重庆市辅仁中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市辅仁中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 若，则集合P中元素的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合和元素的概念进行求解.
【详解】集合P中元素为，，共2个．
故选：B
2. “”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充要条件的判定方法，即可得到结论
【详解】由题意，当时，是成立的，当当时，如，而是不成立的，所以是的充分不必要条件，
故选:A．
3. 命题“，都有”的否定为（ ）
A. ，使得B. ，都有
C. ，使得D. ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题，
注意到是否定结论而不是否定条件，所以C选项正确.
故选：C
4. 若函数的定义域是，，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由解得结果可得函数的定义域.
【详解】函数的定义域是，，即，
由，解得．
函数的定义域是．
故选：C．
【点睛】本题考查了复合函数定义域的求法，属于基础题.
5. 已知，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】换元法求函数解析式即可.
【详解】设，则，
所以，
故，
故选：C
6. 若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】利用基本不等式即可得到答案
【详解】解：，
，
当且仅当即时取等号，
故选：C
7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解.
【详解】因为，可知开口向上，对称轴为，
则在上单调递减，在上单调递增，
又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2，
所以.
故选：D.
8. 已知是定义在上奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合奇函数的性质分析的符号，进而解不等式.
【详解】当时，令，
可知：当时，；当时，；
又因为是奇函数，可知：当时，；当时，；
对于不等式，则或，可得或，
所以不等式的解集为.
故选：C.
二、多选题（每小题5分，共20分，错选得0分，少选得2分）
9. 设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据x，y的范围及基本不等关系，对选项一一分析即可.
【详解】对于A，，即，故A正确；
对于B，，则，即，故B错误；
对于C，，即，故C正确；
对于D，由题知，则，故D错误；
故选：AC
10. 下列说法中，错误的有（ ）
A. 所有函数在定义域上都具有单调性.
B. 因为，所以函数在上单调递增.
C. 若在R上是减函数，则.
D. 若函数在区间和上均单调递增，则函数在区间上也单调递增.
【答案】ABD
【解析】
【分析】举反例说明选项ABD错误，利用定义判断选项C正确.
【详解】解：A. 不是所有函数在定义域上都具有单调性，如函数，所以该选项错误；
B. 因为，不能说明函数在上单调递增，如，满足，但是函数在上不是单调递增，所以该选项错误；
C. 若在R上是减函数，则，所以该选项正确；
D. 若函数在区间和上均单调递增，则函数在区间上不一定单调递增，如函数，在区间和上均单调递增，则函数在区间上不单调，所以该选项错误.
故选：ABD
11. 下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.
【详解】由题意可知，当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线.
对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；
对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；
对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；
对于D，在第一象限，函数图象是一条凹形曲线，故当时，
，
故选：BD.
【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.
12. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】CD
【解析】
【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案.
【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，
则，即，可得，
结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 若函数是偶函数，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据偶函数定义域关于原点对称即可求出，根据偶函数的即可求出.
【详解】因为函数为偶函数且，
所以，
又数是偶函数，
，
所以，
所以，
所以对任意成立，
所以，
所以，
故答案为：1.
14. 定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】结合奇函数性质以及单调性，去掉外层函数，变成一元二次不等式进行求解.
【详解】因为，即，
根据奇函数的定义可知原不等式为，
且定义域内单调递减函数，故，解得或，
又因为函数定义域为，故，解得，
综上，，即的范围为.
故答案为：.
15. 若方程有一解，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】方程有一解，即与的图象有一个交点，画出图象可得答案．
【详解】函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位长度后，
再把位于轴下方的图象沿轴翻折到轴上方得到的，
函数图象如下图所示，

当或时，直线与函数的图象有唯一的交点，
即方程有一解．
故答案为：.
16. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，先求得，然后求得.
【详解】因为是偶函数，所以①，
因为是奇函数，所以②，
令，由①得：，
由②得：，
因为，所以，
令，由②得：，
所以当时，，
.
故答案为：
四、计算题（共70分，写出必要的解题过程）
17. 已知全集，集合，．求：，；
【答案】，
【解析】
【分析】根据交集、补集运算求解.
【详解】因为，，，
所以，.
18. 已知函数（且）的图象经过点．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接代入即可求出值；
（2）求出，再根据指数函数值域即可得到答案.
【小问1详解】
因为的图象经过点，
则，又且，所以．
【小问2详解】
当时，，则，
因为，所以在上单调递增，
则，即，
所以的值域为．
19. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出和集合，进而求出；
（2）根据真子集，即可列不等式求解.
【小问1详解】
由得，故，
由得，
因为，故，
若，则，所以；
【小问2详解】
若是成立的充分不必要条件，则，
则有解得，此时满足，
所以的取值范围是．
20. 已知函数．
（1）若的解集为，求实数的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；
（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可.
【小问1详解】
由题意知：在上恒成立，，解得：，
即实数的取值范围为.
【小问2详解】
由得：；
当时，的解为或；
当时，的解为或；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
21. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【解析】
【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
22. 已知函数为定义在的奇函数，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并利用定义加以证明；
（3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据，求出，，再检验是否满足奇函数的定义即得解；
（2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；
（3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
可得，即，解得：，
又因为，所以，
综上所述，，所以，
因为定义域关于原点对称，
所以，
所以为定义在的奇函数，
所以.
【小问2详解】
函数在为单调递增函数，证明如下：
任取，则
因为，所以，，
可得，即，
故在上为增函数.
【小问3详解】
由（2）可知，函数在区间上单调递增，则，
由于对恒成立，则，
即对任意的恒成立，
构造函数，其中，所以，即，
解得：或或，
所以实数的取值范围是.