高教版（2021·十四五）基础模块 下册5.1 实数指数幂获奖教学设计及反思

这是一份高教版（2021·十四五）基础模块 下册5.1 实数指数幂获奖教学设计及反思，共6页。

题目
授课
时长
高等教育出版社《数学》
（基础模块下册）
5.1 实数指数幂
2课时
选用教材
授课类型
新授课
本课通过复习学生学过的正整数指数幂，了解指数从正整数到有理数再到
实数的拓展过程，体会到指数的推广过程，并学习进行简单的实数指数幂的运算
的一般方法.
教学
提示
通过学习 n 次根式的概念和分数指数幂的定义，能运用实数指数幂的运算
法则正确进行实数指数幂的运算以及根式与分数指数幂之间的转化，会利用计
算器求根式和分数指数幂的值，逐步提升数学运算和逻辑推理等核心素养.
教学
目标
教学
重点
教学
难点
教学
环节
实数指数幂的运算法则.
分数指数幂概念.
教师 学生 设计
教学内容
活动 活动 意图
5.1.1 有理数指数幂
放射性元素在衰变过程中,其放射性核的数目衰变到
原来的一半所需的时间称为放射性元素的半衰期. 现实
工作中常常利用放射性元素的半衰期的特性进行科学测
算.某种元素同一个样本内有 N个原子,半衰期是 10天,10
引导 回忆 以实
学生
联系 思考 子创
实际 设情
进行 分析 境，
际例
1
1
天之后还有 N个原子没有衰变,20 天之后,还有 N个
2
4
思考
引发
学生
思考
拓宽
学生
知识
面.
情境
导入
1 1
× ×
原子没有衰变,没有衰变的原子数就可以用
N表
2 2
示,以此类推,设衰变次数为n次,那么没有衰边的原子数如
何表示？
根据衰变规律,容易推出,没有衰变的原子数为
启发
引导
1 1 1
1
× × ⋅⋅× × N.
2 222
n个
我们已学习过, n个相同因子 a的连乘积记作 an,称为 讲解 理解 归纳
a的 n次幂,其中 a称为幂的底数,简称底,n称为幂的指数.
即
概念
突出
并强
调规
范表
述.

∗
a
n=a⋅a⋅a⋅ ⋅a，（n∈N）

n个

规定当a 0时，
探索
新知
n
1
 1
a0 1 , a−n =
=
．
 
an  a
说明 记忆
一般地,如果数 b的 n次方等于 a,即 b
∈
n=a(n N*,n>1) ,
n 次
根式
为指
数概
那么称数 b为 a的 n次方根.
当 n 为偶数时,正实数 a 的 n 次方根有两个,分别用
n a 和 a表示,其中 a称为 a的 n次算术根,负实数 a的
偶数次方根没有意义．
n
n
1

当 n 为奇数时,实数 a 的 n 次方根只有一个,用 n a表
念的
示．
推广
0的 n次方根为 0.
所做
形如 n a(n∈N*,n>1)的式子称为 a的 n次根式,其中 n
称为根指数,a称为被开方数．
如果指数是最简分数，我们规定:
的必
讲解 思考 要准
备
m
m
n
当指数为正分数 (m,n∈N*,n>1)时,an
= n
am .
m
n
对指
当指数为负分数− （
m,n∈N
*
,n>1）且a≠ 0时,
数情
m
a n =
−
1
m
an
1
况进
=
.
n
am
说明 理解 行分
类讨
论
1
n
m
当 n为偶数时,a的取值应使 a 或
有意义.
n
am
这样,就把整数指数幂推广到了有理数指数幂.
可以证明,当a>0,b>0且p,q∈Q时,有理数指数幂有以
下运算法则：
(1) ap·aq =ap+q;
( )
(2) ap
q
=
pq
a ;
( )
p
p
p
(3) ab = a ⋅b .
例 1将下列各分数指数幂写成根式的形式.
提问 思考 巩固
2
3
−
分数
(1)a5 ；(2)a 2(a>0) .
指数
2
解 (1)a5
 5
3
a2 ；
引导 分析 幂与
−
1
根式
(2)a 2 =
.
互相
a3
讲解 解决 转化
例 2将下列各根式写成分数指数幂的形式.
的基
1
4
3
(1) 8 ; (2)
(a≠0).
本表
5
a3
强调 交流 达，
3
4
3 =
8 84 ；
解 (1)
提升
数学
运算
核心
素养
例题
辨析
3
1
−
(2)
= a 5.
5
a3
幂运算可以用科学型计算器来完成，操作步骤为普通
计算状态→输入底→按 xy→输入指数→按
=
显示计算
结果．
提问 思考 结合
例 3 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第 3
位).
计算
工具
3
3

1
展示 操作 提升
(1) 45 ；(2) 6 4 ；(3)
．
51.374
数学
运算
核心
解 (1)的操作步骤为：按 C→4→x
∕ ，
y→(→3→ →5→)→=
2

显示计算结果 2.2973…，
素养
3
所以45  2.297；
(2) 操作步骤为：按 6→xy→(→－→3→÷→4→)→=,
显示计算结果 0.2608…，
3

所以6 4  0.261；
4
1

(3)将
化为1.37 5 ,再指数运算,操作步骤为：
51.374
按 1→.→3→7→xy→(→ →4→ →5→) →=,
－
÷
显示计算结果 0.7773…，
1
所以
 0.777 .
51.374
温馨提示
0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义.
练习 5.1.1
1．将下列各分数指数幂写成根式的形式(其中 a>0).
提问 思考 通过
1
练习
3
3
2
1
8
−
−
6
(1) 54 ；(2)
；(3)a 7；(4) (−a) 3 ．
 
