，且f(0)=0又由f(x+1)为偶函数，即f(x)的图象关于直线x=1对称，则有f(-x)=f(2+x)，综合可得f(2+x)=f(-x)=-f(x)，则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，又 f(1)=7，故f(2023)=f(-1+506×4)=f(-1)=-f(1)=-7；f(2024)=f(506×4)=f(0)=0，故f(2023)+f(2024)=-7，故答案为-716.【答案】6 10 【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力，属于中档题．由题意，结合圆的几何性质，将所求问题转化成三角形三边关系有关问题，再求解即可．【解答】解：设P(x,y)，A(1,0)，则|PA||PC|= (x-1)2+y2(x-4)2+y2= 5-2x20-8x=12，故2|PD|-|PC|=2(|PD|-|PA|)≤2|AD|=6 10，当且仅当A，D，P三点共线，且A在DP之间时取得最大值．17.【答案】解：(1)设{an}的公比为q，由a4=a3+2a2，得q2-q-2=0，解得q=2或q=-1(舍去)，因为a1=4，所以an=a1⋅qn-1=2n+1．(2)由(1)可知，bn=log2an=log22n+1=n+1，则bn+1-bn=n+2-(n+1)=1．因为b1=2，所以{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列，故Sn=2n+n(n-1)2×1=n2+3n2． 【解析】本题考查等差数列的判定或证明，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式。(1)根据题干条件先求得公比，再写出通项公式即可；(2)求出bn的表达式，即可证明的是等差数列，利用等差数列的前n项和，即可求解。18.【答案】解：(1)将C1的方程转化为(x-2)2+y2=9，知C1的圆心为(2,0)，半径为3．设C2的圆心为(a,b)，半径为r，因为C1与C2关于直线l:x-y+1=0对称，所以2+a2-b2+1=0,b-0a-2=-1,r=3,解得a=-1,b=3,r=3,故C2的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9．(2)|C1C2|= (2+1)2+(0-3)2=3 2，根据对称性可知C1到直线AB的距离d=|C1C2|2=3 22，则|AB|=2 9-d2=3 2，则四边形AC1BC2的面积S=12|AB||C1C2|=9． 【解析】本题考查关于点或直线对称的圆的方程，圆与圆的位置关系，属于一般题．(1)求得圆心关于直线的对称点，即可求解；(2)求出|C1C2|的值，进而得到|AB|的值，结合面积公式即可求解．19.【答案】解：(1)因为(a-c)cosB=b(cosA-cosC)，由正弦定理得：(sinA-sinC)cosB=(cosA-cosC)sinB，则sinAcosB-sinCcosB=cosAsinB-cosCsinB，则sinAcosB-cosAsinB=sinCcosB-cosCsinB，则sin(A-B)=sin(C-B)，所以A-B=C-B，即A=C或A-B+C-B=π(舍去)．因为c2，a2，3b2成等差数列，所以c2+3b2=2a2．由A=C，得a=c，则a2=3b2，即a= 3b，则sinAsinB=ab= 3；(2)由c2+3b2=2a2，得b2=23a2-13c2，则cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-23a2+13c22ac=a6c+2c3a≥2 a6c⋅2c3a=23，当且仅当a=2c=2时，等号成立，此时sinB= 1-cos2B= 53，所以△ABC的面积S=12acsinB= 53． 【解析】本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，三角形面积公式，等差中项，属于中档题．(1)由正弦定理得到A=C，从而a=c，再由c2，a2，3b2成等差数列得到边长关系即可求解；(2)利用余弦定理结合基本不等式求cosB最小值，利用面积公式求解．20.【答案】解：(1)当n=1时，8S1=(a1+2)2=8a1，解得a1=2．当n≥2时，由8Sn=(an+2)2，得8Sn-1=(an-1+2)2，两式相减得8an=an2+4an-an-12-4an-1，则(an+an-1)(an-an-1-4)=0．