及时
掌握
巡视 动手 学生
求解 的知
识掌
2．将下列各根式写成分数指数幂的形式.
巩固
练习
7
2
1
4
5
(1)410；(2)
；(3) 5.6 ；(4)
．
5
a4
指导 交流 握情
况，
3．利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第 3
位).
3
2
查漏
1
−
(1)34 ；(2)6 5 ；(3)
．
补缺
5
3
2.5
5.1.2 实数指数幂
讲解 理解 有原
在实数范围内，我们学习了有理数指数幂的运算,可
以证明,当幂的指数为无理数时,无理数指数幂 aα(a＞0,α
是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算法则同
样适用于无理数指数幂.
这样我们就将幂指数推广到了全体实数.
可以证明,当 a＞0,b＞0且 α,β∈R 时，实数指数幂有
以下运算法则：
有知
识出
说明 记忆 发对
幂指
数进
行推
广，
易于
学生
接受
新知
探索
α
β
α β
(1)
a ⋅a =a + ；
( )β
(2) aα =a ;
αβ
( )
α
α
⋅
α
(3) ab =a b .
3

例 4 计算下列各式的值.
提问 思考 巩固
基本
1
4
2
3
5
12
 
1
 
3
 
2


5

3
  ; (2)
    
引导 分析 运算
(1)
解 (1)
(2)
4
；(3) 0.0643 .
 
 
 
 
 
 
3 5
16
5
法
讲解 解决 则，
1
4
 
1
1
1
4


( 4)


1 
1
  
4


提升
(2 )4
2
2
；


 
16
2
强调 交流 数学
运算
核心
素养
2
3
5
2
1
5
 
3
4
 
     
5
3
3
3
5
3


12  3  4 
12
 
 
 


 
     
=
 
     
     
5 3 5
 
5
5
2
1
5
12
   
 
3
3
3
4 


=
3 
   

 
   
 
 
5
   
5
5
2 1
5
   
5
 0
5
3
3

3
4 12

 
  1；


 
 
 
 
2
2
2
3

 
(3) 0.0643= 0.4 3 =0. 4 3 =0. 42=0. 16.
3
例 5 化简下列各式(a>0,b>0) .
提问 思考 底为
字母
1
1
1
1


3
−3 2 ÷ 3
a2 ÷ 4 b3 ;
(1) (a3 b3)(a3 b3) ; (2) a b
引导 分析 的情
况要
例题
辨析
(2a3b2)3
(5a2b)2
(3)
.
讲解 解决 将分
母及
分析 先把根式化成分数指数幂,然后再进行化简与计算． 强调 交流 根式
都写
成分
数指
数
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
2
(a b )(a b )=(a )2 (b )2=a b
解 (1)
2
2
=a3 b3 ；
1
2
2
3
幂，
按照
运算
顺序
进行
运算
是有
理数
指数
幂运
算特
别需
要注
意的
3
−3 2
(
−3 2
)
−1
3
2 =
a3, 4 b3 = b4，
(2)由于 a b = a b 3 =a b3， a
2
2
3
所以 a b
−3 2 ÷ 3
3
a2 ÷ 4 b3  a b3
1 a3

b4
2
3
2
3
3
4



a 1b a

b
2
2
3
4
 a13b3

5
1


 a 3b 12；
(2a3b2)3 23 a3 3 b2 3

 

(3)
=
(5a2b)2
52 a2 2 b2
 

8
25
8
=

     
a3 3 2 2 b2 3 2
= a5b4.
25
4

例 6 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第 3
位).
3
2
 3
(1) 0.32.1;
(2) 3.14 ； (3) 5 ；(4) 4
.
解 (1)操作步骤为：按 0→.→3→x
屏幕计算结果 0.0797…，
所以 0.32.1≈0.080；
. ,
y→2→ →1→=
引领 操作 结合
计算
工具
(2)操作步骤为:
展示 计算 提升
÷
按 3→.→1→xy→(→3→ →4→)→=,
数学
运算
核心
素养
显示计算结果 2.3362…，
3
所以 3.14 ≈2.336
；
(3)操作步骤为：按 5→xy→√￣→2→=,
显示计算结果：9.7385…，
所以5 2 ≈9.739；
(4)操作步骤为：按 4→xy→(→-→√￣→3→)→=，
显示计算结果：0.0906…，
所以4 3 ≈0.091.
练习 5.1.2
1.用分数指数幂表示下列各式 (a>0) .
提问 思考 通过
a
(1)a2 a； (2)
练习
.
5
a3
及时
2.计算下列各式的值.
巡视 动手 掌握
求解 学生
巩固
练习
(1)
(3 25 125) 4 5; (2) 3
3 4  4
27.
3
的知
3.化简下列各式(a>0,b>0) .
识掌
1
2
1
2
1
1 5
−
−
握情
况，
0
3
2
(1)a3a 3a2a ; (2) (a3b2) (3a 2b3)
.
4.利用计算器计算下列幂的值（保留到小数点后第 3位）.
指导 交流 查漏
补缺
−3
7
(1) 3.13 ；(2) 3.2 .
引导 回忆 培养
学生
归纳
总结
提问 反思 总结
学习
过程
能力
说明 记录 继续
探究
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
布置
作业
延伸
5

学习
6