因为an>0，所以an-an-1=4，所以{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，则an=a1+(n-1)d=4n-2．(2)由(1)可知，Sn=n(an+2)2=2n2，则bn=Snanan+1=2n2(4n-2)(4n+2)=18(16n2-4)+1216n2-4=18+18(14n-2-14n+2)，则Tn=18+18(12-16)+18+18(16-110)+⋯+18+18(14n-2-14n+2)=n8+18(12-14n+2)=2n+116-132n+16． 【解析】本题考查等差数列的判定或证明，等差数列的通项公式，裂项相消法求和．(1)求出a1，判断{an}为等差数列，根据通项公式即可求解．(2)求得bn的表达式，利用裂项相消法求和即可．21.【答案】解：(1)证明：因为∠ABC=∠BAD=90∘，所以AB⊥BC，AB⊥AD，所以AD/​/BC，因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD/​/平面PBC．(2)证明：取BC的中点E，连接DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连接OA，OB，OD，OE．由△PAB和△PAD均为正三角形，得PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，则OE⊥BD，因为PO⊥平面ABCD，OE⊂面ABCD所以PO⊥OE，又BD∩PO=O，BD，PO⊂面PBD所以OE⊥平面PBD，因为PB⊂面PBD所以OE⊥PB.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE//CD，因此PB⊥CD．因为BD2=AB2+AD2=PB2+PD2，所以PB⊥PD，又CD∩PD=D，CD，PD⊂面PCD所以PB⊥平面PCD．(3)设AB∩CD=Q，连接PQ，则直线l1为直线PQ，因为AD/​/BC，平面PAD∩平面PBC=l2，所以BC//l2由(1)知，OE，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,1,0)，C(2,-1,0)，A(-1,0,0)，P(0,0,1)，Q(-2,-1,0)，N(12,-12,0)．PQ=(-2,-1,-1)，BC=(2,-2,0)，设平面α的法向量为n=(x,y,z)，则n⊥BC，n⊥PQ，所以-2x-y-z=0,2x-2y=0,取y=1，得n=(1,1,-3)．又PN=(12,-12,-1)，所以点N到平面α的距离d=|PN⋅n||n|=3 11=3 1111． 【解析】本题考查线面垂直的判定，线面平行的判定，点面距离，属于中档题．(1)求得AD/​/BC，利用线面平行的判定定理，即可；(2)作辅助线，由PO⊥平面ABCD，得到PO⊥OE，又OE⊥BD，则OE⊥平面PBD，得到OE⊥PB，又由平行关系得到PB⊥CD，再根据勾股定理得到PB⊥PD，根据线面垂直的判定定理即可证明；(3)建立空间直角坐标系，求出平面α的法向量为n=(1,1,-3)，PN=(12,-12,-1)，根据点面距离的向量公式，即可求解．22.【答案】解：(1)由题可知，2c=2 7,16a2-9b2=1,c2=a2+b2,解得a=2,b= 3,故C的方程为x24-y23=1．(2)由题可知，直线PA，PB的斜率均存在，设P(m,n)，过P且与C相切的直线l:y=kx+t，联立方程组x24-y23=1,y=kx+t,整理得(3-4k2)x2-8ktx-4t2-12=0，则Δ=(-8kt)2-4(3-4k2)(-4t2-12)=48t2+144-192k2=0，整理得t2=4k2-3．将P(m,n)代入l，得n=km+t，则t2=(n-km)2=4k2-3，从而(m2-4)k2-2mnk+n2+3=0．因为切线PA，PB互相垂直，所以k1k2=n2+3m2-4=-1，即m2+n2=1．|PF1|= (m+ 7)2+n2= 8+2 7m，|PF2|= (m- 7)2+n2= 8-2 7m，则(|PF1|+|PF2|)2=16+2 64-28m2≤32，则|PF1|+|PF2|≤4 2，当且仅当m=0时，等号成立，因为|F1F2|=2 7，所以△PF1F2周长的最大值为4 2+2 7． 【解析】本题主要考查的是双曲线标准方程的求解，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题；(1)将点M的坐标直接代入双曲线中结合焦距，即可求解；(2)设直线l:y=kx+t，将直线与双曲线联立，根据切线PA，PB互相垂直，求出m2+n2=1，进而可求△PF1F2周长的最大值；